高考数学(理数)一轮复习学案9．7《双曲线》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．7《双曲线》(含详解)，共9页。

9．7　双　曲　线



1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
　※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
2．双曲线的标准方程及几何性质


焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形


(2)标准
方程

－＝1
(a＞0，b＞0)
(3)范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)

(6)对称轴
x轴，y轴
(7)焦点

F1(0，－c)，
F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2
(9)离心率

(10)渐近线方程

y＝±x

自查自纠：
1．(1)绝对值　＜　焦点　焦距　(2)离心率
(3)等轴双曲线　充要　垂直
2．(2)－＝1(a＞0，b＞0)　(5)A1(0，－a)，A2(0，a) (7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(e＞1)　(10)y＝±x


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线方程是 (　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
解：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1．故选B．
若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
(　　)
A． B．5 C． D．2
解：由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，所以 5a2＝c2．所以e2＝＝5，所以e＝．故选A．
()已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则n的取值范围是 (　　)
A．(－1，3)　　 B．(－1，)　　
C．(0，3)　　 D．(0，)
解：因为方程－＝1表示双曲线，所以(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，所以焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，所以－1＜n＜3．故选A．
()在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是____________．
解：易知a2＝7，b2＝3，则c2＝a2＋b2＝7＋ 3＝10，即c＝，则焦距2c＝2．故填2．
()在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是__________．
解：因为双曲线的焦点F(c，0)到渐近线y＝ ±x即bx±ay＝0的距离为＝＝b，所以 b＝c，
因此a2＝c2－b2＝c2－c2＝c2，a＝c，e＝2．故填2．



类型一　双曲线的定义及标准方程
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为 (　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1．故选A．
(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为____________．
解：设动圆M的半径为r，则|MC|＝2＋r，|MA|＝r，所以|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故填x2－＝1(x≤－1)．
(3)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．

解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B．
根据两圆外切的条件，
有|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6．
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8．
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
故填x2－＝1(x≤－1)．

点　 拨：
①求双曲线的标准方程一般用待定系数法； ②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，这样可以简化运算．


　(1)已知双曲线的渐近线方程为2x± 3y＝0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线的方程为__________．
解：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P(，2)，所以－＝λ，λ＝－，故所求双曲线的方程为y2－x2＝1．故填y2－x2＝1．
(2)()已知双曲线－＝1(a＞0， b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 (　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．故选A．
(3)()已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为 (　　)
A．相交　　 B．相切　　
C．相离　　 D．以上情况都有可能
解：令双曲线的右焦点为F2，设以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的半径分别为r1，r2，两个圆的圆心分别为O1，O2．若P在双曲线左支上，则|O2O1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P在双曲线右支上，同理求得|O2O1|＝r1－r2，故此时，两圆内切．综上，两圆相切．故选B．
类型二　双曲线的离心率
　(1)()已知双曲线C： －＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解：双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝，即＝，所以e＝＝．故填．
(2)已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是
(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1，2)　
C．(2，1＋)　 D．(1，1＋)
解：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF< 45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则 0，则e2－e－2<0，解得－11，则1
点　 拨：
求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e．②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
　　
　(1)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为 (　　)
A． B． C． D．
解：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝．又b2＝c2－a2，所以＝，即 e2－1＝，所以e2＝，所以e＝．故选D．
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 (　　)
A．(2，＋∞) B．(1，2)
C．(，＋∞) D．(1，)
解：设双曲线的右顶点为C，则|CF|＝a＋c，把x＝－c代入双曲线的方程，有|AF|＝，因为双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，所以|AF|＞|CF|，即＞a＋c，即＞a＋c⇒e2－e－2＞0，解得e＞2．故选A．
类型三　双曲线的渐近线
　(1)已知双曲线C：－＝1的离心率为，则C的渐近线方程为
(　　)
A．y＝±x B． y＝±x
C． y＝±x D． y＝±x
解：根据双曲线的性质可知e＝＝，c2＝ a2＋b2，联立可得b2＝，即＝，故C的渐近线方程为y＝±x．故选C．
(2)()已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为 (　　)
A． B． C．或 D．或
解：由已知得：当焦点在x轴上时，＝，即b＝a，则e＝＝＝；
当焦点在y轴上时，＝，即b＝a，则 e＝＝＝．故选D．

点　 拨：
本例考查双曲线中a，b，c的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．
　　
　(1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈[，2]，则其中一条渐近线与实轴夹角的取值范围是____________．
解：因为e∈[，2]，所以≤≤2，2≤≤4，2≤≤4，1≤≤3，1≤≤，得其中一条渐近线的倾斜角的取值范围为[，]，即它与实轴夹角的取值范围是[，]．故填[，]．
(2)()设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与直线x＝分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜ 90°，则该双曲线的离心率的取值范围是 (　　)
A．(1，) B．(，2)
C．(1，2) D．(，＋∞)
解：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
由得
不妨令A(，)，B(，－)．
由60°＜∠AFB＜90°，得
－1＜kFA＜－，所以＜＜1，即＜＜1．
因为b2＝c2－a2，所以＜＜1，即＜＜1，
所以1＜＜3，即1＜e2－1＜3，解得＜e＜2，
故选B．
类型四　直线与双曲线
　(1)()已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：：不妨设B(0，b)，由＝2，F(c，0)，
可得A(，)，代入双曲线C的方程可得× －＝1，即·＝，所以＝，①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，所以a2＋2b2＝16，②
由①②可得a2＝4，b2＝6，
所以双曲线C的方程为－＝1．故选D．
(2)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为 (　　)
A． B．1 C．2 D．4
解：：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则OA⊥OB，AB的中点为(，)，又因为AB的中点在双曲线上，所以()2－()2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2．故选C．

点　拨：
考纲中双曲线的要求层级为“了解”，高考中小题居多，熟练掌握双曲线的定义、几何性质是解决此类问题的关键，必要时，联立直线与双曲线的方程．
　　
　(1)设P为直线y＝x与双曲线－ ＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝__________．
解：因为直线y＝x与双曲线－＝1相交，
由消去y得x＝±，因为 PF1⊥x轴，且P在双曲线左支，所以－a＝－c，所以＝．
故填．
(2)若以F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为 (　　)
A．(，)∪(，＋∞)
B．[，＋∞)
C．(，＋∞)
D．[，)∪(，＋∞)
解：依题意，设双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2．由消去y，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－ a2(1＋b2)＝0(*)有实数解．当b2－a2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－ a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1，解得0＜a2≤5，又a2≠b2，即a2≠9－a2，故a2≠，此时e＝≥＝且e≠．
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围为[，＋∞)．故选B．



1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．
2．在双曲线的定义中，当＞时，动点M的轨迹是双曲线的一支，当＜时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．
3．定义中|F1F2|＞2a这个条件不可忽视，若|F1F2|＝2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2|＜2a，则轨迹不存在．
4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x2，y2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．
5．在椭圆中，a，b，c满足a2＝b2＋c2，即a最大；在双曲线中，a，b，c满足c2＝a2＋b2，即c最大．
6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：①掌握方程；②掌握其倾斜角、斜率的求法；③会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．
7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程．
8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线．
9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
10．与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0)．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为 (　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解：因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．故选B．
2．()已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点．则C的方程为 (　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则＝．①
又因为椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知c＝3，则a2＋b2＝c2＝9．②
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1，故选B．
3．()若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率为 (　　)
A．2或 B． C．2或 D．2
解：由题意＝，所以＝＝，即 e＝．故选B．
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝ (　　)
A． B． C． D．
解：由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2．
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝．故选C．
5．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是
(　　)
A．(1，] B．(1，]
C．[，＋∞) D．[，＋∞)
解：由已知条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，所以2ab≥a2，所以2b≥a，则c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，所以e＝≥．故选C．
6．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为 (　　)
A． B． C．2 D．
解：因为＝2，所以A是FB的中点．设F(c，0)，
过焦点F与渐近线y＝x垂直的直线为y＝ －(x－c)，故点A的横坐标为，直线y＝－(x－c)与y＝－x的交点B的横坐标为．由中点坐标公式有＋c＝，即e4－5e2＋4＝0，解得e＝2．故选C．
7．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于____________．
解：由题意得b＝，结合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，则双曲线C的焦距为2c＝4．故填4．
8．()设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是____________．

解：如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足
解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，所以2＜2m＋2＜8．故填(2，8)．
9．()已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0．
解：(1)因为e＝，依题意，设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6．
所以双曲线的方程为x2－y2＝6．
(2)证明：由(1)可知，a＝b＝，所以c＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3， －m)，
所·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝ －3＋m2，
因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0．(或利用kMF1·kMF2＝ －1证明)
10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．
解：(1)依题意b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)．
易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由
消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，
则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝×2c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6．得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1．
所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2．
11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为．
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．
解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1．
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，
由＝得点P的坐标为(，m＋n)．
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1．设∠AOB＝2θ，
因为tan(－θ)＝2，
则tanθ＝，从而sin2θ＝．
又|OA|＝m，|OB|＝n，
所以S△AOB＝|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2．
()已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为 (　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解：设双曲线的右焦点坐标为F(c，0)，则xA＝xB＝c，由－＝1可得y＝±，不妨设A(c，)，B(c，－)，双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则d1＝＝，d2＝＝，则d1＋d2＝＝2b＝6，则b＝3，b2＝9，又双曲线的离心率e＝＝＝＝2，则a2＝3，则双曲线的方程为－＝1．故选A．