高考数学(理数)一轮复习学案9．3《圆的方程》(含详解)

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9．3　圆的方程



1．圆的定义
在平面内，到____________的距离等于____________的点的____________叫圆．确定一个圆最基本的要素是____________和____________．
2．圆的标准方程与一般方程
(1)圆的标准方程：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫做以点____________为圆心，____________为半径长的圆的标准方程．
(2)圆的一般方程：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(____________)叫做圆的一般方程．
注：将上述一般方程配方得＋＝，此为该一般方程对应的标准方程，表示的是以____________为圆心，____________为半径长的圆．
3．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种，设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，点M(x0，y0)，则
(1)点M在圆上：_________________________．
(2)点M在圆外：_________________________．
(3)点M在圆内：_________________________．
4．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．
(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．

自查自纠：
1．定点　定长　集合　圆心　半径长
2．(1)(a，b)　r
(2)D2＋E2－4F>0
3．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 (　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋ (y－1)2＝2，故选D．
()圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝
(　　)
A．－ B．－ C． D．2
解：由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－．故选A．
已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的动点，则|MN|的最小值是 (　　)
A． B．1 C． D．
解：圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线3x＋4y－2＝0的距离，根据点到直线的距离公式得d＝＝ ，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝．故选C．
()已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是____________，半径是____________．
解：由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1．
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．故填(－2，－4)；5．
()已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－ y＝0的距离为，则圆C的方程为____________．
解：设圆心的坐标为(a，0)(a＞0)，根据题意得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆心为(2，0)，则圆的半径r＝＝3，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝9．故填(x－2)2＋y2＝9．


类型一　求圆的方程
　(1)过点A(4，1)的圆C与直线x－y－ 1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为____________．
解法一：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3．①
过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得所以圆心坐标为(3，0)，半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2．
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
因为点A(4，1)，B(2，1)在圆上，故
又因为＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2．
故填(x－3)2＋y2＝2．
(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为____________．
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q两点的坐标分别代入得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．③
设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D， x1x2＝F．
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①②④解得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0．
故填x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0．

点　拨：
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． ②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
　　
　(1)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1， －7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝ (　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
解：因为kAB＝－，kBC＝3，所以kAB·kBC＝ －1，即AB⊥BC，所以AC为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r＝＝＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25．令x＝0，得y＝±2－2，所以|MN|＝4．故选C．
(2)()以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为____________．
解：抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为 x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4．故填(x－1)2＋ y2＝4．
类型二　三角形的内切圆与外接圆
　已知三角形的三边所在直线方程分别为x＋2y＝5，2x－y＝5，2x＋y＝5，则三角形的内切圆方程为_______________________．
解：设内切圆圆心为I(a，b)，半径长为r．
由点到直线的距离知
r＝＝＝，
又因为三角形的内心总在这三角形的内部，
所以根据线性规划的知识得
r＝＝＝．
由2a－b－5＝a＋2b－5，得a＝3b，①
由2a－b－5＝－(2a＋b－5)，得a＝．
将a＝代入①式，得b＝．所以r＝＝．
故所求圆的方程为＋＝．
故填＋＝．

点　拨：
设出圆的圆心坐标后，利用三角形内切圆的性质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的方程组，解此方程组得圆心坐标后再求圆的半径长．求解过程中需要注意：内切圆的圆心总在三角形的内部，因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代数式的符号，否则会求出多解(其他的解是三个旁切圆的圆心)．
　　
　已知三点A(1，0)、B(0，)、C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A． B． C． D．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
所以
所以
所以△ABC外接圆的圆心为 ，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝．
另解：线段BC的中垂线为x＝1，故设半径为r，有r＝，解得r＝，即圆心．故选B．
类型三　与圆有关的综合问题
　(1)()已知x，y满足 x2＋y2＝1，则的最小值为______________．
解：表示圆上的点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率，所以的最小值是如图所示的直线PQ与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x－1)，

即kx－y＋2－k＝0．由＝1得k＝，结合图形可知，≥，故所求最小值为．故填．
(2)()已知实数x，y满足方程x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值是____________，最小值是____________．
解：原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．
设x－2y＝b，即x－2y－b＝0，作出圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5与一组平行线x－2y－b＝0，如图所示，

当直线x－2y－b＝0与圆相切时，纵截距－b取得最大值或最小值，
此时圆心到直线的距离d＝＝，解得b＝10或b＝0，
所以x－2y的最大值为10，最小值为0．故填10；0．
(3)()已知实数x，y满足方程x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最大值是____________，最小值是____________．
解：原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆．又实数x，y满足方程x2＋y2－2x＋4y－20＝0，即点(x，y)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25上，x2＋y2表示点(x，y)与原点的距离的平方，由圆的性质可知，在原点和圆心的连线与圆的两个交点处，x2＋y2分别取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离d＝＝，
所以x2＋y2的最大值是(5＋)2＝30＋10，x2＋y2的最小值是(5－)2＝30－10．故填30＋10；30－10．

点　 拨：
与圆有关的最值问题的常见解法：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
　　
　(1)()设P(x，y)是圆 (x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为 (　　)
A．6 B．25 C．26 D．36
解：因为圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，圆心坐标为(2，0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为5＋1＝6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36．故选D．
(2)()已知P是直线l：3x－ 4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－ 2y＋1＝0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 (　　)
A． B．2 C． D．2
解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×r|PA|＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2．所以四边形PACB面积的最小值为＝＝．故选C．
类型四　与圆有关的轨迹问题
　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．

点　 拨：
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法，根据圆、直线等定义列方程；③几何法，利用圆的几何性质列方程；④代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
　　
　()点P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4，连线的中点坐标为(x，y)，则即代入x＋y＝4得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．故选A．



1．注意应用圆的几何性质解题
圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．
2．圆的方程的确定
由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．
3．求圆的方程的方法
(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；
④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．
(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为 (　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解：已知圆的圆心C(1，2)关于直线y＝x对称的点为C′(2，1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．故选A．
2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－2)∪ B．
C．(－2，0] D．
解：D2＋E2－4F＝－3a2－4a＋4>0，所以 3a2＋4a－4<0⇒－2 3．过点P(0，1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是
(　　)
A．x＝0 B．y＝1
C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0
解：依题意得所求直线是经过点P(0，1)及圆心(1，0)的直线，因此所求直线方程是x＋y＝1，即x＋y－1＝0，故选C．
4．()两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－，1)　　　　B．(－∞，－)∪(1，＋∞)
C．[－，1)　　 　D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
解：联立解得P(a，3a)，所以 (a－1)2＋(3a－1)2＜4，所以－＜a＜1．故选A．
5．()已知点A(0，－6)，B(0，6)，若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－5，5)
B．(－，)
C．(－∞，－5)∪(5，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解：若对圆(x－a)2＋(y－3)2＝4上任意一点P，都有∠APB为锐角，则圆(x－a)2＋(y－3)2＝4与圆x2＋y2＝36外离，即圆心距大于两圆的半径之和，＞6＋2，解得a2＞55，a＞或a＜ －．故选D．
6．()若圆x2＋y2－2x＋6y＋ 5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是 (　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2．因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4．故选A．
7．已知点P(2，1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋ b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为______________．
解：因为点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆上，所以该直线过圆心，即圆心(－，1)满足方程x＋y－1＝0，因此－＋1－1＝0，解得a＝0，所以圆心坐标为(0，1)．故填(0，1)．
8．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是______________．
解：过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，因为kCM＝＝1，
所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0．故填x＋y－1＝0．
9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
解：方法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，
因为MP⊥l，所以×1＝－1．
解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)，
圆的半径r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
方法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程为(x－2)2＋y2＝r2，
依题意，所求圆与直线l：y＝x＋m相切于点P(0，m)，
则解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8．
10．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．
(1)求2x＋y的最大值；
(2)求(x＋2)2＋(y－3)2的最小值；
(3)求的最大值和最小值．
解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，则圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2．
设2x＋y＝b，即2x＋y－b＝0，作出圆(x－2)2＋(y－7)2＝8与一组平行线2x＋y－b＝0，当直线2x＋y－b＝0与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时圆心到直线的距离d＝＝2，解得b＝11＋2或b＝11－2，
所以2x＋y的最大值为11＋2．
(2)(x＋2)2＋(y－3)2表示点M(x，y)与点Q(－2，3)的距离的平方，
又|QC|＝＝4．
所以|MQ|min＝4－2＝2，即(x＋2)2＋(y－3)2的最小值为8．
(3)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0．
由直线MQ与圆C有交点，
得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－．
11．已知定点M(－3，4)，设动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解：因为四边形MONP为平行四边形，
所以＝＋，
设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则
＝－＝(x，y)－(－3，4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)．
所以代入x＋y＝4得(x＋3)2＋(y－4)2＝4．
又当OM与ON共线时，O、M、N、P构不成平行四边形，此时联立得x2＋x＋21＝0．
解得x1＝－，x2＝－．
则点(－，)和(－，)不满足题意．
故动点P的轨迹是圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4且除去点(－，)和(－，)．
()已知点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)的距离之比为．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点M的直线l与曲线C交于不同的两点A，B，设点A关于x轴的对称点为Q(A，Q两点不重合)，证明：点B，N，Q在同一直线上．
解：(1)设P(x，y)，因为点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)的距离之比为，
所以＝·，
整理得x2＋y2－6x＋1＝0，
所以动点P的轨迹C的方程是x2＋y2－6x＋1＝0．
(2)证明：由题意，直线l的斜率存在，设为k(k≠0)，直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入x2＋y2－6x＋1＝0，
化简得(1＋k2)x2＋(2k2－6)x＋k2＋1＝0，
由Δ＞0，可得－1＜k＜1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(x1，－y1)，且 x1x2＝1，
所以kBN－kQN＝－＝＝0，
所以点B，N，Q在同一条直线上．