教科版高中物理必修第二册第三章万有引力定律课时学案

2　万有引力定律

知识点一　万有引力定律的建立

1.太阳对行星的引力:太阳对不同行星的引力,与行星的质量成正比,与行星和太阳间距离的二次方成反比,即F∝。

2.行星对太阳的引力:根据牛顿第三定律,既然太阳吸引行星,行星也必然吸引太阳,设此力为F′。设想F′与F遵守相同的规律,则F′也应和太阳的质量M成正比,即F′∝。

3.太阳与行星间的引力:F′与F大小相等,因此F=F′∝,写成等式F=G,式中的G为比例系数,与太阳、行星都无关。

4.月一地检验:根据F=G,月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度与地面重力加速度的比值为,而二者的实际比值与该推断符合得很好,这表明地面上物体所受重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力。

5.万有引力定律:任何两个物体之间都存在相互作用的引力,引力大小与这两个物体的质量的乘积成正比,与这两个物体之间的距离的平方成反比,用m1和m2分别表示两个物体的质量,用r表示它们之间的距离,万有引力定律可以用公式F=G来表示。

知识点二　引力常量

1.大小:G=6.67×10-11 N·m2/kg2。 

它是由英国物理学家卡文迪许在实验室里测得的。

2.意义:用实验证明了万有引力定律正确性,使万有引力定律具有更广泛的实用价值。

1.思考判断

(1)万有引力不仅存在于天体之间,也存在于普通物体之间。(　√　)

(2)引力常量是牛顿首先测出的。(　×　)

(3)物体间的万有引力与它们间的距离成反比。(　×　)

(4)根据万有引力定律表达式可知,质量一定的两个物体若无限靠近,它们间的万有引力趋于无限大。(　×　)

(5)由于太阳质量大于行星质量,故太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。(　×　)

(6)月球绕地球做圆周运动的向心力是由地球对它的引力产生的。(　√　)

2.思维探究

(1)太阳对行星的引力和行星对太阳的引力大小相等吗?它们之间是什么关系?

答案:相等。它们是一对相互作用力。

(2)地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力,与太阳、行星间的引力遵从相同的规律吗?

答案:遵从。

(3)同桌的两个同学之间存在万有引力吗?若存在,为什么感觉不到?

答案:同桌的两个同学之间存在万有引力,但由于引力常量极小,一般物体(包括两个同学)间的万有引力是极小的,所以感觉不到。

(4)在扭秤的石英丝上装一个平面镜,从而显示石英丝极微小的扭转角,从而测出极微小的扭转力,这种研究物理的思想是什么?

答案:放大思想。

要点一　对太阳与行星间引力的理解

　如图所示,太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动。

(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动?

(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系?

(3)行星对太阳的引力与太阳的质量是什么关系?

答案:(1)因为行星受太阳的引力作用,引力提供向心力。

(2)与行星的质量成正比。

(3)与太阳的质量成正比。

1.两个理想化模型

(1)匀速圆周运动模型:行星的运动轨迹非常接近圆,所以将行星的运动看成匀速圆周运动。

(2)质点模型:由于天体间的距离很远,研究天体间的引力时将天体看成质点,即天体的质量集中在球心上。

2.太阳与行星间的引力公式的推导过程

(1)太阳对行星的引力

(2)太阳与行星间的引力

3.太阳与行星间的引力的特点:太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。

[例1] (多选)如图所示是八大行星绕太阳运动的情景,下列关于太阳对行星的引力说法中正确的是(　AD　)

A.太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动所需的向心力

B.太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比,与行星和太阳间的距离成反比

C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的

D.太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的

解析:太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动所需的向心力,它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比,与行星和太阳间的距离的平方成反比,A正确,B错误;太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的,C错误,D正确。

(4)该引力规律普遍适用于任何有质量的物体之间。

[针对训练1] 下列说法正确的是(　B　)

A.在探究太阳对行星的引力规律时,我们引用了公式=k,这个关系式是开普勒第三定律,是可以在实验室中得到证明的

B.在探究太阳对行星的引力规律时,我们引用了公式F=,这个关系式实际上是牛顿第二定律,是可以在实验室中得到验证的

C.在探究太阳对行星的引力规律时,我们引用了公式v=,这个关系式实际上是匀速圆周运动的速度定义式

D.在探究太阳对行星的引力规律时,使用的三个公式,都是可以在实验室中得到证明的

解析:在探究太阳对行星的引力规律时,我们引用了公式=k,这个关系式是开普勒第三定律,是通过研究行星的运动数据发现的,不能在实验室中得到证明,故A错误;在探究太阳对行星的引力规律时,我们引用了公式F=,这个关系式是向心力公式,是可以在实验室中得到验证的,故B正确;在探究太阳对行星的引力规律时,我们引用了公式v=,这个关系式不是匀速圆周运动的速度定义式,匀速圆周运动的速度定义式为v=,故C错误。通过A、B、C的分析可知D错误。

要点二　对万有引力定律的理解和应用

无论是太阳与行星、地球与月球以及任何两个有质量的物体之间都存在万有引力。

(1)公式F=G中r的含义是什么?

(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F=G 计算出来吗?

答案:(1)r指的是两个质点间的距离。

(2)不能。万有引力定律的表达式F=G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间的计算,形状不规则、质量分布不均匀的物体间r不易确定。

1.F=G的适用条件

(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用,当两个物体间的距离比物体本身大得多时,可用此公式近似计算两物体间的万有引力。

(2)质量分布均匀的球体间的相互作用,可用此公式计算,式中r是两个球体球心间的距离。

(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算,式中的r是球体球心到质点的距离。

2.万有引力的四个特性

[例2] 两个质点之间万有引力的大小为F,如果将这两个质点之间的距离变为原来的4倍,那么它们之间万有引力的大小变为(　D　)

A. B.4F C.16F D.

解析:根据万有引力定律公式F=G得,将这两个质点之间的距离变为原来的4倍,则万有引力的大小变为原来的。故D正确,A、B、C错误。

(2)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力,不能直接用万有引力公式求解,切不可依据F=G得出r→0时F→∞的结论,违背公式的物理含义。

[针对训练2] (多选)下列说法正确的是(　AD　)

A.万有引力定律F=G适用于两质点间的作用力计算

B.根据F=G,当r→0时,物体m1、m2间引力F趋于无穷大

C.把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处,则大球与小球间万有引力F=G

D.两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F=G计算,r是两球体球心间的距离

解析:万有引力定律适用于两质点间的相互作用,当两球体质量分布均匀时,可认为球体质量集中在球心,然后计算万有引力,故A、D项正确;当r→0时,两物体不能视为质点,万有引力定律不再适用,故B项错误;大球上各点对小球的引力的合力为零,故C项错误。

要点三　引力常量的测定

(1)如图甲所示,用力挤压玻璃瓶,观察吸管内带色液体的液面变化;如图乙所示,激光束经M、N两反射镜在屏上形成光斑,以力F下压桌面,观察光斑的位置变化。

思考讨论:手的压力使玻璃瓶和桌面发生形变了吗?通过什么方式观察的?

(2)是谁测出了引力常量?他是如何测出的?该实验运用了什么思想?

答案:(1)发生形变;通过转换法放大了微小形变。

(2)卡文迪许;巧妙地利用扭秤装置(如图所示)测出的;运用了放大思想。

1.引力常量的测定

英国物理学家卡文迪许在实验室中利用如图所示的扭秤装置,比较准确地测出了引力常量的数值。现在通常取G=6.67×10-11 N·m2/kg2。

2.引力常量的物理意义

引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m 时的相互吸引力。

3.测定引力常量的意义

(1)引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。

(2)引力常量的测定使得我们能够定量计算万有引力的大小,使万有引力定律具有了实用价值。

[例3] 在某次测定引力常量的实验中,两金属球的质量分别为m1和m2,球心间的距离为r,若测得两金属球间的万有引力大小为F,则此次实验得到的引力常量为(　B　)

A. B. C. D.

解析:由万有引力定律公式F=G得G=,所以B选项正确。

(2)引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2要与物质的量中的阿伏加德罗常数NA=6.02×1023 mol-1在数值上相区别。

[针对训练3] 根据万有引力定律,两个质量分别是m1和m2的物体,它们之间的距离为r时,它们之间的吸引力大小为F=G,式中G是引力常量,若用国际单位制的基本单位表示G的单位应为(　C　)

A.kg·m·s-2 B.N·kg2·m-2

C.m3·s-2·kg-1 D.m2·s-2·kg-2

解析:国际单位制中质量m、距离r、力F的基本单位分别是kg、m、kg·m·s-2,根据牛顿的万有引力定律F=G,得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1,选项C正确。

“割补法”求解万有引力

1.适用条件

一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F=G直接进行计算,但当球体被挖去一部分后,由于剩余部分形状不规则,公式F=G不再适用,此时可以用“割补法”求解万有引力。

2.应用“割补法”的基本思路

(1)找到原来物体所受的万有引力F、割去部分所受的万有引力F1、剩余部分所受的万有引力F2之间的关系,即F=F1+F2。

(2)所割去的部分为规则球体时,可由F=G求出原来物体所受的万有引力F和割去部分所受的万有引力F1,代入F=F1+F2可以求得F2。若所割去部分不是规则球体,则不适合应用“割补法”。

[示例] 有一质量为M、半径为R的密度均匀球体,在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点,现在从M中挖去一半径为的球体,如图所示,则剩下部分对m的万有引力F为多大?(引力常量为G)

解析:假设将被挖部分重新补回,则完整球体对质点m的万有引力为F1,F1可以看作是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力,即F1=F+F2

设被挖小球的质量为M′,其球心到质点间的距离为r′,由题意知M′=,r′=,由万有引力定律得F1=G=G

F2=G=G

故F=F1-F2=。

答案:

卡文迪许历时五十年测出了引力常量

　　英国物理学家牛顿发现了万有引力定律之后,他专门设计了多个实验,想先测出两个物体之间的引力,然后来计算地球的质量。可是,因为一般物体之间引力都非常弱小,牛顿的实验都失败了。

　　牛顿去世后,还有一些科学家继续研究这个问题,其中以卡文迪许的实验最为成功,此时牛顿去世已经一百余年了。

　　卡文迪许借鉴了剑桥大学约翰·米歇尔研究磁力微小变化的方法,做了一套新的实验装置:用一根石英丝横吊着一根细杆,细杆的两端各安着一个小铅球,另外再用两个大球分别移近两个小球。卡文迪许想,当大球与小球逐渐接近时,由于引力的作用,那两个吊着的小球必定会发生摆动,这样就可以测出引力的大小了。

　　可是,这个实验失败了,卡文迪许陷入了沉思。他想,是不是因为两球之间的引力太小,肉眼观测不出来呢?能不能将它放大,变得明显一些呢?

　　后来,他终于找到一个十分巧妙的办法:在石英丝上安上一面小镜子,把一束光照射在镜面上,镜面又把光线反射到一把刻度尺上,这样,一旦石英丝有一点点极细微的扭动,镜面上的反射光就会在刻度尺上明显地表示出来,扭动被放大了。1798年他终于测得两球间的引力,求出了“引力常量”的数值,从而算出了地球的质量为5.98×1024 kg。

　　为了推算地球的质量,卡文迪许几乎耗尽了毕生的精力,前后花了五十年时间。当他求得这个数值的时候,他已经是一个六十七岁的老人了。后人整理了卡文迪许的遗著,筹建卡文迪许实验室,1874年卡文迪许实验室竣工,之后该实验室成为世界著名实验室之一,并从这里走出了多位诺贝尔奖获得者。

[示例] (1)关于引力常量G的较为准确的测量实验,最早是由英国物理学家　　　　所做的扭秤实验得到的。 

(2)(多选)为了测量石英丝极微小的扭转角,该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是　　　　。 

A.利用平面镜对光线的反射

B.增大T形架横梁的长度

C.减小石英丝的直径

D.增大刻度尺与平面镜的距离

(3)如图所示,已知T形架水平横梁长度为L,质量分别为m、m′的球,位于同一水平面,当横梁处于力矩平衡状态,测得m、m′连线长度为r,且与水平横梁垂直,同时测得石英丝的扭转角度为θ,由此得到扭转力矩kθ(k为扭转系数且已知),则引力常量的表达式G=　　　　。 

解析:(1)英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置,第一次测出了引力常量G。

(2)该实验利用平面镜对光线的反射来放大微小的扭转角。当增大刻度尺与平面镜的距离时,反射的光点在刻度尺上移动的距离增大,更能放大微小的扭转角,因此选项A、D正确;当增大T形架横梁的长度时,会导致石英丝更容易转动,对测量石英丝极微小的扭转角仍没有作用,故B不正确;当减小石英丝的直径时,会导致石英丝更容易转动,对测量石英丝极微小的扭转角却没有作用,故C不正确。

(3)质量分别为m和m′的球,位于同一水平面内,当横梁处于静止时,力矩达到平衡状态。则有kθ=2·,得G=。

答案:(1)卡文迪许　(2)AD　(3)

课时作业·巩固提升

基础巩固

1.首次测出引力常量的科学家是(　D　)

A.开普勒   B.牛顿

C.爱因斯坦 D.卡文迪许

解析:开普勒提出了重要的开普勒三定律,故A错误;牛顿发现牛顿三大定律和万有引力定律,但并没有测出引力常量,故B错误;爱因斯坦提出了相对论,解释了光电效应,故C错误;卡文迪许利用扭秤测出了引力常量,故D正确。

2.关于引力常量,下列说法正确的是(　C　)

A.引力常量是两个质量为1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力

B.牛顿发现了万有引力定律,给出了引力常量的值

C.引力常量的测定,证明了万有引力的存在

D.引力常量G是不变的,其数值大小与单位制的选择无关

解析:引力常量的大小等于两个质量为1 kg的质点相距 1 m时的万有引力的数值,而引力常量不是两个质量为1 kg 的质点相距1 m时的相互吸引力,选项A错误;牛顿发现了万有引力定律,但他并未测出引力常量的值,引力常量的值是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中测出的,选项B错误;引力常量的测定,证明了万有引力的存在,选项C正确;引力常量G是一个常量,其大小与单位制的选取有关,在国际单位制中G=6.67×10-11 N·m2/kg2,故选项D错误。

3.下面关于行星对太阳的引力的说法正确的是(　A　)

A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力

B.行星对太阳的引力只与太阳的质量成正比,与行星的质量无关

C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力

D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比,与行星到太阳的距离成反比

解析:太阳与行星间的引力是一对作用力和反作用力,一定是同种性质的力,且大小相等,A正确,C错误;根据F=知,F与m1、m2均有关,且与r2成反比,B、D错误。

4.下列关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是(　C　)

A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力

B.只有天体间的引力才能用F=G计算

C.由F=G知,两质点间距离r减小时,它们之间的引力增大

D.引力常量的大小首先是由牛顿测出来的,且等于 6.67×

10-11 N·m2/kg2

解析:任何物体间都存在相互作用的引力,但万有引力定律只适用于能看作质点的物体间的引力计算,故A、B错误;由F=G可知,r越小,F越大,故C正确;引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的,D错误。

5.月—地检验的结果说明(　A　)

A.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一性质的力

B.地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一性质

的力

C.地面物体所受地球的引力只与物体的质量有关,即 G=mg

D.月球所受地球的引力只与月球质量有关

解析:月—地检验是通过完全独立的途径得出相同的结果,证明地球表面上的物体所受地球的引力和星球之间的引力是同一种性质的力,A正确,B错误;由公式F=G知,C、D错误。

6.甲、乙两个质点间的万有引力大小为F,若甲物体的质量不变,乙物体的质量增加到原来的2倍,同时它们之间的距离减为原来的一半,则甲、乙两物体间的万有引力大小将变为(　A　)

A.8F  B.4F 

C.F  D.

解析:根据万有引力定律F=G可知,若甲物体的质量m1不变,乙物体的质量m2增加到原来的2倍,同时它们之间的距离r减为原来的一半,则甲、乙两物体间的万有引力大小为F′=G=8G=8F,故A正确,B、C、D错误。

7.某火星探测卫星在离开地球的过程中,用R表示卫星到地心的距离,用F表示卫星受到地球的引力。下列图像中正确的是(　D　)

解析:F表示卫星受到地球的引力,根据万有引力定律,有F=G,故F图像是直线,故选项A、B、C错误,D正确。

8.如图所示,质量分布均匀的实心球体,其质量为M,半径为R。现在将它的左侧挖去一个半径为 r=的球体,则挖去后它对离球体表面距离R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为(　B　)

A. B. 

C. D.

解析:根据m=ρV=ρ·πr3知,挖去部分的半径是球体半径的一半,则质量是球体质量的,所以挖去部分的质量M′=M,没挖之前,球体对质点m的万有引力F1=G,挖去部分对m的万有引力F2=G=

,则剩余部分对质点的引力大小F=F1-F2=,则=,故B正确。

9.已知地球的赤道半径rE=6.37×103 km,地球的质量mE=5.977×

1024 kg。设地球为质量分布均匀的球体。

(1)若两个质量都为1 kg的均匀球体相距1 m,求它们之间的万有

引力。

(2)质量为1 kg的物体在地面上受到地球的万有引力为多大?

解析:(1)由万有引力定律的公式可得两个球体之间的引力F=G=6.67×10-11× N=6.67×10-11 N。

(2)将地球视为一质量分布均匀的球体,便可将地球看作一质量集中于地心的质点;而地面上的物体的大小与它到地心的距离(地球半径rE)相比甚小,也可视为质点。因此,可利用万有引力定律的公式求得地面上的物体受到地球的引力为F′=G=6.67×10-11×

N=9.8 N。

答案:(1)6.67×10-11 N　(2)9.8 N

能力提升

1.在万有引力定律理论建立的过程中,有许多伟大的科学家做出了贡献。关于科学家和他们的贡献,下列说法中正确的是(　D　)

A.开普勒在研究行星运动规律的基础之上提出了万有引力定律

B.牛顿通过扭秤实验测出了引力常量G的数值

C.开普勒通过研究行星观测记录,得出在相等时间内,地球与太阳的连线和火星与太阳的连线扫过的面积相等的结论

D.牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律的知识

解析:开普勒在研究行星运动规律的基础之上提出了行星运动定律,万有引力定律是牛顿发现的,故A错误;卡文迪许通过扭秤实验测出了引力常量G的数值,故B错误;根据开普勒第二定律知,在相等时间内,地球与太阳的连线扫过的面积相等,但和火星与太阳的连线扫过的面积并不等,故C错误;牛顿在发现万有引力定律的过程中,不仅应用了牛顿第二定律,还应用了牛顿第三定律的知识,故D正确。

2.如图所示,地球对月球具有相当大的引力,可它们没有靠在一起,这是因为(　D　)

A.不仅地球对月球有引力,而且月球对地球也有引力,这两个力大小相等,方向相反,互相抵消了

B.不仅地球对月球有引力,而且太阳系中的其他星球对月球也有引力,这些力的合力为零

C.地球对月球的引力还不算大

D.地球对月球的引力不断改变月球的运动方向,使得月球围绕地球

运动

解析:地球对月球的引力和月球对地球的引力是相互作用力,作用在两个物体上不能相互抵消,A错误;地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力,从而不断改变月球的运动方向,所以B、C错误,D正确。

3.如图所示,轨道上a、b、c、d四个位置中,A星受太阳引力最大的是(　A　)

A.a B.b C.c D.d

解析:由万有引力表达式F=G可知,距离越近,万有引力越大,则由题图可知a位置距离太阳最近,故该行星受太阳引力最大的是a位置,故A正确。

4.要使两物体间的万有引力减小到原来的,下列办法不可采用的是(　D　)

A.使物体的质量各减小一半,距离不变

B.使其中一个物体的质量减小到原来的,距离不变

C.使两物体间的距离增为原来的2倍,质量不变

D.使两物体间的距离和质量都减为原来的

解析:根据F=G可知,A、B、C三种情况中万有引力均减为原来的,当距离和质量都减为原来的时,万有引力不变,选项D符合题意。

5.某星球的质量约为地球的9倍,半径约为地球的一半,若从地球上高h处平抛一物体,射程为60 m,则在该星球上,从同样高度以同样的初速度平抛同一物体,射程应为(　B　)

A.90 m B.10 m 

C.360 m D.15 m

解析:设星球质量为m星,半径为R′,地球质量为m地,半径为R,已知=9,=,根据万有引力等于重力得G=mg,则g=,=

=。由题意知,从同样高度抛出,有h=gt2=g′t′2,联立解得

t′=t,在地球上的水平位移 s=v0t=60 m,在星球上的位移s′=

v0t′=v0t=10 m,故B正确。

6.地球质量大约是月球质量的81倍,一飞行器位于地球与月球之间,当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时,飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为多少?

解析:设月球质量为m,地月间距离为r,飞行器质量为m0,则地球质量为81m,当飞行器距月球的距离为r′时,月球对它的引力等于地球对它的引力,则G=G

所以=9,r=10r′,r′∶r=1∶10。

答案:1∶10

7.如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为2R,如果从球的正中心挖去一个直径为R的球,放在距离为d的地方,则两球之间的万有引力是多大?(引力常量为G)

解析:设挖去的球质量为m,根据割补法可得没挖去前两球间万有引力F=

挖去的球体对m的万有引力F1=

被挖掉的质量m=

则被挖后两球之间的万有引力F2=F-F1=。

答案: