第14讲 等腰三角形二（讲义）- 2022年春季七年级数学辅导讲义（沪教版）

第14讲 等腰三角形二

本节主要针对等腰三角形的综合性问题进行讲解，对于条件不足的问题，通过添加平行线或截长补短或倍长中线等构造全等的三角形，综合性较强．

模块一：计算

知识精讲

根据等腰三角形的性质进行角度和边长的相关计算．

例题解析

例1．（2018·全国七年级课时练习）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°

【答案】C

【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．

【详解】解：∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=36°，

∴∠1=∠A+∠ABD=72°，

故选C．

例2．（2018·全国七年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（  ）

A．35° B．45° C．55° D．60°

【答案】C

试题分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，从而可求得∠C=55°.

故选C

考点：等腰三角形三线合一

例3．（2018·全国七年级课时练习）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　   ）

A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°

【答案】B

试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，

②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．

考点：等腰三角形的性质．

例4．（2019·全国七年级课时练习）已知等腰三角形的顶角是底角的4倍，则顶角的度数为_____．

【答案】120°

【分析】根据等腰三角形的两底角相等，设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，利用三角形的内角和定理即可求得x的值，进而求得顶角的度数．

【详解】设底角的度数为x，则顶角的度数为4x，根据题意得：

x+x+4x=180

解得：x=30．

当x=30时，顶角=4x=4×30°=120°．

故答案为120°．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，正确利用方程思想是关键．

例5．（2018·全国七年级课时练习）如图，在中，，点为中点，，则的度数为_____．

【答案】55°

【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．

【详解】解：AB=AC，D为BC中点，

∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，

∵∠BAD=35°，

∴∠BAC=2∠BAD=70°，

∴∠C=（180°-70°）=55°．

故答案为：55°．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

例6．（2019·全国七年级课时练习）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B＝_______°．

【答案】40

【解析】试题分析：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠A=100°，

∴∠B==40°．

考点：等腰三角形的性质．

例7.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（   ）

    A． 6个        B． 7个         C． 8个        D． 9个

【难度】★

【答案】

【解析】经分析可知，等腰三角形有：，

    ，共8个．

【总结】考查等腰三角形定义及三角形内角和的综合运用．

例8.如图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．

【难度】★

【答案】．

【解析】

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．

例9.如图，AC=BC，DF=DB，AE=AD，求∠A的度数．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．

例10.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数．

【难度】★★

【答案】．

【解析】

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质、内角和性质的综合运用．

例11.如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，∠BAD=30°，在AC上取点E，使AE=AD，求∠EDC的度数．

【难度】★★

【答案】．

【解析】

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形外角性质的综合运用，

注意观察角度间的关系．

例12.在△ABC中，已知AB=AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC各内角的度数．

【难度】★★★

【答案】或或或．

【解析】

解：如图（1），当时，

；

如图（2）当时，

，

如图（3）当时，

同理可得：；

如图（4）当时

同理可得．

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理及分类讨论的思想的运用．

模块二：构造全等形

知识精讲

1．    添加平行线构造全等三角形；

2．    截长补短构造全等三角形；

3．    倍长中线构造全等三角形．

例题解析

例1．（2020·全国八年级课时练习）如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．

【答案】

【分析】在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可．

【详解】解：如图，在上截取，连接．

∵平分，

．

∵，

，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴．

设，

则．

∵在中，，

解得，

∴．

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

例2.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，BE=CF，EF交BC于点G，求证：EG=FG．

【难度】★★

【解析】证明：过点作，交于点

则，

    ．

【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质的应用．

例3.如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，试说明AC=BF的理由．

【难度】★★

【解析】延长至点，使，联结

【总结】考查通过辅助线构造全等三角形及结合等腰三角形的性质应用．

例4.如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O，试说明AE+CD=AC．

【难度】★★

【解析】证明：在上取，联结

易证．

分别平分，

则

则，

又

．

【总结】考查通过辅助线构造全等三角形的性质应用，注意找寻角度间的关系．

例5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC，试说明BC=AB+CD．

【难度】★★

【解析】在上截取，联结

平分，，

，

，

．

【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意添加合适的辅助线构造全等．

例6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，试说明BC=BD+AD．

【难度】★★

【解析】在上截取，联结，

在上截取，联结

平分，

，，

．

，

，

，．

【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意辅助线的合理添加．

例7.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，试说明CD=CE．

【难度】★★★

【解析】证明：延长CD到F，使DF=CD，连接BF，

∵CD为△ABC中AB边上的中线， ∴BD=AD

    ∵DF=CD，，

 ∴

    ∴，，

∴，

又∵，∴，

∴，

∵，

∴CD=CE．

【总结】考查全等的性质及等腰三角形的性质应用，注意倍长中线辅助线的运用．

模块三：构造等腰三角形

知识精讲

利用等腰三角形的“三线合一”的性质构造等腰三角形

例题解析

例1.如图，△ABC中，∠ABC、∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E，求证：DE=BD+AE．

【难度】★

【解析】证明：平分

【总结】考查“平行线与角平分线得到等腰三角形”的基本模型的运用．

例2.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系?

【难度】★★

【答案】

【解析】证明：在上取一点，使，连接BF

【总结】考查等腰三角形的性质的应用．

例3.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，延长AB到点E，使BE=BD，试说明AF=FC．

【难度】★★

【解析】证明：

为边上的高

【总结】考查等腰三角形的性质的应用．

例4如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE两条高交于点H，且AE=BE．试说明AH=2BD．

【难度】★★

【解析】为高，

，

AE=BE，

，．

【总结】考查等腰三角形的性质的应用．

例5.如图，已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，试说明AC-AB=2BE．

【难度】★★

【解析】证明：延长交于点

【总结】考查等腰三角形的性质的应用，注意根据题目条件构造等腰三角形．

随堂检测

1.如图，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（     ）

 A．600      B．450  

 C．300      D．不确定

【难度】★★

【答案】

【解析】

故选B．

【总结】考查等腰三角形的性质的运用，注意角度间的关系．

2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．

【难度】★★

【答案】．

【解析】

【总结】考查等腰三角形的性质．

3.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，试说明AF=EF．

【难度】★★

【解析】证明：延长至，使，联结

是边上的中线，

【总结】考查等腰三角形的性质，注意倍长中线辅助线的添加．

4.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，试说明BD是∠ABC的角平分线．

【难度】★★

【解析】证明：延长交于点

，

同理：

是的角平分线．

【总结】考查全等三角形及等腰三角形性质的应用，注意对模型的总结．

5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=100o，D、E在AC上，且AB=AD，CB=CE．求∠EBD的度数．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【总结】考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．．

6.已知：如图在∆ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，EF⊥AD，垂足是G，且交BC的延长线于点F．试说明∠CAF=∠B．

【难度】★★

【解析】证明：

是的平分线，

【总结】考查等腰三角形的性质及外角性质的综合运用．

7.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，试说明AB+BD=CD．

【难度】★★

【解析】证明：在上取一点使，联结

【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定．