第17讲-三角形与平行线-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第15讲-三角形与平行线

1. 灵活应用平行线的判定和性质，掌握三角形中的平行线的几个基本图形的应用。

（以提问的形式回顾）

1. 平行线的性质与判定：

2. 全等三角形的性质：

全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3. 三角形全等的判定定理：

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 如图，OC平分∠AOB，CD∥OB，指出图形中的等腰三角形，并说明理由

答案：△OCD

试一试：

1. 如图，OC平分∠AOB，OC∥BD，指出图形中的等腰三角形，并说明理由。

答案：△OBD

2. 如图，AD平分∠BAC，CE∥AD，指出图形中的等腰三角形，并说明理由。

答案：△ACE  （4）△AGF

3. 如图，AD平分∠BAC，GE∥AD，指出图形中的等腰三角形，并说明理由。

答案：△AGF

小结：总结出角平分线平行线，等腰三角形出现

例2. 已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC  说明△AEF的周长为AB+AC

解析：证明EB=ED，FD=FC

试一试：

1. 如图，已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE∥AB ，DF∥AC 说明△DEF的周长为BC；

解析：证明EB=ED，FD=FC

2. 如图，已知BD平分∠ABC，CD平分△ABC的一个外角，DE∥BC ，说明EF=BE–CF；

解析：证明EB=ED，FD=FC

3. 如图，已知AB平分∠DAE，AC平分∠DAF，BC∥EF，说明AD=BC。

解析：证明DB=DA，DA=DC

例3. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE，DE交BC于F．求证：DF=EF.

证明：过点D作DG∥AC交BC与G点

∵AB=AC（已知）

∴∠B=∠ACB（等边对等角）

又∵DG∥AC

∴∠DGB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）

∴∠B=∠DGB（等量代换）

∴DB=DG（等角对等边）

又∵DB=CE（已知）

∴DG=CE（等量代换）

又∵DG∥CE

∴∠E=∠FDG（两直线平行，内错角相等）

在△DFG和△EFC中

∴△DFG≌△EFC（AAS）

∴DF=EF

4．如图，已知点B、D在直线AE上，AC // DF，∠C =∠F，AD = BE，试说明

    BC // EF的理由．

解：因为AC // DF（已知）

所以∠A =∠FDE（两直线平行，同位角相等）．

        因为AD = BE（已知）

所以AD +DB = DB +BE（等式的性质），

        即得AB = DE．

        在△ABC和△DEF中，

        所以△ABC≌△DEF（AAS）．

        所以∠CBA =∠FED（全等三角形对应角相等）．

        所以BC // EF（同位角相等，两直线平行）．

5．如图，已知AB//CD，AB＝CD，O是AC的中点，过O点作直线分别交直线AD、BC于E、F，交线段AB、CD于G、H。

（1）图中有几对全等三角形？   （2）试说明AD//BC。

答案：（1）5对，△AEG≌△CFH，△AGO≌△CHO，△AEO≌△CFO，△ABC≌△CDA，△DEH≌△BGF，

（2）略

6．已知，四边形ABCD中，AD//BC，AD＝1，BC＝3，AB＝4，点E为CD中点，联结AE并延长AE与BC延长线交于点F，

　　（1）说明△ADE与△FCE全等的理由；

　　（2）联结BE，请说出BE与AF的位置关系，并说明理由。

答案：（1）△ADE与△FCE（ASA或AAS），

（2）BE⊥AF，根据等腰三角形三线合一

7. 如图，已知AC=BC=CD，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上．

（1）  试说明CD∥AB的理由；

（2）  CD是∠ACE的角平分线吗？为什么？

（1）解：因为BD平分∠ABC，（已知）

         所以∠ABD=∠DBC.（角平分线定义）

因为BC=CD，（已知）

所以∠DBC=∠D.（等边对等角）

所以∠ABD =∠D.（等量代换）

所以CD∥AB.（内错角相等，两直线平行）

（2）CD是∠ACE的角平分线.

因为CD∥AB，

所以∠DCE =∠ABE.（两直线平行，同位角相等）

    ∠ACD =∠A.（两直线平行，内错角相等）

因为AC=BC，（已知）

所以∠A =∠ABE.（等边对等角）

所以∠ACD =∠DCE.（等量代换）

即CD是∠ACE的角平分线.

8．如图：在中，已知点在上，

求证：DE=CE+BD

解：因为点A在DE上（已知），

所以 (平角的意义) ．

又因为（已知），

所以 (等式性质) ．

因为 (三角形的内角和等于180°)，

（已知），

所以 (等式性质) ．

因此 (同角的余角相等) ．

因为 （已知），

所以 (等量代换).

在△BDA和△AEC中

所以△BDA≌△AEC (AAS)．

       所以AD=CE，BD=AE（全等三角形对应边相等）

       因为DE=AD+AE

       所以DE=CE+BD（等量代换）

1．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（       ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等．

【详解】

解析：画出符合题意要求的三角形如图所示

以为公共边的三角形有8个，分别是，，

以为公共边的三角形有0个

以为公共边的三角形有1个，为

共个

故选：C

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑要全面，不要漏解．

2．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，已知AO平分∠DAE，AD=AE，AB=AC，图中全等三角形有（       ）．

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．

【详解】

解：∵AO平分∠DAE，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△AOE中，，

∴△AOD≌△AOE（SAS），

∴∠D=∠E，OD=OE；

在△AOC和△AOB中，，

△AOC≌△AOB（SAS）；

在△COD和△BOE中，，

∴△COD≌△BOE（ASA）；

在△DAB和△EAC中，，

∴△DAB≌△EAC（SAS）；

由上可得，图中全等三角形有4对，

故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．

3．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是______．（填写序号）

①，；

②，；

③，；

④，．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．

【详解】

①当，时，结合，

在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明，则有，

故①能得到；

②当，，结合，

在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明，

∴，

∴，

∴，

∴，

故②能得到；

③当，时，结合，

可证明，可得，

可得，

故③能得到；

④，时，

根据已知条件无法求得，

故④不能得到，

所以能得到的有①②③．

故答案为：①②③．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

4．（2020·上海市建平中学七年级期末）在四边形 中，，要使，可添加一个条件为_____．

【答案】AD=CB（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，然后根据全等三角形的各个判定定理，添加条件即可．

【详解】

解：∵

∴∠ADB=∠CBD

∵BD=DB

可添加AD=CB，可利用SAS即可证出≌

故答案为：AD=CB（答案不唯一）．

【点睛】

此题考查的是添加条件，使两三角形全等，掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键．

5．（2019·上海·七年级课时练习）已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.

【答案】6

【解析】

【分析】

首先证明△ABF≌△DCE，根据全等三角形的性质可得BF=CE，再根据等式的性质可得CF=EB=2，进而可得EF的长．

【详解】

∵AB∥CD,AF∥DE，

∴∠B=∠C，∠AFB=∠DEC，

在△ABF和△CDE中

，

∴△ABF≌△DCE(AAS)，

∴BF=CE，

∴BF−EF=CE−EF，

即CF=EB=2，

∵BC=10，

∴EF=10−2−2=6，

故答案为6.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于得到CF=EB=2.

6．（2019·上海·七年级单元测试）△ABC和△ADC中，下列三个论断：①AB＝AD；②∠BAC＝∠DAC；③BC＝DC．将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：__________．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根据题意，AC是两三角形的公共边，根据三角形全等的判定方法选取即可．

【详解】

在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC.

可以证明△ABC≌△ADC(SAS)，再利用全等三角形对应边相等得到BC=DC.

故答案为①②③

【点睛】

此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理.

7．（2019·上海浦东新·七年级期末）如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝6cm，BC＝12cm，AC＝10cm，DO＝3cm，那么OC的长是_____cm．

【答案】7

【解析】

【分析】

根据△ABC≌△DCB可证明△AOB≌△DOC，从而根据已知线段即可求出OC 的长．

【详解】

∵△ABC≌△DCB ，

∴AB=DC，∠A=∠D，

又∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），

∴△AOB≌△DOC，

∴OC=BO=BD-DO=AC-DO=7．

故答案是：7．

【点睛】

考查了全等三角形的性质解题的关键是注意掌握全等三角形的对应边相等，注意对应关系．

8．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由．

【答案】可以判断三组直线平行，见解析

【解析】

【分析】

由得到，进而得到和，再证明≌，得到，最后得到．

【详解】

解：可以判断三组直线平行，理由如下：

，

，

，

，，

,

，

，

，

在和中，，

∴≌，

，

，

综上所述，图中共有，，．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

9．（2021·上海虹口·八年级期末）如图，已知，，点E、F分别是AB、CD的中点，AF＝CE．

（1）求证：AB＝CD；

（2）求证：AD＝BC．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别得出CD＝2AF，AB＝2CE，从而得出AB＝CD．

（2）由直角三角形全等即可得证．

【详解】

证明：（1）   

在中，，点F是CD的中点

∴CD＝2AF

同理可得，AB＝2CE

∵AF＝CE

∴AB＝CD

（2）在和中

∴AD＝BC

【点睛】

本题考察了平行线的性质、直角三角形的性质及直角三角形的全等，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键点．

10．（2019·上海同济大学实验学校八年级阶段练习）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，；

（1）求证：；

（2）若，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】

（1）先判定//可得；再证//，即；最后根据等量代换即可证明；

（2）先证，再证，最后根据全等三角形的性质即可证明．

【详解】

（1）∵，

∴//，

∴，

∴//，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，即，

∴在和中，

，

∴（AAS）．

∴．

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求证：BC∥DF．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由AF=CE，得到AC=EF，然后得到△ABC≌△DEF，则∠ACB=∠EFD，然后即可证明结论成立．

【详解】

证明：∵AF=CE，

∴AC=EF，

在△ABC和△DEF中

AC=EF，AB=DE，BC=DF，

∴△ABC≌△DEF

∴∠ACB=∠EFD，

∴∠BCF=∠DFC，

∴BC∥DF；

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．

12．（2021·上海市风华初级中学七年级期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，说明的理由．

【答案】理由见解析

【解析】

【分析】

先求出，再根据判定，即可证明，从而证得．

【详解】

证明：∵，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是得到三角形全等．

13．（2021·上海市徐汇中学八年级期中）如图，若 AC、BD、EF两两互相平分于点O，那么图中的全等三角形共有（       ）

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

【答案】D

【解析】

【分析】

根据AC、BD、EF两两互相平分于点O，则有OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；图中的对顶角有∠AOB与∠DOC，∠AOE与∠COF，∠BOF与∠DOE，∠AOD与∠BOC；根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得△AOB≌△DOC；△AOE≌△COF；再利用前面所证全等三角形，易证四边形ABCD是平行四边形，故△BOF≌△DOE；△AOD≌△BOC．

【详解】

解：∵AC、BD、EF两两互相平分于点O

∴OE＝OF，OA＝OC，OB＝OD；

∵∠AOB=∠DOC，∠AOE=∠COF，∠BOF=∠DOE，∠AOD=∠BOC；

∴△AOB≌△DOC（SAS）

△AOE≌△COF（SAS）

∵OA＝OC，OB＝OD；

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC， AD=BC

∴∠EDO=∠FBO， △AOD≌△BOC

∴△BOF≌△DOE

故图中所有的全等三角形有6对，分别是△AOB≌△DOC；△AOE≌△COF；△BOF≌△DOE；△AOD≌△BOC；△ABD≌△CDB；△ABC≌△CDA．

故选：D

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定；找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏．

14．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，已知与相交于点O，，从下列条件中补充一个条件，不一定能判定的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．

【详解】

A．，则

B．，则

C．无法证明

D．，

故选：C

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定．全等三角形的判定：1、（SSS）三边对应相等的两个三角形全等；2、（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；3、（ASA）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4、（AAS）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

15．（2021·上海市向东中学七年级期末）如图，已知△ADC的面积为5，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为_________.

【答案】10

【解析】

【分析】

首先延长BD，交AC于点E，再根据“ASA”证明△ABD≌△AED，由S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD，可知S△ABC=2 S△ACD，可得答案．

【详解】

延长BD，交AC于点E，

∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠EAD．

∵∠ADB=∠ADE，AD=AD，

∴△ABD≌△AED，

∴BD=DE，

∴S△BCD= S△CDE，

∴S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD=5，

∴S△ABC=2 S△ACD=10．

故答案为：10

【点睛】

这是一道关于应用全等三角形的性质解决三角形的面积问题，构造全等三角形是解题的关键．

16．（2021·上海市上南中学南校七年级期末）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，∠A＝∠F，请添加一个条件：__________________，使△ABC≌△FED．

【答案】AB＝FE或∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE或DE∥BC

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．

【详解】

解：∵AD＝FC，AC＝AD+CD，FD＝CF+CD

∴AC＝FD，

∵∠A＝∠F，

∴添加AB＝FE，利用SAS得出△ABC≌△FED，

添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△FED，

添加∠ACB＝∠FDE，利用ASA得出△ABC≌△FED，

添加DE∥BC，得出∠EDF＝∠BCA，利用ASA得出△ABC≌△FED，

故答案为：AB＝FE或∠B＝∠E或∠ACB＝∠FDE或DE∥BC．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟知全等三角形的判定条件.

17．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 ___________________________（用形式表示）

【答案】①②④③，①④③②．

【解析】

【分析】

根据已知条件，根据三角形全等的判定方法，结合条件在图形上的位置进行选择能够判定三角形全等的条件，另一个作为结论，可得答案．

【详解】

解：(1)①②④⇒③．

证明如下：∵DE=DC，DA=DB，AC=BE

∴△DCA≌△DEB（SSS）

∴∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）

 (2) ①④③⇒②

证明如下：∵，，

∴△DCA≌△DEB（SAS）

∴DA=DB（全等三角形的对应边相等）

故答案为：①②④⇒③，①④③⇒②．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，结合图形与判定方法进行选择是解答本题的关键．

18．（2018·上海·华东理工大学附属中学七年级阶段练习）如图：在中，已知AB=AC，垂足为点D，点F在AD的延长线上，且CE∥BF，试说明DE=DF的理由.

解：因为AB=AC，AD⊥BC（已知）

所以BD=           

因为CE∥BF（已知）

所以=               

在中，

中

      =      

       =        

所以(             )

所以DE=DF（             ）

【答案】CD，∠F，，BD=CD.，AAS，全等三角形对应边相等.

【解析】

【分析】

据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE-DF的长即可；

【详解】

解：∵AB=AC，AD⊥BC（已知）

∴BD=CD.

∵CE∥ BF

.∴∠CED=∠F，∠EDC=∠BDF（对顶角相等）

在△BFD和△CED中

∴△BFD≌△CED（AAS）

∴DE=DF（全等三角形对应边相等）.

故答案为CD，∠F，，BD=CD.，AAS，全等三角形对应边相等.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等.

19．（2019·上海·七年级课时练习）如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有_____对．

【答案】有6对

【解析】

【详解】

分析：在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它的三角形由易到难．

详解：∵AD∥BC，OE=OF，

∴∠FAC=∠BCA，

又∠AOF=∠COE，

∴△AFO≌△CEO，

∴AO=CO，

进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD

共有6对．

故答案为6

点睛：考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序别遗漏．

20．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知：在四边形ABCD中，，，点E是BC边上的一点，且AE＝DC．

(1)求证：．

(2)求证：．

(3)如果，求证：．

【答案】(1)见详解；

(2)见详解；

(3)见详解；

【解析】

【分析】

（1）由平行线定理两直线平行同旁内角互补证明；

（2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质先证（AAS），再证（SAS）；

（3）过点A作于H，由等腰三角形和余角的性质证明；

(1)

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

(2)

解：∵，

∴，

在和中，

∴（AAS），

∴BC＝DA，AB＝CD，

∵AE＝CD，

∴AB＝AE，

∴，

∵，

∴，

∴．

在和中，

∴（SAS）．

(3)

解：过点A作于H，

∵AB＝AE，，

∴，

在中，

∵，

又，

∴

∴，

∵，

∴，

∴∠BAE＝2∠ACB．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定；熟练掌握其定理进行推理论证是解题关键．

21．（2021·上海市川沙中学南校七年级期末）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由．（完成以下说理过程）

解：EF、BC的位置关系是______．

说理如下：

因为AD是∠BAC的角平分线（已知）

所以∠1＝∠2．

在△AED和△ACD中，，

所以△AED≌△ACD（SAS）．

得__________（全等三角形的对应边相等）．

【答案】EF∥BC，DE＝DC．

【解析】

【分析】

先利用△AED≌△ACD得到∠3＝∠4，利用角的平分线，转化为一对相等的内错角，继而判定直线的平行．

【详解】

解：EF、BC的位置关系是EF∥BC．

理由如下：

如图，

∵AD是∠BAC的角平分线（已知）

∴∠1＝∠2．

在△AED和△ACD中，

，

∴△AED≌△ACD（SAS）．

∴DE＝DC（全等三角形的对应边相等），

∴∠3＝∠4．

∵EC平分∠DEF（已知），

∴∠3＝∠5．

∴∠4＝∠5．

所以EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：EF∥BC，∠1＝∠2，AD=AD，DE＝DC．

【点睛】

本题考查了三角形的全等和性质，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握灯光要三角形的性质，平行线的判定是解题的关键．

22．（2021·上海·九年级专题练习）如图，相交于，∥，∥，求证：∥．

【答案】见解析．

【解析】

【分析】

根据∥，∥可得，再加上对顶角相等，可证明，得到，即可得到结果；

【详解】

∵∥，

∴，

∵∥，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∥．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质和平行线的判定，准确分析证明是解题的关键．

23．（2021··九年级专题练习）如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DC与BE交于点O，且AD=3，BD=AC=6，AE=2．

（1）求证：DE∥BC，

（2）如果△BOC的面积比△DOE的面积大8，求△DOE的面积

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

【分析】

（1）证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应角相等和平行线的判定定理即可证明；

（2）由DE∥BC，推出△DOE∽△COB，，推出，根据△BOC的面积比△DOE的面积大8，即可解决问题．

【详解】

解：（1）证明：∵AD=3，BD=6，

∴AB=9，

∵AC=6，AE=2，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE=∠ABC，，

∴DE//BC；

（2）∵DE//BC，

∴∠ODE=∠DCB，∠OED=∠EBC，

∴△DOE∽△COB，

∵，

∴，即，

∵△BOC的面积比△DOE的面积大8，

∴，解得．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定定理，并能正确识图是解题关键．

24．（2021·上海·华东理工大学附属中学七年级期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．

(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．

(2)当时，求的值．

(3)若，求所有满足条件的值．

【答案】(1)时，，时，

(2)

(3)

【解析】

【分析】

(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；

(2)根据题意列出方程，解方程即可；

(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．

(1)

解：当时，，，

当时，，．

(2)

解：由题意知：，

当时，，，(舍去)．

当时，，，．

(3)

解：当时，，

当时，，

当时，，，．

当时，，，(舍去）．

∴当时，．

【点睛】

本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．