第13讲-全等三角形性质与判定（一）-【同步优课】2021-2022学年七年级数学下学期重难点精品讲义（沪教版）

第13讲-全等三角形性质与判定（一）

1．掌握全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；掌握全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边；

2．会根据已知条件画三角形（已知三边、两边一夹角、两角一夹边）；

（以提问的形式回顾）

1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2. 全等三角形判定定理1：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）

小练习：

1．如图，以点A为中心，把ΔABC旋转180°，能与Δ       重合，

这表示Δ        ≌ Δ        

2．用一个三角形模型画出的两个三角形一定          

3．一个含30°角的直角三角形与另一个含60°角的直角三角形         全等。（填“一定”或“不一定”）。

4．如果一个三角形和直角ΔABC全等，那么这个三角形必有两个角相加是          °

5．若ΔABC≌ΔDEF，且AB = 3，BC = 4，AC = 5，则ΔDEF的周长是          

6．如图，ΔABC≌ΔDCB，∠A = ∠D，试写出其余的对应角和对应边

                          对应边：                             

                          对应角：                             

7、如图，在平行四边形ABCD中，ΔABO旋转          后能与ΔCDO重合，在图中

有          对三角形全等

8、如图，ΔAOB经过         运动能和ΔDOC重合，其中∠ABO的对应角是          

9、如图，ΔABC≌ΔADE，∠B = ∠D，则AC与          是对应边，∠CAB =      

10、如图，ΔABC≌ΔDAE，那么AB =          ，∠B =          

1、AED、ABC、AED      2、全等     3、不一定     4、直角     5、12     6、AB与DC、AC与DB、BC与CB；∠ABC与∠DCB、∠ACB与∠DBC     7、180、4

8、旋转、∠DCO     9、AE、∠EAD     10、AD、∠ADE 

例1. 如图，ΔABF≌ΔCDE，∠B = 30°，∠BAF = 88°，求∠DEC的度数。

参考答案：

解：因为ΔABF≌ΔCDE（已知）

    所以∠DEC=∠BFA（全等三角形的对应角相等）

    因为∠B +∠BAF+∠BFA =180°（三角形的内角和定理）

    因为∠B = 30°，∠BAF = 88°（已知）

所以∠BFA=62°（等式性质）

所以∠DEC=62°（等量代换）

强调：需要注意书写规范。

试一试：如图，已知ΔABC≌ΔADE，∠CAD = 10°，∠DFB = 90°，∠B = 25°，求∠E与∠DGB的度数。

参考答案：∠E=100°；∠DGB=65°；具体书写规范参照例题。

例2. 如图，在ΔABC中，∠A = ∠B，点D、E、F分别在AC、BC、AB上，AD = BF，BE = AF，说明DF = EF的理由。

答案：通过边角边证明ΔADF≌ΔBFE，然后由全等三角形的性质得出DF=EF

试一试：如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，∠FDE=∠B，那么∠B与∠C 的大小关系如何？并说明理由。

答案：∠B=∠C

1．（2018·上海虹口·七年级期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）

A．72° B．60° C．58° D．50°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．

【详解】

解：∵两个三角形全等，

∴∠α的度数是72°．

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．全等三角形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边．

2．（2021·上海市川沙中学南校七年级期末）中，厘米，，厘米，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以v厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，v的值为　　

A． B．3 C．或3 D．1或5

【答案】C

【解析】

【分析】

此题要分两种情况：①当BD=PC时，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD=CQ时，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．

【详解】

①当BD=PC时，

∵点D为AB的中点，

∴BD=AB=6厘米，

∵BD=PC，

∴BP=9-6=3（厘米），

∴CQ =BP=3厘米，

∴点Q运动了3÷3=1秒

∴点P在线段BC上的运动速度是3÷1=3（厘米秒），

②当BD=CQ时，

∴BD=CQ=6厘米，

点Q运动了6÷3=2秒.

∵△BDP≌△CQP，

∴BP=CP=厘米，

∴点P在线段BC上的运动速度是÷2=2.25（厘米秒），

故选C.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，关键是要分情况讨论，不要漏解．

3．（2021·上海金山·七年级期末）如图，已知△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，添加下列哪一个条件可以得到△ABC≌△DEF（　　）

A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠F C．AC∥DF D．AB∥DE

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定定理依次判断．

【详解】

解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，

∴当∠A＝∠D时，无法判定△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；

当∠ACB＝∠F时，无法判定△ABC≌△DEF，故选项B不符合题意；

当时，∠ACB＝∠F，无法判定△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；

当时，∠B＝∠DEF时，可根据SAS判定△ABC≌△DEF，故选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】

此题考查了添加条件证明两个三角形全等，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

4．（2021·上海民办浦东交中初级中学七年级期末）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（　　）

A．AB＝3，BC＝4，CA＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°

C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°

【答案】C

【解析】

【分析】

运用全等三角形的判定方法逐项判断即可．

【详解】

解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；

B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；

C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；

D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解答本题关键．

5．（2021·上海市向东中学七年级期末）如图，已知△ADC的面积为5，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为_________.

【答案】10

【解析】

【分析】

首先延长BD，交AC于点E，再根据“ASA”证明△ABD≌△AED，由S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD，可知S△ABC=2 S△ACD，可得答案．

【详解】

延长BD，交AC于点E，

∵AD平分∠BAE，

∴∠BAD=∠EAD．

∵∠ADB=∠ADE，AD=AD，

∴△ABD≌△AED，

∴BD=DE，

∴S△BCD= S△CDE，

∴S△ADE+S△CDE=S△ABD+S△BCD=5，

∴S△ABC=2 S△ACD=10．

故答案为：10

【点睛】

这是一道关于应用全等三角形的性质解决三角形的面积问题，构造全等三角形是解题的关键．

6．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，在与中，有以下四个等式①；②；③；④，请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 ___________________________（用形式表示）

【答案】①②④③，①④③②．

【解析】

【分析】

根据已知条件，根据三角形全等的判定方法，结合条件在图形上的位置进行选择能够判定三角形全等的条件，另一个作为结论，可得答案．

【详解】

解：(1)①②④⇒③．

证明如下：∵DE=DC，DA=DB，AC=BE

∴△DCA≌△DEB（SSS）

∴∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）

 (2) ①④③⇒②

证明如下：∵，，

∴△DCA≌△DEB（SAS）

∴DA=DB（全等三角形的对应边相等）

故答案为：①②④⇒③，①④③⇒②．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质；这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，结合图形与判定方法进行选择是解答本题的关键．

7．（2021·上海普陀·七年级期末）如图，已知OA＝OB，点C在OA上，点D在OB上，OC＝OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等的三角形共有___________对．

【答案】4

【解析】

【分析】

由于OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OC＝OD，利用SAS可证△AOD≌△BOC，再利用全等三角形的性质，可知∠A＝∠B；在△ACE和△BDE中，∠A＝∠B，∠AEC＝∠BED，而OA－OC＝OB－OD，即AC＝BD，利用AAS可证△ACE≌△BDE；再利用全等三角形的性质，可得AE＝BE，在△AOE和△BOE中，由于OA＝OB，∠A＝∠B，AE＝BE，利用SAS可证△AOE≌△BOE；再利用全等三角形的性质，可得∠COE＝∠DOE，而OE＝OE，OC＝OD，利用SAS可证△COE≌△DOE．

【详解】

解：∵ ，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴∠A＝∠B，

又∵∠AEC＝∠BED，OA－OC＝OB－OD，

即AC＝BD，

∴△ACE≌△BDE，

∴AE＝BE，

又∵

∴△AOE≌△BOE（SAS），

∴∠COE＝∠DOE，

又∵ ，

∴△COE≌△DOE（SSS）．

故全等的三角形一共有4对．

故答案为：4

【点睛】

本题利用了全等三角形的判定和性质．做题时要从已知开始结合判定方法逐个验证，做到由易到难，不重不漏．

8．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）在△ABC中，三个外角平分线所在的直线相交构成的三角形是_______.

【答案】锐角三角形

【解析】

【分析】

由题意画出图形，根据三角形外角与内角关系以及外角和定理进一步得出答案

【详解】

如图，根据题意，在△ABC外部连接处相对应的△DEF，D、E、F三点分别是△ABC三个外角平分线的交点

∴∠FAC＋∠FCA=(∠BAC＋∠BCA＋∠ABC＋∠ABC)

∴∠F=180°－(180°＋∠ABC)=90°－∠ABC＜90°

同理可得：∠D=90°－∠ACB＜90°；∠E=90°－∠BAC＜90°

∴△DEF是锐角三角形

故答案为锐角三角形

【点睛】

本题主要考查了三角形外角与内角的关系，熟练掌握相关概念加以变形是关键

9．（2019·上海浦东新·七年级期末）如图，在中，，高，交于点，连接并延长交于点，则图中共有______________________组全等三角形．

【答案】7

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定法则确定三角形全等，最后统计即可.

【详解】

解：①△BDC≌△CEB，根据等边对等角得：∠ABC=∠ACB，由高得：∠BDC=∠CEB=90°，所以利用AAS可证明全等；

②△BEO≌△CDO，加上对顶角相等，利用AAS可证明全等；

③△AEO≌△ADO，根据HL可证明全等；

④△ABF≌△ACF，根据SAS可证明全等；

⑤△BOF≌△COF，根据等腰三角形三线合一的性质得：BF=FC，∠AFB=∠AFC，利用SAS可证明全等；

⑥△AOB≌△AOC，根据SAS可证明全等；

⑦△ABD≌△ACE，利用AAS可证明全等.

故答案为7.

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，要书写三角形全等时要按顺序书写，才能做到不重不漏.

10．（2019·上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③DA＝DC；④△ABC≌△ADC，其中正确结论的序号是_____．

【答案】①②④

【解析】

【分析】

根据全等三角形的性质得出∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，AB＝AD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．

【详解】

∵△ABO≌△ADO，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，

∴AC⊥BD，故①正确；

∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴∠COB＝∠COD＝90°，

在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SAS），故④正确

∴BC＝DC，故②正确；

故答案为①②④．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

11．（2021·上海·华东理工大学附属中学七年级期末）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以2cm/s的速度向终点运动，当点到达点时，、两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）．

(1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）．

(2)当时，求的值．

(3)若，求所有满足条件的值．

【答案】(1)时，，时，

(2)

(3)

【解析】

【分析】

(1)根据点F从点B出发的速度和图形解答即可；

(2)根据题意列出方程，解方程即可；

(3)分两种情况讨论，根据全等三角形的性质列式计算即可．

(1)

解：当时，，，

当时，，．

(2)

解：由题意知：，

当时，，，(舍去)．

当时，，，．

(3)

解：当时，，

当时，，

当时，，，．

当时，，，(舍去）．

∴当时，．

【点睛】

本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．

12．（2021·上海市风华初级中学七年级期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，说明的理由．

【答案】理由见解析

【解析】

【分析】

先求出，再根据判定，即可证明，从而证得．

【详解】

证明：∵，

∴，即，

在和中，，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是得到三角形全等．

13．（2021·上海市市西初级中学七年级期末）如图，是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，．连接PQ交AC于D点，过P作，交AC于E点．

(1)说明的理由．

(2)过点P作于F，说明的理由．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质，可得∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；

（2）根据等腰三角形的性质，可得EF与AE的关系，根据线段中点的性质，可得DE=CE，EF与AE的关系，根据线段的和差，可得答案．

(1)

∵PE∥BC，

∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠ACB=60°．

∴∠A=∠AEP．

∴AP=PE．

又∵AP=CQ，

∴PE=CQ．

在△EDP和△CDQ中

，

∴△EDP≌△CDQ（AAS），

∴DE=DC；

(2)

∵AP=PE，PF⊥AC，

∴EF=AE．

∵DE=DC，且DE+DC=CE，

∴DE=CE．

∴DF=EF+DE

=AE+CE

=（AE+CE）

=AC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的性质．

14．（2021·上海静安·七年级期末）如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．

（1）AD和BC相等吗？为什么？

（2）BF和BD相等吗？为什么？

【答案】（1）AD＝CB，理由见解析；（2）BF＝BD，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，证明△ABD≌△CDB，证得AD＝CB；

（2）由AD＝CB，BE＝AD，得BC＝BE，结合AD∥BC，得∠ADB＝∠DBF，进而得到∠EFB＝∠CDB，证明△EFB≌△CDB（AAS），证得FB＝DB．

【详解】

（1）AD＝CB，

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

同理可得，∠ADB＝∠CBD，

在△ABD与△CDB中，

∴△ABD≌△CDB（ASA），

∴AD＝CB；

（2）BF＝BD，

理由

∵AD＝CB，BE＝AD，

∴BC＝BE，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBF，

∵∠DEF＝∠ADC，

∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，

即∠EFB＝∠CDB，

在△EFB与△CDB中，

，

∴△EFB≌△CDB（AAS），

∴FB＝DB．

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，全等三角形的证明，熟练使用以上知识是解题的关键．

15．（2019·上海市民办新竹园中学七年级期中）已知：△ABC△DEF，∠A=∠D=90°,∠B=37°,则∠E=（     ）

A．37° B．53° C．37°或53° D．37°或63°

【答案】A

【解析】

【分析】

根据全等三角形性质得出∠E=∠B，从而得出答案

【详解】

∵△ABC△DEF

∴∠E=∠B=37°

故答案为A选项

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的基本性质，掌握基本性质是关键

16．（2019·上海浦东新·七年级期末）下列四组三角形中，一定是全等三角形的是（   ）

A．周长相等的两个等边三角形

B．三个内角分别相等的两个三角形

C．两条边和其中一个角相等的两个三角形

D．面积相等的两个等腰三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

依据全等三角形的概念即可做出选择.

【详解】

解：A. 周长相等的两个等边三角形，三边都相等，故A正确；

B. 三个内角分别相等的两个三角形，三角形相似，不一定全等，故B错误；

C. 两条边和其中一个角相等的两个三角形,只有这个角是两边夹角三角形才全等，故C错误；

D. 面积相等的两个等腰三角形，不一定全等，故D错误；

答案为：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的定义，即全等三角形不仅形状相同，而且大小相等.

17．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，在方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（       ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等．

【详解】

解析：画出符合题意要求的三角形如图所示

以为公共边的三角形有8个，分别是，，

以为公共边的三角形有0个

以为公共边的三角形有1个，为

共个

故选：C

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑要全面，不要漏解．

18．（2021·上海松江·七年级期末）如图，在四边形中，，点E、F分别在直线、上，且．

(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由．

(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)见解析

(2)不成立，，见解析

【解析】

【分析】

（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明△ABG≌△ADF，△EAG≌△EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；

（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE可得ME＝EF，进而可得EF＝BE﹣FD．

(1)

EF＝BE+DF，

理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，

∴∠ADC＝∠ABG，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，

即∠EAG＝∠EAF，

在△EAG和△EAF中，

，

∴△EAG≌△EAF（SAS），

∴GE＝EF，

∴EF＝BE+DF；

(2)

（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，

在BE上截取BM＝DF，连接AM，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠ABC＝∠ADF，

在△ABM和△ADF中，

，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，

∴∠BAD＝∠MAF，

∵∠EAF＝∠BAD，

∴∠EAF＝∠MAF，

∴∠EAF＝∠EAM，

在△AME和△AFE中，

，

∴△AME≌△AFE（SAS），

∴ME＝EF，

∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，

∴EF＝BE﹣FD．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．

19．（2019·上海·七年级课时练习）如图，若MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定的是（　）

A．AM＝CN B． C．AB＝CD D．∠M＝∠N

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两个三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．

【详解】

解：A、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故A选项符合题意；

B、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；

C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；

D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题重点考查了三角形全等的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．

20．（2021·上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点O，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明的是______．（填写序号）

①，；

②，；

③，；

④，．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

只要能确定AB、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．

【详解】

①当，时，结合，

在△ABE和△ACD中，利用“AAS”可证明，则有，

故①能得到；

②当，，结合，

在△BOD和△COE中，利用“AAS”可证明，

∴，

∴，

∴，

∴，

故②能得到；

③当，时，结合，

可证明，可得，

可得，

故③能得到；

④，时，

根据已知条件无法求得，

故④不能得到，

所以能得到的有①②③．

故答案为：①②③．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

21．（2021·上海金山·七年级期末）如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE=___cm．

【答案】2

【解析】

【分析】

∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，可得∠CAD=∠BCE，再利用AAS证得△CDA≌△BEC，从而得到CD=BE，CE=AD，再由DE=CE-CD，得DE=AD-BE，即可求解．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在△CDA与△BEC中，

，

∴△CDA≌△BEC（AAS），

∴CD=BE，CE=AD，

∵DE=CE-CD，

∴DE=AD-BE，

∵AD=3cm，BE=1cm，

∴DE=3-1=2（cm），

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用AAS证出△CDA≌△BEC是解题的关键．

22．（2020·上海市建平中学七年级期末）在四边形 中，，要使，可添加一个条件为_____．

【答案】AD=CB（答案不唯一）

【解析】

【分析】

根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，然后根据全等三角形的各个判定定理，添加条件即可．

【详解】

解：∵

∴∠ADB=∠CBD

∵BD=DB

可添加AD=CB，可利用SAS即可证出≌

故答案为：AD=CB（答案不唯一）．

【点睛】

此题考查的是添加条件，使两三角形全等，掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键．

23．（2020·上海市民办立达中学七年级期末）如图，线段AC与线段DB交于点O，且AB=DC，AC=DB，已知∠A=80°，∠ACB=35°，则∠ACD=________________°.

【答案】30

【解析】

【分析】

根据已知条件可证明，由全等三角形的性质可知，进而利用可求出的度数.

【详解】

在和中，

故答案为30

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

24．（2018·上海浦东新·七年级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点G，请你添加一个适当的条件，使得△AEG≌△CEB，这个条件可以是_____（只需填写一个）．

【答案】GE＝BE

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定定理来求解即可.

【详解】

解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，

∴∠BEC＝∠AEC＝90°，

在Rt△AEG中，∠EAG＝90°﹣∠AGE，

又∵∠EAG＝∠BAD，

∴∠BAD＝90°﹣∠AGE，

在Rt△AEG和Rt△CDG中，∠CGD＝∠AGE，

∴∠EAG＝∠DCG，

∴∠EAG＝90°﹣∠CGD＝∠BCE，

所以根据AAS添加AG＝CB或EG＝EB；

根据ASA添加AE＝CE．

可证△AEG≌△CEB．

故答案为GE＝BE．

【点睛】

本题考查的是全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.

25．（2019·上海浦东新·七年级期末）如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝6cm，BC＝12cm，AC＝10cm，DO＝3cm，那么OC的长是_____cm．

【答案】7

【解析】

【分析】

根据△ABC≌△DCB可证明△AOB≌△DOC，从而根据已知线段即可求出OC 的长．

【详解】

∵△ABC≌△DCB ，

∴AB=DC，∠A=∠D，

又∵∠AOB=∠DOC（对顶角相等），

∴△AOB≌△DOC，

∴OC=BO=BD-DO=AC-DO=7．

故答案是：7．

【点睛】

考查了全等三角形的性质解题的关键是注意掌握全等三角形的对应边相等，注意对应关系．

26．（2021·上海市久隆模范中学七年级期末）如图，与相交于，且．

（1）请添加一个条件能说明，这个条件可以是：______或______．

（2）请你选择（1）中你所添加的一个条件，说明的理由．

【答案】（1）或或或或（填其中两个即可）；（2）选择添加的条件是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据三角形全等的判定定理与性质可知，只要添加的条件可以使得或即可；

（2）选择添加的条件是，先根据三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

解：（1）由三角形全等的判定定理与性质可知，只要添加的条件可以使得或即可，

则这个条件可以是或或或或（填其中两个即可），

故答案为：或或或或（填其中两个即可）；

（2）选择添加的条件是，理由如下：

在和中，，

，

，

，

即．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．

27．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，，与相交于点．

(1)请说明的理由．

(2)如果，试说明平分的理由．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）由余角的性质可证，根据“ASA”可证结论成立；

（2）由可得，结合可知，然后根据“SAS”证明△ABD≌△ACD可证结论成立．

(1)

证明：，，

，∠AEB=∠CEB=90°，

，∠EBC+∠C=90°，

，

在与中，

，

．

(2)

解：由（1）知，，

，，

是的中点，

，

在△ABD和△ACD中

，

∴△ABD≌△ACD，

∴，

平分．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

28．（2021·上海杨浦·七年级期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由．

【答案】可以判断三组直线平行，见解析

【解析】

【分析】

由得到，进而得到和，再证明≌，得到，最后得到．

【详解】

解：可以判断三组直线平行，理由如下：

，

，

，

，，

,

，

，

，

在和中，，

∴≌，

，

，

综上所述，图中共有，，．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．