2022年小升初牛吃草问题(1)

这是一份2022年小升初牛吃草问题(1)，共10页。学案主要包含了部分是自动扶梯的速度等内容，欢迎下载使用。





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牛吃草问题
考点分析
1、题 型：以解决问题为主
2、分值分布：2-8 分
3、考查范围：图示、图表或类推法解决问题。
4、考查重点：主要考查学生的分析能力。在变量中抓住两个不变量。
5、命题趋势：牛吃草问题难度比较大，历年考试出现的不是很多，但是对于训
练数学思维能力有重要的作用。
思维导航
1、牛吃草问题又称为消长问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草
问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相
同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以
草的存量随着吃的天数不断地变化。
2、解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
（1）草的生长速度= （对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷
（吃的较多天数－吃的较少天数）；
（2）原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
（3）吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
（4）牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决
消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然
在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，
才能够导出上面的四个基本公式。
3、牛吃草问题解题环节主要有四步：
1）求出每天长草量；
2）求出牧场原有草量；
3）求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-生长的草量= 消耗原有的草量)；
4）最后求出牛可吃的天数。
4、解题思路
牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量都在不断变化。解答这类题目的
关键是想办法从变化中找出不变量，可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加新长的
草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，也能找
到另一个不变量——每天（每周）新长出的草的数量。
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；
再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
原有草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
题型一：经典的牛吃草问题
例 1、一片草地以均匀速度增长，10 头牛可以吃 40 天，15 头牛可以吃 20 天，那么，25 头 牛可以吃多少天？
解析：这是经典的牛吃草的问题，这个问题主要就是要抓住两个不变量，就是原有草和草长 速。设一头牛每天吃一份草，此题中草长速= (4010 2015) (40 20)  5(份/天) ， 原有草= 4010540  200(份) ，这时我们把 25 头牛分 5 头牛去吃每天长出来的草，那 么当剩下来的 20 头牛把原有草吃完的时候，整片草地就没草了。25 头牛吃的时间=200÷ 20=10（天）。
演练 1、一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供 27 头牛吃 6 周或 23 头牛吃 9 周， 那么这片草地可供 21 头牛吃几周？
演练 2、有一块匀速生长的草地，可供 24 头牛吃 10 天或者 12 头牛吃 25 天，请问可供 29 头牛吃多少天？
题型二：船进水问题
例 2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内，如果 10 人淘水， 3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完。如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水？
解析:船进水问题其实可以看成是牛吃草问题，一样有两个不变量，一个不变量就是发现漏 水时已经漏进来的水量相当于原有草，另一个就是进水的速度就是草长速，然后用牛吃草的 解题方法解题。
演练 1、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果
用 12 人舀水，3 小时舀完。如果只有 5 个人舀水，要 10 小时才能舀完。现在要想 2 小时舀 完，需要多少人？
演练 2、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用 3 台抽水机来抽水， 36 分钟可以抽完；如果使用 5 台抽水机，20 分钟抽完。现在 12 分钟内要抽完井水，需要抽 水机多少台？
题型三：排队问题
例 3、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多，从开始检票到等
候检票的队伍消失，若同时开 5 个检票口则需要 30 分钟，若同时开 6 个检票口则需要 20
分钟，如果要使队伍 10 分钟消失，那么需要同时开多少个检票口？
解析：排队问题一样可以看成是牛吃草问题来解题，两个不变量是检票前排队的人数相当于
原有草，另一个就是单位时间来的排队人数就是草长速，然后用牛吃草解题方法解题。
演练、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等
候检票的队伍消失，同时开 4 个检票口需 30 分钟，同时开 5 个检票口需 20 分钟．如果同时 打开 7 个检票口，那么需多少分钟？
题型四：两种动物吃草问题
例 4、一片均匀生长的草地，18 头牛吃 40 天或者 12 头牛与 36 只羊吃 25 天，1 头牛 1 天吃 的草量相当于 3 只羊吃的草量，请问 17 头牛与多少只羊刚好 16 天吃完？
解析：两种动物吃草的题型中一般会给出两种动物吃草量的关系，那么就把一种动物看成是
另一种动物，此题中就可以把 3 只羊看成是一头牛，那么题中第二个条件就可以看成是 24
头牛吃了 25 天，这样计算出草长速是 8（份/天），原有草是 400 份，原有草 16 天吃完就 需要 400÷16=25（头），加上分出去吃新长草的 8 头牛，一共就有 33 头牛，33-17=16 头牛， 羊就有 16 *3=48（只）。
演练 1、有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天 也可将草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)。那么，17 头牛和 20 只羊 多少天可将草吃完?
演练 2、一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可 供 100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一起 吃，可以吃多少天?
题型五：牛中途增加或减少问题
例 5、(雅礼系）有一片牧场上面的草每天均匀生长。它可供 9 头牛吃 12 天或者可供 8 头牛 吃 16 天。如果开始只有 4 头牛吃，从第 7 天开始，又增加了若干头牛，再用 6 天吃光所有 的草。那么增加了多少牛头？
解析：牛中途增加题型中需要抓住三个不变量，第一个是草长速，第二个是一开始的原有草
量，第三个是牛增加当天开始时的原有草量。 此题由前两个条件可以算出草长速 5 份/天，
原有草是 48 份，如果四头牛吃的话，每天可以增加 5-4=1（份）草，那么第 7 天开始时原 有草量是 48+6=54（份），54 份草 6 天吃完需要的牛数是 54÷6+5=14（头），增加数 14-4=10 （头）。
演练 1、有一片草地，可供 8 只羊吃 20 天，或可供 14 只羊吃 10 天，假设草每天的生长速 度不变，现在有羊若干只，吃了 4 天后又增加了 6 只，这样又吃了 2 天，便将草吃完，问原 有羊多少只？
演练 2、有一牧场，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完．现有若干头牛吃 了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均 匀生长)？
题型六：草量匀速减少问题
例 6、（长郡系）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。
已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天或可供 15 头牛吃 6 天。照此计算，可供多少头牛吃
10 天？
解析：草量匀速减少题型中，吃的时间越长，吃的总草量则越少。设每头牛每天吃 1 份草，
草减速= (205156) (6 5) 10(份/天) ，原有草= 205105 150(份) ，牛数
=150÷10-10=5（头）。
演练 1、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草
可供 20 头牛吃 5 天或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？
演练 2、（一中系）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草以固定速度在减少。已知牧场上的草
可供 33 头牛吃 5 天或可供 24 头牛吃 6 天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃 10 天？
题型七：走扶梯问题
例 7、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走
3 级梯级，女孩每秒可 走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯 共有多少级梯级？
解析：本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速 度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度，另一 部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度 =（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间－男孩每秒 走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间－男孩走的时间） ，自动扶梯的梯级总数＝女孩每秒走的梯级×女孩走的 时间－自动扶梯的速度×女孩走的时间 （级）,所以自动扶梯共有 150 级的梯级。
演练 1、（师大系）两个顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在 20 秒钟里，男孩可走 27
级台阶，女孩可走 24 级台阶，男孩走了 2 分钟到达另一端，女孩走了 3 分钟到达另一端，
该扶梯共有多少级台阶？

演练 2、(雅礼系）两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底.白天往下爬，两只蜗
牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬 20 分米，另一只爬 15 分米.黑夜里往下滑，
两只蜗牛滑行的速度却是相同的.结果一只蜗牛恰好用 5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好
用 6 个昼夜到达井底.那么，井深多少米？
题型八：多块地的牛吃草问题
例 8、有一块 1200 平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供 10 头
牛吃 20 天，或可供 15 头牛吃 10 天，另有一块 3600 平方米的牧场，每平方米的草量
及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供 75 头牛吃多少天？
解析：设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析
10 头牛 20 天 10×20＝200 ：原有草量＋20 天生长的草量
15 头牛 10 天 15×10＝150 ：原有草量＋10 天生长的草量
从上易发现：1200 平方米牧场上 20－10＝10 天生长草量＝200－150＝50，
即 1 天生长草量＝50÷10＝5；那么 1200 平方米牧场上原有草量：200－5×20＝100 或 150 －5×10＝100。则 3600 平方米的牧场 1 天生长草量＝5×（3600÷1200）＝15；原有草量： 100×（3600÷1200）＝300.75 头牛里，若有 15 头牛去吃每天生长的草，剩下 60 头牛需要 300÷60＝5（天）可将原有草吃完，即它可供 75 头牛吃 5 天。
演练 1、（2018 长郡系）75 头牛 12 天啃完一块 60 亩地的草，而 81 头牛 15 天啃掉一块 72 亩草地上的草，那么 18 天啃掉 96 亩草地上的草需要多少头牛
演练 2、有三块草地，面积分别为 5、6 和 8 公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快，
第一块草荐地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天，问第三块草地可供 19 头牛吃多少天?
课后作业
1、牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，或者可供 15
头牛吃 10 天，问可供 25 头牛吃几天？
2、有一水池，池底有泉水不断涌出，用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干，用 15 部相同的 抽水机 10 小时可以把水抽干。那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
3、（雅礼系）由于天气渐冷牧场上的草每天以均匀地速度减少，经计算现有牧场上的草可
供 20 头牛吃 5 天，或者 12 头牛吃 7 天。那么，6 头牛可以吃几天？
4、自动扶梯以均匀速度行驶着,小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走 25 级台阶,
小红每分走 20 级台阶,结果小明用 5 分钟,小红用了 6 分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？

5、一个农夫有面积为 2 公顷、4 公顷和 6 公顷的三块牧场，三块牧场上的草长得一样密，
而且长得一样快。农夫将 8 头牛赶到 2 公顷的牧场，牛 5 天吃完了草；如果农夫将 8 头牛赶 到 4 公顷的牧场，牛 15 天可吃完草。问：若农夫将这 8 头牛赶到 6 公顷的牧场，这块牧场 可供这些牛吃几天？

6、一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？
拓展提升
1、有一个长方形的水箱，上面有一个注水孔，底面有一个出水孔，两孔同时打开后，如果
每小时注水 30 立方分米，7 小时可以注满水箱；如果每小时注水 45 立方分米，注满水箱可 少用 2.5 小时。那么每小时由底面小孔排出多少立方分米的水（设每小时排水量相同）？
2、快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路去追赶前面的一个骑车人。这三辆车分
别用 6 分、10 分、12 分追上骑车人，现在知道快车每小时行 24 千米，中车每小时行 20 千 米，那么慢车每小时行多少千米？
3、（2017 师大系）有三块草地，面积分别是 5、15、24 亩，草地上的草一样厚，而且长
得一样快，第一块草地可供 10 头牛吃 30 天，第二块草地可供 28 头牛吃 45 天，问第三
块地可供多少头牛吃 80 天？