2021-2022学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市西湖区之江实验中学七年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列运动属于平移的是(    )

A. 冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B. 投篮时的篮球运动
C. 小华乘手扶电梯从一楼到二楼
D. 随风飘动的树叶在空中的运动

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．已知微米相当于米的一百万分之一，则微米用科学记数可表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 如图，下列说法错误的是(    )

A. 与是同旁内角
B. 与是同旁内角
C. 与是内错角
D. 与是同位角

5. 如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，直线，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

7. 计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是(    )

A. 当时，方程的两根互为相反数
B. 不存在自然数，使得，均为正整数
C. ，满足关系式
D. 当且仅当时，解得为的倍

9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，，平移距离为，则阴影部分的面积(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，平分，，下列结论：；；；；其中正确结论是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 分解因式：____________．
12. 一个多项式与的积为，则______．
13. 已知二元一次方程，用含的代数式表示为______，这个方程的正整数解为______．
14. 已知的两边与的两边分别平行，且比的倍少，那么______
15. 矩形中放置了个形状、大小都相同的小矩形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是______．

16. 下列说法中：若，，则；两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；若，则或；平移不改变图形的形状和大小；经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的说法有______请填入序号

三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解下列方程组：
    代入消元法；
    加减消元法．
19. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
20. 本小题分
    如图，将一张上、下两边平行即的纸带沿直线折叠，为折痕．
    试说明；
    已知，求的度数．

21. 本小题分
    阅读：已知，，求的值．小明的解法如下：
    解：因为，，
    所以．
    请你根据上述解题思路解答下面问题：
    已知，求的值．
    已知，求的值．
22. 本小题分
    某超市第一次用元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品件，乙种商品件已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵元甲种商品售价为元件，乙种商品售价为元件．
    甲、乙两种商品每件进价各名少元？
    该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
    该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少元；甲种商品按原售价提价销售，乙种商品按原售价降价销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，那么的值是多少？
23. 本小题分
    如图，已知，是直线，外的一点，于点，交于点，满足．
    求的度数；
    如图，射线从出发，以每秒的速度绕点按逆时针方向匀速旋转，当到达时立刻返回至，然后继续按上述方式旋转；射线从出发，以相同的速度绕点按顺时针方向旋转至后停止运动，此时射线也停止运动若射线、射线同时开始运动，设运动时间为秒．
    当射线平分时，求的度数；
    当直线与直线相交所成的锐角是时，则 ______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：小华乘手扶电梯从一楼到二楼属于平移，其余选项属于旋转．
故选：．
平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动．平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变；旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．
此题考查了平移与旋转的意义及在实际当中的运用，掌握其意义是解决此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故不合题意；
B、，故不合题意；
C、，故不合题意；
D、，故符合题意；
故选：．
A、利用同底数幂的乘法法则计算判断即可；、根据单项式乘多项式的运算法则计算判断即可；、根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算判断即可；、利用合并同类项法则计算判断即可．
此题考查的是整式的乘法运算，掌握相关运算法则是解决此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：微米用科学记数可表示为米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与是同旁内角，说法正确；
B、与是同旁内角，说法正确；
C、与是内错角，说法正确；
D、与是邻补角，原题说法错误，
故选：．
根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角可得答案．
此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．
 

5.【答案】 

【解析】解：观察图形可知．
故选：．
根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法，从而得到等式．
本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质、垂线以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出及，结合可得出，由邻补角互补可求出的度数，进而可求出的度数．
【解答】
解：过点作，则，如图所示．

，
．
，
．
，
，即，
．
，，
，
．
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
根据积的乘方的逆运算即可求出答案．
本题考查了积的乘方，有理数的乘方，有理数的乘法等知识点，能正确运用进行计算是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、当时，方程组为，
得：，
解得：，
把代入得：，
则，即方程的两根互为相反数，不符合题意；
B、，
得：，
解得：，，
要使为正整数，可得，，，；同理，，，，
当时，，，
所以存在自然数，使得，均为正整数，符合题意；
C.，不符合题意；
D.当时，解得
，，
为的倍，不符合题意．
故选：．
A.当时，方程组变形得到结果，即可作出判断；
B.用含是代数式表示和，当时，，，即可作出判断；
C.用含是代数式表示和，再代入进行计算即可作出判断；
D.用含是代数式表示和，将代入，进行计算即可判断．
本题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握二元一次方程的相关知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：两个三角形大小一样，
阴影部分面积等于梯形的面积，
由平移的性质得，，，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故正确；

，
，，
，
又平分，
，
，
故正确；

与不一定相等，
不一定成立，故错误；

，，，，



，
，
，
即，
故正确；
综上所述，正确的选项，
故选：．
由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．
 

11.【答案】   

【解析】解：；
故答案为：；

．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式即可；
直接利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
故答案为：．
应用单项式除多项式法则进行计算便可．
本题主要考查了整式的除法，关键是熟记单项式除多项式的法则．
 

13.【答案】  

【解析】解：，
，
；
当时，；
故这个方程的正整数解为．
故答案为：；．
移项，方程两边都除以，即可得出答案；进而得出这个方程的正整数解．
本题考查了解二元一次方程和二元一次方程的解、等式的性质的应用，能熟记等式的基本性质是解此题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：和的两边分别平行，
或．
比的倍少，
即，
或．
故答案为：或．
由和的两边分别平行，利用平行线的性质可得出或，结合比的倍少，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质找出或是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解得：，
小长方形的长、宽分别为，，
．
故答案为：．
设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，则；故此选项错误；
两条直线被第三条直线所截，如果两直线位置不平行，那么一组内错角的角平分线也不平行；故此选项错误；
若，则或或；故此选项错误；
平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；故此选项正确；
在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；
故答案为：．
根据平行线的判定定理，同底数幂的乘法和除法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，平移的性质，零指数幂的性质逐一进行判断即可．
本题考查了平行线的判定，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方与积的乘方，平移，零指数幂，熟记各性质和法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：；

；
．


． 

【解析】根据零指数幂和负整数指数幂的法则先化简，然后计算加减；
利用平方差公式简便运算即可．
本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的法则以及平方差公式．
 

18.【答案】解：，
由得：，
把代入，得 ，
解得：，
把代入，得，
所以；

，
由，得，
解得：，
把代入，得 ，
解得：，
所以． 

【解析】由得出，把代入得出 ，求出方程的解，再把代入求出即可；
由得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：原式
．
当，时，
原式． 

【解析】根据整式的加减运算法则进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
即；
由折叠知，，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，，根据角的和差即可得到结论；
由折叠知，，根据平行线的性质得到，即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
；
，




． 

【解析】利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了完全平方公式．记住完全平方公式：是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元；
该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润元．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得元的利润．
由题意，
解得．
答：的值是． 

【解析】设该超市第一次购进甲种商品每件元，乙种商品每件元．根据总进价元列出方程即可解决问题．
求出甲、乙两种商品的利润和即可．
根据第二次的利润元，列出方程即可．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间的关系，属于中考常考题型．
 

23.【答案】或 

【解析】解：，，
，
，
，
；

当平分时，时，
运动时间秒，
此时也运动了秒，
，
；
继续运动至时，返回平分时，运动时间至秒，此时也运动了秒，
，
；
继续运动至，返回平分时，运动时间运动了秒，
，
，此时，停止了，不再运动；
如图，
当时，此时，，，
，
当时，，当时，，
当时，此时，，，
，不成立，
当时，此时，，，
，
时，不合题意，，不合题意
故答案为：或．
根据平行线的性质及三角形内角和定理可得答案；
由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理可得答案；
利用三角形的内角和定理列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．
此题考查了平行线的性质，掌握其性质及三角形内角和定理是解决此题关键．