2020-2021学年3.2 图形的旋转教学设计

课题

3.2   圆的轴对称性（2） 

课型

新授

教学目标

1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题；

2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.

重点和难点

教学重点：垂径定理的两个推论是重点；

教学难点：由定理推出推论1是难点.

教具准备

师      生      活      动      过      程

一、从学生原有的认知结构提出问题

    1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)

    2.结合图形，教师引导学生写出垂径定理的下述形式：

    题设                            结论

      指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.

提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题

二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论

    1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：

    由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.

    这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.

    已知：在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.

    求证：CD⊥AB，.

分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.

    证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.

    因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，

    又因为CD是直径，所以

    2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：

      (2)若选①④为题设，可得：

  最后，教师指出：如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题。

    3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三

个命题，教师板书出垂径定理的推论1.

    推论1  (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.

    4.垂径定理的推论2.

在图的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现？

  三、应用举例，变式练习

   例1  平分已知.

    引导学生画图，写已知、求作.

    已知：求作：的中点.

    分析：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.因此，连结AB，作弦AB的垂直平分线，它一定平分.

    作法：(由学生口述，教师板书，师生共同作图)

    练习1  四等分已知.

    引导学生在平分的基础上，进一步平分AM和BM，即可四等分AB.

    例2  1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥(图7-41)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)

    四、师生共同小结

    问：这节课我们学习了哪些主要内容?

    在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形。

    指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则

(1)  △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线.

(2)  △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜边(2)上的高，AO，BO分别是斜边上的中线在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质.

 六、布置作业

教学反思：