高二数学下学期期末考试分类汇编排列组合与二项式定理新人教A版

专题10 排列组合与二项式定理

一、单选题

1．（2022·浙江宁波·高二期中）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，则四名同学所选项目各不相同且只有乙同学选篮球发生的概率（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】四名同学从四种球类项目中选择一项，每人有4种选择，由分步乘法计数原理可得总的选法有种，由于乙同学选篮球，且四名同学所选项目各不相同，所以问题相当于将足球、排球、羽毛球三种球类项目分别分配给甲、丙、丁3位同学，共种，所以所求概率.故选：B

2．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高二期中）的值是（       ）

A．0 B．1 C．-1 D．

【答案】B

.故选：B.

3．（2022·重庆·高二阶段练习）在的展开式中，的系数为（       ）

A． B．30 C． D．60

【答案】C

【解析】的展开式通项为，

的展开式通项为，

由，解得，

所以的系数为.

故选：C.

4．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）的展开式中的系数为（       ）

A． B． C．40 D．80

【答案】C

【解析】解：，

由展开式的通项公式，

当时，，不含有项.

所以展开式中的系数为；故选：.

5．（2022·北京八十中高二期中）今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　）

A．44种 B．48种 C．60种 D．50种

【答案】A

【解析】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；

若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有种方案.

所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有不同的安排方案.故选：A.

6．（2022·浙江·高二阶段练习）25某高中举办2022年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”､“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目.某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参加，则报名的不同方案有（       ）

A．420种 B．630种 C．1260种 D．1890种

【答案】B

【解析】由题7名同学分成3个组，每组分别有2，2，3人，共有种分组方式.

再排列有种方案.

故选：B.

7．（2022·河北保定·高二期中）4月1日，根据当前疫情防控工作需要，定州市新冠肺炎疫情防控工作总指挥部发布通告，要求我市全域内除特殊人员外，所有人员保持居家，不出小区（村）等待全员核酸检测．为了保障广大居民的生活需要，某小区征集了多名志愿者，现有5名志愿者承包A，B，C三栋居民楼，每位志愿者负责一栋楼，且每栋楼至少一名志愿者，则分派方法的种数为（       ）

A．90 B．150 C．180 D．300

【答案】B

【解析】先分组:按照居民楼人数分为3,1,1和2,2,1两类

3,1,1:从5名志愿者中选出3名作为一个组,其余2人各自一组,有种

2,2,1:从5名志愿者中选出4名平均分为两组,剩下1人一组,有种

再分配:3个组到三栋居民楼有种

所以总的分派方法数有种

故选：B

8．（2022·全国·高二课时练习）设a∈Z，且0≤a<13，若512012+a能被13整除，则a=

A．0 B．1 C．11 D．12

【答案】D

【解析】由于,

又由于13|52,所以只需13|1+a，0≤a<13,所以a=12.

故选：D.

9．（2022·湖北·高二阶段练习）若，则=（     ）

A．244 B．1 C． D．

【答案】D

【解析】根据，

令时，整理得：

令x = 2时，整理得:

由①+②得，，所以.

故选：D.

10．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二阶段练习）展开式中常数项为（       ）

A． B．0 C．15 D．80

【答案】B

【解析】的通项为

当时，；当时，

则展开式中常数项为

故选：B

11．（2022·全国·高二课时练习）设n为正奇数，则被7整除的余数为（       ）．

A． B．0 C．3 D．5

【答案】D

．

∵为整数，

故被7整除的余数为5；故选：D．

12．（2022·全国·高二课时练习）在的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】解：因为二项展开式中，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数相等，

所以，偶数项的二项式系数的和为，即，

所以，展开式的中间项为．

故选：C

13．（2022·山西临汾·高二期中）若，，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令，可得．又，所以，A错误；

展开式的通项公式为

因为，

所以，B错误；

令，可得，C错误；

对两边同时求导，

得，

令，可得，D正确．

故选：D.

14．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）设，则（       ）

A．10206 B．5103 C．729 D．728

【答案】A

【解析】解：因为，

两边同时取导数得，

其中展开式的通项为，

所以当为奇数时系数为负数，为偶数时系数为正数，

即，，，，，，，

令，则，

所以；

故选：A

一、单选题

1．（2022·河南新乡·高二期中（理））展开式中的常数项为（       ）

A．－70 B．－56 C．56 D．70

【答案】D

【解析】的通项公式为，

当时，得到展开式的常数项为，故选：D

2．（2022·全国·高二课时练习）化简多项式的结果是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意可知，多项式的每一项都可看作，

故该多项式为的展开式，

化简．

故选：D.

3．（2022·天津·南开大学附属中学高二期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种

A．120 B．260 C．340 D．420

【答案】D由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，

则共有故选

4．（2022·全国·高二课时练习）我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，则事件发生的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意知，五种不同属性的物质任意排成一列有种排法，事件表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”可看作五个位置排列五个元素，

第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，

第四步只能排上火，第五步只能排上土，∴总的排列方法种数为，∴事件发生的概率为.

故选：B．

5．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（       ）

A．8种 B．14种 C．20种 D．116种

【答案】B

【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.

故选：B.

6．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（       ）

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【解析】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，

剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，

有，

则共有种，故选：．

二、多选题

7．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行.甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（       ）

A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法

D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】ABD

【解析】【详解】

若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列，故有种，A正确：

若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故有种，B正确：

若甲、乙相邻，可把2人看成一个整体，与剩下的3人全排列，有种排法，甲、乙两人相邻有种排法，所以共有种站法，C错误；

前排有种站法，后排3人中最高的站中间有种站法，所以共有种站法，D正确.

故选：ABD

8．（2022·全国·高二课时练习）（多选）某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展（）、体艺特长（）、实践创新（S）、生涯规划（）、国际视野（）、公民素养（）、大学先修（）、PBL项目课程（），假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则（       ）

A．某学生从中选两类，共有种选法

B．课程“”“”排在不相邻两天，共有种排法

C．课程中“S”“”“”排在相邻三天，且“”只能排在“S”与“”的中间，共有720种排法

D．课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有种排法

【答案】BD

【解析】对于A，某学生从中选两类，如选“”“”与选“”“”是一种选法，没有顺序之分，所以种选法计算重复，故A错误；

对于B，课程“”“”排在不相邻两天，先将剩余六类课程全排列，产生7个空隙，再将课程“”“”插空，共有种排法，故B正确；

对于C，课程“S”，“”，“”排在相邻三天，且“”只能排在“S”与“”的中间，采用捆绑法，共有种排法，故C错误；

对于D，课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，则分两类情况：①课程“”排在第一天，②课程“”排在除第一天和最后一天之外的某一天，则共有种排法，故D正确．

故选：BD．

9．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）已知的展开式中第项与第项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为，则下列说法正确的是（       ）

A．展开式中有理项有6项 B．展开式中第项的系数最大

C．展开式中奇数项的二项式系数和为 D．展开式中含项的系数为

【答案】ABD

【解析】依题意可得，得，得，

得，得.

在展开式中，令，得，因为，所以，所以.

展开式的通项为，,

对于A，由为整数，得，所以展开式中有理项有6项，故A正确；

对于B，因为展开式中各项的系数等于各项的二项式系数，且为奇数，所以展开式中第6项的二项式系数最大，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；

对于C，根据二项式系数的性质可得，展开式中奇数项的二项式系数和为，故C不正确；

对于D，令，得，所以展开式中含项的系数为，故D正确.

故选：ABD.

10．（2022·江苏·连云港高中高二期中）下列结论正确的是（       ）

A．

B．多项式展开式中的系数为40

C．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1

D．被5除所得的余数是1

【答案】ABD

【解析】解：因为，故A项正确;

多项式的展开式通项为：，要求的系数，则，

当时，有，的系数为,

当时，有，不存在，

当时，有，的系数为,

当时，有，不存在，

故展开式中的系数为,故B项正确；

,其展开式中各项的二项式系数之和为，故C项错误；

因为，其展开式的通项公式为：，只有当时，即，不能被5整除，且256被5整除的余数为1，故D项正确.

故选：ABD.

11．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】解：因为，

令，则，故A正确；

令，则，所以，故B错误；

令，则，所以，故C错误；

对两边对取导得

，再令得，故D正确；

故选：AD

三、解答题

12．（2022·安徽·高二期中）已知．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)(2)

令x＝1，得，

令x＝0，得，

所以．

(2)两边同时求导得：，

令x＝1，得．