高二数学下学期期末考试分类汇编期末考试一新人教A版

期末模拟测试卷

【满分：150分】

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2022·河南三门峡·高二期末（理））若准备用1个字符给一本书编号，其中可用字符为字母，，，也可用数字字符1，2，3，4，5，则不同的编号有（       ）

A．2种 B．5种 C．8种 D．15种

【答案】C

【解析】由题意这本书的编号可能是字母，，，有3种

可能是数字：1，2，3，4，5，有效种，

共有3+5=8种．

故选：C．

2．（2022·河南三门峡·高二期末（理））已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（       ）

A．9 B．11 C．10 D．12

【答案】C

【解析】由题意，所以．故选：C

3．（2022·山东潍坊·高二阶段练习）已知等差数列的前n和为，且，则数列的公差为（       ）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】D

【解析】在等差数列中，，，解得，

所以数列的公差为.故选：D

4．（2022·河南三门峡·高二期末（理））已知随机变量服从正态分布N(2，25)，若P(>c)=P(<c-4)，则实数c的值是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A随机变量服从正态分布N(2，25)，则此正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，

又P(>c)=P(<c-4)，于是得，解得，

所以实数c的值是4.故选：A

5．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））已知函数的导函数为，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因，则，当时，，解得，

所以.故选：D

6．（2021·黑龙江·大庆一中高二期末（理））《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体公式为，其中、分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：设“方亭”的上底面边长为，下底面边长为，高为，

则，，

，

∴．

故选：A．

7．（2020·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（       ）

A．30 B．36 C．360 D．1296

【答案】B

由题意知：组成4位“回文数”

∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：种

当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：种

又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数

∴2个数组成回文数的个数：种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：

综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：+=36故选：B

8．（2021·江苏南京·高二期末）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以函数为奇函数，

又因为，

所以函数为上的增函数．

若，则，即，即，

解得，故选：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（江苏省滨海中学高二期末）关于的展开式中下列结论正确的有（       ）

A．不含项 B．x3项的系数为6 C．常数项为﹣1 D．各项的系数和为0

【答案】AD

【解析】；

故展开式中不含项，故A正确；

x3项系数为11，故B错误；常数项为﹣5，故C错误，

各项系数和为0，故D正确，故选：AD．

10．（2021·江苏·海安高级中学高二期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（       ）

A．该地水稻的平均株高为100

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率一样大

【答案】AC

【解析】由正态分布密度曲线函数，得，该地水稻的平均株高为，所以A正确；该地水稻株高的方差为，所以B不正确；

，所以株高在120以上的概率比株高在70以下的概率大，所以C正确；

根据正态分布的对称性可知：,所以株高在（80，90）和在（100，110）（单位：）的概率不一样大，所以D错误；

故选：AC

11．（2021·江苏·海安高级中学高二期末）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（       ）

A．直线与轴垂直 B．的离心率为

C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）

【答案】AB

【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；

不妨设点在第一象限，易知，，，即点，

设，由，得，所以，

所以，即．

因为点在双曲线上，所以，整理得，

所以，解得或（负值舍去），B正确；

，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；

不妨设点在第一象限，则，

所以，D错误．

故选：AB．

12．（2021·江苏连云港·高二期末）如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将沿斜边翻折成（不在平面ABC内）．若M，N分别为BC和的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（       ）

A．平面

B．与BC不可能垂直

C．二面角正切值的最大值为

D．直线与DM所成角的取值范围为

【答案】AD

【解析】对A，如图，连接，∵分别为的中点，∴，

而面，∴平面，A正确；

设，的中点为，连接，过作的垂线，

垂足为，过作，垂足为，连接，

因为、均为等腰直角三角形，故，

故，

因为，故平面，因为平面，

所以，而，故平面，

而平面，故.

而，则平面，而平面，故，

故为二面角的平面角.

设，则，，故，，

所以，而，，

故，因为，故无最大值，故C错误.

在直角三角形中，

，

故，取，

此时满足前者范围要求且，故，

但，，故平面，

而平面，故，故B错误.

在三角形中，

化简可得，

，

化简可得，

故，

，

故，

设所成的角为，则，

故，故D正确.故选：AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知平面，写出平面的一个法向量______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】设法向量为，

则有，

令得：，所以

故答案为：

14．（2021·江苏南京·高二期末）已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为_______________________．

【答案】

【解析】设切点为，

因为，所以，即，

又因为，所以，所以.

令

所以当时，，则在区间上单调递增，

当时，，则在区间上单调递减﹐所以

所以的最大值为1，此时.故答案为：1

15．（2021·江苏南京·高二期末）某地为了庆祝建党周年，将在月日举行大型庆典活动.为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等名记者进行采访报道，工作过程中的任务划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

对分配“剪辑”的人数进行分类讨论，结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】

若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为；

若参与“剪辑”工作的有人，则不同的分配方法数为种.

综上所述，不同安排方案的种数是种.

故答案为：.

16．（2021·江苏苏州·高二期末）假期里有5名同学分别被分配到甲、乙、丙三个社区做防疫志愿者，共有______种不同的分配方法；若要求每个社区至少分配一名同学，且同学必须被分配到社区甲，则共有______种不同的分配方法．

【答案】     243     50

【解析】解：根据题意，对于第一空：每位同学可以安排到三个社区，有3种选择，

则5位同学有种分配方法，

对于第二空：依题意5名同学分别被分配到三个社区，每个社区至少分配一名同学，则各社区的人数可能是1、1、3，或1、2、2；

①甲社区安排1个人，即只安排A到甲社区，则有其余4个人可能有种安排；

②甲社区安排2个人，则首先从其余4人选1人安排到甲社区有种，另外3人有种，所以一共有种安排；

③甲社区安排3个人，则首先从其余4人选2人安排到甲社区有种，另外2人安排到2个社区有种，所以一共有种安排；综上一共有种安排；故答案为：243，50．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2021·江苏省锡山高级中学高二期末）设数列{an}的前n项和为Sn，满足：.

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）求Sn，并求Sn的最大值.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ），.

【解析】：（Ⅰ）因为，①

，， ②

由①②可得，当时，，

所以，

所以，

所以

整理得，，

所以，又，

所以为首项公比均为的等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以，所以，

故有，因为，

令，则，

所以，又，，，

所以当时，即，当时，即，

因此的最大值为.

18．（2022·山西·高二阶段练习）很多人都爱好抖音，为了调查手机用户每天使用抖音的时间，某通讯公司在一广场随机采访男性，女性用户各50名，将男性，女性平均每天使用抖音的时间（单位，h）分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图估计男性平均每天使用抖音的时间；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

(2)若每天玩抖音超过4的用户称为“抖音控”，否则称为“非抖音控”，完成如下列联表，判断是否有95%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关.

附表：

（参考公式，其中）

【答案】(1)（）

(2)列联表答案见解析，没有95%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关

(1)解：由男性的频率分布直方图，可得，解得；

可知男性用户平均每天使用抖音的时间为（h）；

(2)解：由两个频率分布直方图，可列联表加下：

所以，又因为，而且查表可得，

由于，所以没有95%的把握认为是否是“抖音控”与性别有关.

19．（2019·江苏无锡·高二期末（理））新高考方案的考试科目简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.

（Ⅰ）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；

（Ⅱ）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】：（Ⅰ）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件，

因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等

则，

答：该同学选修物理、化学和生物的概率为.

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.

因为，，

，，

所以的分布列为

所以数学期望.

20．（2019·江苏苏州·高二期末（理））已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）设是棱上的一点，当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1） ;（2）.

【解析】：以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，.

（1），．则

异面直线与所成角的余弦值为．

（2）当平面时，设.，，，面．要使平面，只需即可．

，

．即为的中点，即,

，平面的法向量为，则．

直线与平面所成角的正弦值为.

21．（2019·江苏苏州·高二期末（理））在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，点在轴上，过点的直线交椭圆交于，两点．

①若直线的斜率为，且，求点的坐标；

②设直线，，的斜率分别为，，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   （2）①   ②存在，；

【解析】（1）∵椭圆：的离心率为，且过点．

∴，，∴椭圆的方程为：．

（2）设，，①设直线的方程为：．

．

．，．

，解得.

∴．

②当直线的斜率为0时，，，.

由可得，解得，即.

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为．

由.

，．由可得，

，

.

.

，∴当时，上式恒成立，存在定点，使得恒成立．

22．（2019·江苏苏州·高二期末（理））已知（其中且，是自然对数的底）.

（1）当，时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，求函数在上的最小值；

（3）若且关于的不等式在上恒成立，求证：.

【答案】（1）;（2）当或时，最小值为，当时，最小值为;（3）见解析.

【解析】：（1），时，，，，

，函数在处的切线方程为，即.

（2）当时，，

，令，解得或，

当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，

；

当时，即时，在上恒成立，在上单调递减，

；

③当时，即时，当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，．

综上所述：当或时，最小值为；当时，最小值为.

（3）证明：由题意知，当时， 在上恒成立，

在上恒成立，设，，

，在上恒成立，

在上单调递减，， ，

存在使得，即，

因为，所以.当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，，

设，，，

在恒成立，在上单调递增，，

在单调递增，，．