辽宁省沈阳市2022届高三数学三模考试试卷及答案

 高三数学三模考试试卷

一、单选题

1．已知全集，则（　　）

A．{3} B．

C． D．

2．已知复数和，则“”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在等比数列中，为方程的两根，则的值为（　　）

A． B． C． D．

4．小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是（　　）

A．345 B．465 C．1620 D．1860

5．已知椭圆的两个焦点分别为，点P是椭圆上一点，若的最小值为，则的最大值为（　　）

A．4 B．2 C． D．

6．若，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

7．函数满足当时，，则的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

8．已知函数的图象恒在的图象的上方，则实数m的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．下列命题中，真命题有（　　）

A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5

B．若随机变量，则

C．若事件A，B满足且，则A与B独立

D．若随机变量，则

10．已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法正确的有（　　）

A． B．在上单调递减

C．关于直线对称 D．的最小值为1

11．如图，四棱锥，平面平面ABCD，侧面PAD是边长为的正三角形，底面ABCD为矩形，，点Q是PD的中点，则下列结论正确的有（　　）

A．平面PAD

B．直线QC与PB是异面直线

C．三棱锥的体积为

D．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为

12．已知函数，若且，则有（　　）

A．可能是奇函数或偶函数

B．

C．若A与B为锐角三角形的两个内角，则

D．

三、填空题

13．函数的最小正周期为　     　．

14．若，则　     　．

15．已知平面向量满足，则　     　．

16．已知三点在抛物线上，且的重心恰好为抛物线的焦点，则的三条中线的长度的和为　     　．

四、解答题

17．设各项为正数的数列的前n项和为，数列的前n项积为，且．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式．

18．在①，②，③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．

已知锐角的内角A，B，C，的对边分别为a，b，c满足____（填写序号即可）

（1）求B﹔

（2）若，求的取值范围．

19．如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面﹐Q在线段AC上移动，P为棱的中点．

（1）若H为BQ中点，延长AH交BC于D，求证：平面﹔

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求点P到平面的距离．

20．某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：

①一个人摸球，另一人不摸球；

②摸出的球不放回；

③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；

（1）若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；

（2）若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；

（3）有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．

21．已知函数，为的导函数．

（1）若成立，求m的取值范围；

（2）证明：函数在上存在唯一零点．

22．如图，在平面直角坐标系中，分别为等轴双曲线的左、右焦点，若点A为双曲线右支上一点，且，直线交双曲线于B点，点D为线段的中点，延长AD，BD，分别与双曲线交于P，Q两点．

（1）若，求证：；

（2）若直线AB，PQ的斜率都存在，且依次设为，试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理出．

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】A

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】C,D

10．【答案】A,C,D

11．【答案】B,D

12．【答案】B,C,D

13．【答案】6

14．【答案】243

15．【答案】

16．【答案】9

17．【答案】（1）证明：当时，，即，则，

当时，由得：，所以，

所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.

（2）解：由（1）可知，解得，

所以，经检验，满足，

，

当时，，由（1）知，

综上所述，

18．【答案】（1）解：选①，

因为，

所以，

即，

又，所以，

因为，

所以；

选②，

因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以；

选③，

因为，

所以，

即，

所以，

因为，

所以；

（2）解：由正弦定理，

得，

，

则，

由锐角得，

得，则，

所以，从而，

所以的取值范围为.

19．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图，

∵为中点，∴

在平行四边形中，分别为的中点，∴

由EH∩AE=E且面，面，

所以面，面，又PB1∩B1Q=B1，

所以面EHA∥面B1QP，∵平面，∴平面.

（2）解：连接，

∵四边形为菱形，∴，

又，∴为正三角形，∵为的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，在平面内过点作交于点，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设，∴，

∴，

∵，，∴，∴，

设平面的法向量为，

则得，令，则，

∴平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，二面角的平面角为，

则，

∴或（舍），∴，∴.

又，∴，∴，

连接，设点到平面的距离为，则，

∴，即点到平面的距离为.

20．【答案】（1）解：记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，

则；

（2）解：如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，

则得分情况有6分，7分，8分，9分，10分，11分，

，，

，，

，，

所以的分布列为：

所以的数学期望；

（3）解：由（1）可知，若先摸出绿球，则摸球人获胜的概率，

由（2）可知，若先摸出红球，则摸球人获胜的概率，

若先摸出黄球，则摸球人获胜的概率，

若先摸出白球，则摸球人获胜的概率，

则摸球人获胜的概率为，

答案一：因为摸球人获胜的概率为，所以比赛不公平

答案二：如果指定由某人先摸球，则比赛不公平.

答案三：如果先摸球的人是在甲乙两人中随机等可能的产生，则这样的比赛是公平的.

（答案二、答案三和其他答案酌情给分）

21．【答案】（1）解：当时，成立，

当时，.

设，，则.

∵，∴，∴在上单调递减，

∴，∴.

（2）证明：，，

由（1）可知，函数在上单调递减，

在上至多一个零点，且，

在上有唯一的零点，

在上存在唯一零点.

22．【答案】（1）解：由等轴双曲线知离心率，，及，

可得，所以双曲线方程为，.

当直线的斜率不存在时，，，

直线的斜率存在时，，，整理得，

综上所述，成立；

（2）解：依题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，

代入双曲线并化简得：，①

由于，则代入①并化简得：，

设，则，解得，

代入，得，即，同理可得，

所以，

所以是定值.