高中数学第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线精品巩固练习

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第一册

3.2.1《双曲线及其标准方程》同步练习

一、     单选题：

1．已知平面内两定点，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（    ）

A． B． 

C． D．

2．与椭圆共焦点，且过点(-2，)的双曲线方程为

A． B．   

C． D．

3．在中，，，点C在双曲线上，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知双曲线的焦点分别为，，P为C上一点，，，则C的方程为

A．    B． 

C．    D．

5．已知双曲线经过点，，为其左、右焦点，P为C上一点且

， 则的值为（       ）

A．12 B．14 C．16 D．18

二、多选题:

6．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（    ）

A．两个椭圆 B．两个双曲线

C．一个双曲线和一条直线 D．一个椭圆和一个双曲线

7．关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（    ）

A．焦点在轴上的椭圆 B．焦点在轴上的椭圆

C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的双曲线

三、填空题：

8．焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为_______.

9．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．.

四、拓展题：

10．已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上.

(1)若，求的面积；

(2)若，求的面积.

五、创新题：

11．已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．

(1)求双曲线方程；

(2)若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得

|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.

12.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，

试判别△MF1F2的形状．

同步练习答案

一、 选择题：

1. 答案：A

解析：当时，，满足双曲线的定义，所以点的轨迹是双曲线.     故选：A.

2．答案: B

解析：由题得椭圆的焦点为，     所以双曲线的焦点为，

设双曲线的方程为，   

  所以，      解之得

所以双曲线的方程为.    故选：B

3．答案：D

解析：在中，，，，R为外接圆的半径，

.   

 又，.       故选：D

4．答案：A

解析：                                            

如图，因为，    ，

所以可得，   根据双曲线的定义可得，即

所以      所以C的方程为     故选：A

5．答案：D

解析：由题意，把点代入双曲线，   可得.

双曲线.

不妨设点P在双曲线的右支上，     则.

，，

又，     所以，

解得：．    故选：D.

二、 多选题：

6. 答案：B、C

解析：由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，

所以，设动圆的半径为．

当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切．

①    若均内切，则，        此时，

当时，点的轨迹是以为焦点的双曲线，

当时，点在线段的垂直平分线上．

②    若均外切，则，

此时，则点的轨迹与①相同．

③    若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，

则．

同理，当与圆内切，与圆外切时，．

此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．

故选：B、C．

7. 答案：A、B、C

解析：（1）对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，

则，    解得，

即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；

（2）B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，

则，     解得，

即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；

（3）对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，

则，    解得，

即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；

（4）对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，

则，这样的不存在，D选项错误.

      故选A、B、C.

 三、填空题：

8．答案：

解析：由题意得，可设双曲线的标准方程为，

将代入方程可得，       解得或（舍），

从而，，        所以双曲线的标准方程为，

9.答案：12

解析：由于，     因此，，     故，

由于即，而，

所以，，，

所以，       因此

四、拓展题：

10.答案：(1)9         （2）

解析：(1) 由双曲线方程知a＝2，    b＝3，   c＝，      |F1F2|=，

设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2．   由双曲线定义得|r1－r2|=2a＝4，

两边平方得，

即|F1F2|2－4＝16，即4＝52－16，     所以＝9．

(2)由（1）知，若∠F1MF2＝120°，在中，由余弦定理得

|F1F2|2＝，

|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2，      所以r1r2＝12，

则＝r1r2sin120＝．

五．创新题：

11. 答案：（1）；     （2）不存在

解析：(1)椭圆的焦点在x轴上，且，即焦点为(±4,0)，

于是可设双曲线方程为，   则有

解得a2＝4，b2＝12，         故双曲线方程为.

(2)假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．

由于在双曲线中，由双曲线定义知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，

于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.

但当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，

故不可能有|＝5，     即在双曲线上不存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|

12.答案：（1）；   （2）钝角三角形.

解析：(1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，

故设双曲线方程为，    则有

解得a2＝3，b2＝2.     所以双曲线的标准方程为.

(2)不妨设M点在右支上，       则有|MF1|－|MF2|＝2 ，

又|MF1|＋|MF2|＝6，      故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，

又|F1F2|＝2，       因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而

cos ∠MF2F1＝ ，   所以∠MF2F1为钝角，

故△MF1F2为钝角三角形．