初中第25章 图形的相似25.4 相似三角形的判定第1课时教学设计

25．4  相似三角形的判定第1课时  相似三角形的判定定理1

1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)

2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)

一、情境导入

与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比，，相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学一起交流．

二、合作探究

探究点一：相似三角形的判定定理1

【类型一】 两角分别相等的两个三角形相似

  在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由．

解：△ABC∽△A′B′C′．理由如下：

由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，

所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′．

故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）．

方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件．

【类型二】 添加条件证明三角形相似

  如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________（写出一个即可）．

解析：若∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则△ABC∽△AED，故添加条件∠B＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．其他答案如∠C＝∠ADE．故答案为∠B＝∠AED（答案不唯一）．

方法总结：熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习第5题

探究点二：相似三角形的判定定理1与性质的综合

【类型一】利用三角形相似求长度

  如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°．

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．

解析：(1)由题意有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；

(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．

(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE．在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE．

(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3.由△ABD∽△DCE，

∴＝．∴＝.∴x＝9．故等边△ABC的边长为9．

方法总结：本题利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．

变式训练：见《学练优》本课时练习第9题

【类型二】 由相似三角形求比例式

  如图，△ABC的高AD、BE相交于点F.求证：

＝．   

解析：要证明＝，可考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可证明这个结论．

证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，

∴∠AEF＝∠BDF＝90°．

又∵∠AFE＝∠BFD，

∴△AFE∽△BFD．∴＝．

方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式．

变式训练：见《学练优》本课时练习第2题

【类型三】 相似三角形与四边形知识的综合

  如图，平行四边形ABCD中，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．
（1）求证：△ADE∽△DBE；
（2）若DC＝7 cm，BE＝9 cm，求DE的长．

解析：（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．

（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C.

∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB.又∠E＝∠E，∴△ADE∽△DBE．

（2）解：平行四边形ABCD中，DC＝AB.由（1）得△ADE∽△DBE，∴．∵DC＝AB＝7 cm，BE＝9 cm，∴AE＝16 cm.∴DE＝12 cm．

方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．

变式训练：见《学练优》本课时练习第14题及其变式题

三、板书设计

1．三角形相似的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似；

2．相似三角形判定定理1与性质的综合．

在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围．