【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件进阶训练2(范围1.4～1.5)

进阶训练2(范围1.4～1.5)

一、基础达标

1.已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值是(　　)

A.－3或3  B.3

C.－1或1  D.1

答案　A

解析　由题意得＝，

解得a＝－3或a＝3.故选A.

2.点M(1，4)关于直线l：x－y＋1＝0对称的点的坐标是(　　)

A.(4，1)  B.(3，2)

C.(2，3)  D.(－1，6)

答案　B

解析　设点M(1，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点的坐标为N(a，b)，则线段MN的中点坐标为，且在直线x－y＋1＝0上，

即－＋1＝0①.

由于直线x－y＋1＝0的斜率为1，

所以直线MN的斜率为＝－1②.

解由①②组成的方程组得a＝3，b＝2，

即M(1，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点的坐标为N(3，2).

3.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)

A.  B.

C.－  D.－

答案　D

解析　设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2).∵M(1，－1)为AB的中点，

∴－1＝，则y2＝－3.代入直线x－y－7＝0，得x2＝4，则点B坐标为(4，－3).

∵点B，M都在直线l上，∴kl＝＝－.

4.(多选)若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离分别为1和2，则直线l的方程可以为(　　)

A.y＝x＋ B.y＝x－

C.x＝2 D.y＝－x－

答案　ACD

解析　①若直线l的斜率不存在，取直线l：x＝2，满足条件.

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，

由题意可得

解得或

可得直线l：y＝x＋或y＝－x－.

5.已知点A(a＋2，b＋2)，B(b－a，－b)关于直线4x＋3y－11＝0对称，则实数a，b的值分别为(　　)

A.－1，2  B.4，－2

C.2，4  D.4，2

答案　D

解析　因为点A，B关于直线4x＋3y－11＝0对称，所以kAB＝，

即＝.①

又AB的中点在直线4x＋3y－11＝0上，

所以2(b＋2)＋3＝11，②

由①②，得故选D.

6.若三条直线l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0不能围成三角形，则c的值为________.

答案　－10

解析　因为三条直线斜率均不相同，所以三条直线没有任何两条平行.

又因为三条直线不能围成三角形，所以三条直线相交于一点，

由得

把(3，4)代入2x＋y＋c＝0中得c＝－10.

7.已知点A(1，2)，B(2，1)，则线段AB的长为________，线段AB的垂直平分线方程为________.

答案　　x－y＝0

解析　根据两点之间的距离公式，得AB＝＝.

根据斜率公式，得过A，B两点直线的斜率为kAB＝＝－1，所以线段AB的垂直平分线的斜率为1.

又因为线段AB的中点为，所以线段AB的垂直平分线方程为y－＝x－，即x－y＝0.

8.已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为________.

答案　2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0

解析　直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0.

易知l1∥l2，且直线l与直线l1，l2平行，

所以设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9)，

由题意，可得＝2·，

解得C＝－16或C＝－.

故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－＝0，

即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0.

9.求经过点A(1，2)且原点到直线的距离等于1的直线方程.

解　当直线过点A(1，2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0，0)到直线的距离等于1，满足题意.

当直线过点A(1，2)且与x轴不垂直时，

由题意可设直线方程为y－2＝k(x－1)，

即kx－y－k＋2＝0.

∵原点到此直线的距离等于1，

∴＝1，解得k＝，

∴所求直线的方程为y－2＝(x－1)，

即3x－4y＋5＝0.

综上所述，所求直线的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.

10.设直线l1：x＋y－1＝0，l2：x－2y＋2＝0，l3：3x＋my－6＝0.

(1)若直线l1，l2，l3交于同一点，求m的值；

(2)若直线l与直线l1关于直线l2对称，求直线l的方程.

解　(1)由得

∵点(0，1)在直线l3上，

∴3×0＋m－6＝0，

∴m＝6.

(2)在直线l1上取一点A(1，0)，

设点A关于直线l2的对称点为B(x，y)，

∴∴

∴直线l的方程为y－1＝·(x－0)，

即7x＋y－1＝0.

二、能力提升

11.点P(sin θ，cos θ)到直线x＋y＋8＝0的距离的最小值为(　　)

A.4  B.2

C.3  D.5

答案　C

解析　点P(sin θ，cos θ)到直线x＋y＋8＝0的距离为d＝＝≥＝3(当且仅当θ＋＝－＋2kπ，k∈Z时取等号).故选C.

12.(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是(　　)

A.若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行

B.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l平行

C.若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直

D.若d1d2<0，则直线P1P2与直线l相交

答案　ABC

解析　设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则d1＝，

d2＝.

若d1－d2＝0，则d1＝d2，

即＝，

所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C.

若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，故选项A，B，C均为假命题；

当d1d2<0时，点P1，P2在直线的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故选项D为真命题.

13.已知直线l过点P(2，3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.

(1)求d的最小值；

(2)当直线l与x轴平行时，求d的值.

解　(1)验证易知点P不在两条平行直线上.

过点P作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，垂足分别为G，H，

则GH就是所求的d的最小值.

由两平行线间的距离公式，

得GH＝＝3，所以d的最小值为3.

(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，

设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1，3)，B(x2，3)，

则3x1＋12－7＝0，3x2＋12＋8＝0，

所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，

所以d＝AB＝|x1－x2|＝5.

三、创新拓展

14.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是.

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：

①点P在第一象限；

②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；

③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.

解　(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0(a>0)，

l2：4x－2y－1＝0，

∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝，

由已知可得＝.又a>0，可解得a＝3.

(2)设点P的坐标为(m，n)，m>0，n>0，

若P点满足条件②，则点P在与直线l1、l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，

∴＝·，

解得c＝或c＝，

故有2m－n＋＝0或2m－n＋＝0.

若P点满足条件③，由题意可得

＝，

化简可得|2m－n＋3|＝|m＋n－1|，

故有2m－n＋3＝m＋n－1或2m－n＋3＝－(m＋n－1)，

即m－2n＋4＝0或3m＋2＝0(舍).

联立2m－n＋＝0和m－2n＋4＝0

解得(舍).

联立2m－n＋＝0和m－2n＋4＝0

解得

故点P的坐标为，

故能找到一点P同时满足这三个条件.