【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件午练16　导数的概念

午练16　导数的概念

1.一个物体做直线运动，位移S(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为S(t)＝3t2－mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为10 m/s，则实数m的值为(　　)

A.2  B.1

C.－1  D.6

答案　C

解析　由已知，得＝10，

所以(3×22－2m)－(3×12－m)＝10，

解得m＝－1，选C.

2.设函数f(x)在点x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)

A.f′(x)＝a  B.f′(x)＝b

C.f′(x0)＝a  D.f′(x0)＝b

答案　C

解析　∵＝＝a＋bΔx.

∴f′(x0)＝ ＝a.

3.已知函数y＝f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值为(　　)

A.－4  B.2

C.－2  D.±2

答案　D

解析　∵＝

＝＝，

∴f′(m)＝ ＝－，

∴－＝－，m2＝4，

解得m＝±2.

4.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　)

A.与x0有关  B.与h有关

C.与x0无关  D.与h无关

答案　AD

解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.

5.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)

A.(0，0)  B.(1，－1)

C.(－1，1)  D.(1，1)

答案　BC

解析　设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)

＝

＝3x－2＝tan＝1，

所以x0＝±1，

当x0＝1时，y0＝－1.

当x0＝－1时，y0＝1.

6.已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.

答案　(Δx)2＋6Δx＋12

解析　＝

＝＝(Δx)2＋6Δx＋12.

7.已知函数f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.

答案　9

解析　由题意知－8＝

＝ ＝4x0，

得x0＝－2，

所以f(x0)＝2×(－2)2＋1＝9.

8.若f′(x0)＝2，则 ＝________.

答案　－1

解析　

＝－

＝－f′(x0)＝－1.

9.过点P(1，0)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为________，直线方程是________.

答案　2　y＝0或27x－4y－27＝0

解析　设曲线y＝x3的切点的坐标为(x0，x).

根据导数定义可知，

y′＝ ＝＝3x2，

因此该切线的斜率k＝3x，

所以该切线的方程为y－x＝3x(x－x0).

又因为该切线过点P(1，0)，

所以有0－x＝3x(1－x0)，

即2x－3x＝0，

解得x0＝0或x0＝.

因此过点P(1，0)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为2.

将x0＝0，x0＝分别代入曲线的切线方程y－x＝3x(x－x0)中，得到切线方程为y＝0或27x－4y－27＝0.

10.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线f(x)在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.

解　设P(x0，y0)，则y0＝x＋1，

f′(x0)＝ ＝2x0，

所以曲线f(x)在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，

即y＝2x0x＋1－x，

而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，

所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点.

由

得2x2＋2x0x＋2－x＝0，

则Δ＝4x－8(2－x)＝0，

解得x0＝±，则y0＝，

所以点P的坐标为或.