苏教版 (2019)选择性必修第一册2.1 圆的方程课文配套课件ppt

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第2章 圆与方程
第二课时　圆的一般方程
课标要求
1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.
素养要求
通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、圆的一般方程的定义1.思考　(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？
(2)如果方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？
D2＋E2－4F>0
D2＋E2－4F<0
温馨提醒　圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显.(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显.
(3)
3.做一做　若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
4
二、点与圆的位置关系1.填空　已知点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
>
＝
1
B
即26a<26，又知a≥0，故解得0≤a<1.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
题型一　圆的一般方程的概念
解　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法(1)配方法.对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.(2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆.
特别提醒　在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数为1.
训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别 为__________________；
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.
9π
例2 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5). (1)求这个三角形外接圆的一般方程；
题型二　圆的一般方程的求法
解　法一　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵此圆过A，B，C三点，
∴r2＝10.∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
联立解得圆心坐标为(－2，2).设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系.
解　∵M(1，2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，∴点M(1，2)在圆内.∵N(4，5)，∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，∴点N(4，5)在圆外.∵Q(2，3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，∴点Q(2，3)在圆外.
本题法一、法二中采用了待定系数法.用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程.
训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标.
解　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).将A，B，C三点坐标代入上式得
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，∴△ABC的外接圆圆心为(－3，1)，即△ABC的外心坐标为(－3，1).
题型三　求动点的轨迹方程
角度1　直接法求轨迹方程
角度2　代入法求轨迹方程
例4 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
角度3　定义法求动点的轨迹方程
例5 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
化简，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
特别提醒　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0).设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
课堂小结
1.牢记2个知识点(1)圆的一般方程.(2)点与圆的位置关系.2.重点掌握3种方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法.(2)待定系数法求圆的方程.(3)代入法求轨迹方程的一般步骤.3.注意1个易错点易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)A.8π B.4π C.2π D.π
C
2.(多选)下列结论正确的是(　　 )
ABD
解析　A，B显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1，3)；D正确.
3.(多选)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定经过(　 　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
ABC
C
A.x2＋y2－2x＋4y＝0B.x2＋y2＋2x＋4y＝0C.x2＋y2＋2x－4y＝0D.x2＋y2－2x－4y＝0
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5B.(x＋4)2＋(y－1)5＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C
6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是____________.
(－∞，－13)
解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.
7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为__________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
8.过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA，延长OA到N，使OA＝AN，则点N的轨迹方程为________________.
x2＋y2－16x＝0
化简，得x2＋y2－16x＝0.所以点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0.
9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.
解　设M(x，y)，∵A(12，0)，M为PA的中点，∴P(2x－12，2y).∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.
解　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，　　　 　 　①
解②③⑤联立成的方程组，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为C(a，a－1)，
AC
12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是____________；最长弦所在直线的方程为____________.
x＋y－1＝0
x－y－1＝0
13.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作▱MONP，求点P的轨迹.
解　如图所示，
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
14.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)
B