数学选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示图片ppt课件

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1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.
通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、空间向量的坐标运算1.思考　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.2.填空　(1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______________________.
(2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
a1b1＋a2b2＋a3b3
温馨提醒　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
3.做一做　(1)已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)A.(16，0，4) B.(8，－16，4)C.(8，16，4) D.(8，0，4)解析　4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4).
(2)已知向量a＝(－2，1，x)，b＝(－1，1，2)，a·b＝3，则x＝________.解析　a·b＝2＋1＋2x＝2x＋3＝3，解得x＝0.
二、空间向量平行、垂直的坐标表示1.思考　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？提示　a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
2.填空　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有：平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔___________， ___________ ， ___________ (λ∈R).垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
温馨提醒　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0).
3.做一做　已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
解析　ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，
三、夹角和长度的坐标表示1.思考　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.
训练1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.解析　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.
角度1　平行、垂直的简单应用
所以2a－b＝(3，2，－2)，
所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c.
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
求证：(1)AM∥平面BDE；
角度2　证明线、面平行与垂直
证明　(1)如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE，
(2)AM⊥平面BDF.
(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
(1)求证：AF∥平面BDE；
证明　设AC与BD交于点G，连接EG.
因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明　因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，AC为交线且CE⊥AC，CE⊂平面ACEF，所以CE⊥平面ABCD.
又BE∩DE＝E，且BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，所以CF⊥平面BDE.
例4 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.
解　 如图，建立空间直角坐标系.∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0).由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.
(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题.
训练3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
1.重要思想与方法(1)向量a的坐标实质是向量a的正交分解的系数. (2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等，即：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2.(3)空间中的垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行关系.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
解析　∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
2.已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A.(－1，1，0) B.(1，－1，0)C.(0，－1，1) D.(－1，0，1)
即x－z＝1，结合选项知B项满足.
3.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　)
4.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n的值为(　　)A.0 B.－1 C.1 D.－2
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.
即P(－1，3，3).
10.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.(1)求证：EF⊥CF；
解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，线段MN的长度为________.
13.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5).(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高.
14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点.
解　如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(3)求证：BN⊥平面C1MN.