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2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学（文）试题含解析
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2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合，集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合B，由并集运算求解. 【详解】由已知可得，故. 故选：D 2．已知复数，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的乘法化简，再求其共轭复数. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质及求和公式进行求解. 【详解】由等差数列的性质可得：，则. 故选：B 4．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的性质比较大小 【详解】因为在上递增，且， 所以，得，即， 因为在上递增，， 所以，即， 因为在上为减函数，且， 所以，即， 所以. 故选：C 5．如图所示的是国家统计局官网发布的2021年3月到2022年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况. 关于这个时间段的折线图，有下列说法： ①所有月份的同比增长率都是正数； ②环比增长率为正数的月份比为负数的月份多； ③9月到10月的同比增长率的增幅等于10月到11月的同比增长率的增幅； ④同比增长率的极差为0.9. 其中正确说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据折线图进行数据的分析即可得到正确的答案. 【详解】①显然是正确的； ②环比增长率为正数的有6个月，为负数的有5个月，故②正确； ③9月到10月的同比增长率的增幅为1.5-0.7=0.8，10月到11月的同比增长率增幅为2.3-1.5=0.8，所以同比增长率相等，③的说法是正确的； ④同比增长率的极差为，所以④的说法是错误的. 故选：C 6．设满足约束条件则的最大值为（ ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】画出可行域和目标函数，利用几何意义求出最大值. 【详解】作出可行域和目标函数， 当直线经过点时，有最大值，最大值为8. 故选：A 7．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性判断A选项，再利用函数值的正负排除BD选项. 【详解】由题意知的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除A. 当时，，当时，，排除B，D. 故选：C. 8．在等比数列中，若，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以； 故选：C. 9．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求出函数解析式，再由正弦型函数的对称中心求解即可. 【详解】由图可知，则，所以. 由，得，所以. 令，得， 当时，，即图象的一个对称中心为. 故选：C 10．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点，连接，，，即可得到，， 是异面直线与所成的角（或补角），再利用余弦定理计算可得； 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，. 在长方体中， 因为且，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 同理可得四边形平行四边形，所以，， 故是异面直线与所成的角（或补角）. 设，则，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则( ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p． 【详解】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴， 将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)， 由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即， 代入抛物线方程消去y得，， 设方程两根为，则，则， 又到BC：的距离为：， ∴由得． 故选：D． 12．已知函数若，且，则的最大值是（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】作出函数图象，设，建立关于的函数，利用导数判断单调性，求最值即可. 【详解】作出图象，如图， 设，则，由，得， 所以. 设，则， 所以在上单调递减，则. 故选：B 二、填空题 13．已知向量，若，则_____． 【答案】或或 【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可. 【详解】， ， ， ，解得或. 故答案为：或. 14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】由渐近线方程求出，从而求出离心率. 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以， 所以的离心率. 故答案为： 15．在中，已知，若内部有一只小虫，则该小中离顶点的距离小于1的概率为__________. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，求出面积，利用几何概型求解即可. 【详解】因为，所以的面积为6. 在中任取一点（小虫），则点到的顶点的距离小于1的部分，构成一个以1为半径的半圆，其面积之和为，如图， 由几何概型，可得该小虫离顶点的距离小于1的概率为. 故答案为： 16．在正四棱锥中，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是__________. 【答案】 【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上， 取棱的中点，连接，作，垂足为. 由题中数据可得， 设四棱锥外接球的半径为， 则， 即， 解得. 由题意易证， 则， 故. 故所求截面圆的面积是. 故答案为： 三、解答题 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知式子化简可求出角A； （2）利用余弦定理求出，从而可求出三角形的面积 【详解】(1)因为， 所以， 所以， 因为， 所以. 因为， 所以. (2)因为，，， 所以由余弦定理， 可得，即， 解得或（舍去）， 故△ABC的面积为. 18．相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到了如下列联表： (1)请将上面的列联表补充完整，并分别估计男性､女性在该超市消费后使用刷脸支付的概率； (2)判断是否有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关. 附：，其中. 【答案】(1)表格见解析，，； (2)有. 【分析】（1）由题意完善列联表，根据古典概型计算概率即可； （2）计算，与临界值比较可得出结论. 【详解】(1)（1）列联表补充为: 男性在该超市消费后使用刷脸支付的概率约为， 女性在该超市消费后使用刷脸支付的概率约为. (2)由列联表可得， 所以有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关. 19．如图，在三棱柱中，平面是的中点. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，易知是的中位线，得到，利用线面平行的判定定理证明； （2）根据平面，由求解. 【详解】(1)证明：如图， 连接交于，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面. (2)因为平面， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等. 因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥. 且， 所以三棱锥的体积为. 20．已知函数. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可； （2）由原不等式恒成立分离参数后得，构造函数，利用导数求最小值即可. 【详解】(1)由已知得， 令，得. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 故. (2)，即， 因为，所以在上恒成立. 令，则， 令，得或（舍去）. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 故，所以，即实数的取值范围为. 21．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出，计算，得到定值. 【详解】(1)设椭圆的焦距为， 则，解得 故椭圆的方程为. (2)由题意可知直线的斜率存在，设直线. 联立整理得， 则. 因为，所以， 则 故为定值. 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程； (2)若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1)，（为数）； (2). 【分析】（1）利用消参可得曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程可得直线的参数方程； （2）利用直线参数方程代入中，由参数的几何意义求出，解方程即可. 【详解】(1)由曲线的参数方程为（为参数）消参可得： 曲线的直角坐标方程为. 因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的一个参数方程为（为参数）. (2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得. 设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得. 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意. 故. 23．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）先求出，利用基本不等式“1”的妙用求解最值. 【详解】(1) 不等式等价于或或 解得:，即不等式的解集是. (2)由（1）可知在单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 男性女性总计刷脸支付2570非刷脸支付总计100男性女性总计刷脸支付452570非刷脸支付102030总计5545100
2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合，集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合B，由并集运算求解. 【详解】由已知可得，故. 故选：D 2．已知复数，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的乘法化简，再求其共轭复数. 【详解】因为， 所以. 故选：A 3．设等差数列的前项和为，若，则（ ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质及求和公式进行求解. 【详解】由等差数列的性质可得：，则. 故选：B 4．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的性质比较大小 【详解】因为在上递增，且， 所以，得，即， 因为在上递增，， 所以，即， 因为在上为减函数，且， 所以，即， 所以. 故选：C 5．如图所示的是国家统计局官网发布的2021年3月到2022年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况. 关于这个时间段的折线图，有下列说法： ①所有月份的同比增长率都是正数； ②环比增长率为正数的月份比为负数的月份多； ③9月到10月的同比增长率的增幅等于10月到11月的同比增长率的增幅； ④同比增长率的极差为0.9. 其中正确说法的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据折线图进行数据的分析即可得到正确的答案. 【详解】①显然是正确的； ②环比增长率为正数的有6个月，为负数的有5个月，故②正确； ③9月到10月的同比增长率的增幅为1.5-0.7=0.8，10月到11月的同比增长率增幅为2.3-1.5=0.8，所以同比增长率相等，③的说法是正确的； ④同比增长率的极差为，所以④的说法是错误的. 故选：C 6．设满足约束条件则的最大值为（ ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】画出可行域和目标函数，利用几何意义求出最大值. 【详解】作出可行域和目标函数， 当直线经过点时，有最大值，最大值为8. 故选：A 7．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性判断A选项，再利用函数值的正负排除BD选项. 【详解】由题意知的定义域为， 因为，所以为奇函数，排除A. 当时，，当时，，排除B，D. 故选：C. 8．在等比数列中，若，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 所以； 故选：C. 9．函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求出函数解析式，再由正弦型函数的对称中心求解即可. 【详解】由图可知，则，所以. 由，得，所以. 令，得， 当时，，即图象的一个对称中心为. 故选：C 10．在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点，连接，，，即可得到，， 是异面直线与所成的角（或补角），再利用余弦定理计算可得； 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，，. 在长方体中， 因为且，且， 所以且，所以四边形是平行四边形， 同理可得四边形平行四边形，所以，， 故是异面直线与所成的角（或补角）. 设，则，， 故， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A 11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C，若的面积是10，则( ) A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据AB∥x轴知B点纵坐标为2p，代入抛物线方程可求B点横坐标，利用B和F求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求A到直线BC的距离d，根据即可求出p． 【详解】由题知抛物线焦点为，AB∥x轴， 将y=2p代入得x=2p，则B为(2p，2p)， 由题可知B、F、C三点共线，BC方程为：，即， 代入抛物线方程消去y得，， 设方程两根为，则，则， 又到BC：的距离为：， ∴由得． 故选：D． 12．已知函数若，且，则的最大值是（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】作出函数图象，设，建立关于的函数，利用导数判断单调性，求最值即可. 【详解】作出图象，如图， 设，则，由，得， 所以. 设，则， 所以在上单调递减，则. 故选：B 二、填空题 13．已知向量，若，则_____． 【答案】或或 【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可. 【详解】， ， ， ，解得或. 故答案为：或. 14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】由渐近线方程求出，从而求出离心率. 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以， 所以的离心率. 故答案为： 15．在中，已知，若内部有一只小虫，则该小中离顶点的距离小于1的概率为__________. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，求出面积，利用几何概型求解即可. 【详解】因为，所以的面积为6. 在中任取一点（小虫），则点到的顶点的距离小于1的部分，构成一个以1为半径的半圆，其面积之和为，如图， 由几何概型，可得该小虫离顶点的距离小于1的概率为. 故答案为： 16．在正四棱锥中，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是__________. 【答案】 【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的半径，求出截面的面积. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，从而正四棱锥外接球的球心在上， 取棱的中点，连接，作，垂足为. 由题中数据可得， 设四棱锥外接球的半径为， 则， 即， 解得. 由题意易证， 则， 故. 故所求截面圆的面积是. 故答案为： 三、解答题 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若，，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知式子化简可求出角A； （2）利用余弦定理求出，从而可求出三角形的面积 【详解】(1)因为， 所以， 所以， 因为， 所以. 因为， 所以. (2)因为，，， 所以由余弦定理， 可得，即， 解得或（舍去）， 故△ABC的面积为. 18．相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到了如下列联表： (1)请将上面的列联表补充完整，并分别估计男性､女性在该超市消费后使用刷脸支付的概率； (2)判断是否有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关. 附：，其中. 【答案】(1)表格见解析，，； (2)有. 【分析】（1）由题意完善列联表，根据古典概型计算概率即可； （2）计算，与临界值比较可得出结论. 【详解】(1)（1）列联表补充为: 男性在该超市消费后使用刷脸支付的概率约为， 女性在该超市消费后使用刷脸支付的概率约为. (2)由列联表可得， 所以有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关. 19．如图，在三棱柱中，平面是的中点. (1)证明：平面. (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，连接，易知是的中位线，得到，利用线面平行的判定定理证明； （2）根据平面，由求解. 【详解】(1)证明：如图， 连接交于，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线， 所以. 因为平面平面， 所以平面. (2)因为平面， 所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等. 因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥. 且， 所以三棱锥的体积为. 20．已知函数. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可； （2）由原不等式恒成立分离参数后得，构造函数，利用导数求最小值即可. 【详解】(1)由已知得， 令，得. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 故. (2)，即， 因为，所以在上恒成立. 令，则， 令，得或（舍去）. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 故，所以，即实数的取值范围为. 21．已知椭圆的离心率为为椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率分别为，试问是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出，计算，得到定值. 【详解】(1)设椭圆的焦距为， 则，解得 故椭圆的方程为. (2)由题意可知直线的斜率存在，设直线. 联立整理得， 则. 因为，所以， 则 故为定值. 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.直线经过点，且倾斜角为. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的一个参数方程； (2)若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值. 【答案】(1)，（为数）； (2). 【分析】（1）利用消参可得曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程可得直线的参数方程； （2）利用直线参数方程代入中，由参数的几何意义求出，解方程即可. 【详解】(1)由曲线的参数方程为（为参数）消参可得： 曲线的直角坐标方程为. 因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的一个参数方程为（为参数）. (2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得. 设两点对应的参数分别是，由题意可得，解得. 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意. 故. 23．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的最小值是，对任意的实数，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）先求出，利用基本不等式“1”的妙用求解最值. 【详解】(1) 不等式等价于或或 解得:，即不等式的解集是. (2)由（1）可知在单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 男性女性总计刷脸支付2570非刷脸支付总计100男性女性总计刷脸支付452570非刷脸支付102030总计5545100
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