高中数学2.3 全称量词命题与存在量词命题备课ppt课件

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1.理解全称量词与存在量词的意义.2.会判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它的真假.
通过用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应数学内容，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、全称量词和全称量词命题1.思考　观察下面的两个语句并回答问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？提示　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
2.填空　(1)“所有”“任意”“每一个”等表示______的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有______量词的命题称为全称量词命题，它的一般形式可表示为：____________________.
温馨提醒　全称量词和全称量词命题的两个关注点(1)全称量词：表示全称量词的短语不是惟一的，日常生活和数学中所用的“所有”“一切”等词可统称为全称量词，记作∀，其意义要体现任意性，表示所有的含义.(2)全称量词命题：可以用全称量词，也可以用“都”等副词，“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志.
3.做一做　(1)思考辨析，判断正误①命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.(　　)②命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题.(　　)③命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题.(　　)提示　省略了量词“所有的”，是全称量词命题.
(2)用量词符号“∀”表述下列命题.①对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立；②对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解.解　①∀x∈{x|x>－1}，3x＋4>0.②∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解.
二、存在量词和存在量词命题1.思考　观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m0∈Z，m0>5.上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？提示　语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分.
2.填空　(1)“存在”“有的”“有一个”等表示____________的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“________”. (2)含有存在量词的命题称为______________，它的一般形式可表示为：____________________.
温馨提醒　存在量词和存在量词命题的两个关注点(1)存在量词：存在量词的含义是存在性，日常生活和数学中所用的“存在”“至少有一个”等词统称为存在量词，记作∃，表示部分的含义.(2)存在量词命题：存在量词命题使用存在量词，如“有些”“很少”等，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某种性质的命题，强调“个别、部分”的特殊性.
3.做一做　(1)思考辨析，判断正误①命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.(　　)②命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题.(　　)③命题“有的实数的绝对值是正数”是存在量词命题.(　　)
提示　含有量词“ 有些”，为存在量词命题.
(2)用量词符号“∃”表述下列命题.①有些整数既能被2整除，又能被3整除；②某个四边形不是平行四边形.解　①∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除.②∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　全称量词命题与存在量词命题的识别
例1 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A，∠B，都有∠A＋∠B＝90°.解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
训练1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解　(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题.表示为∃y∈{y|y是一次函数}，它的图象过原点.(3)全称量词命题.表示为∀y∈{y|y是二次函数}，它的图象的开口都向上.
题型二　命题真假的判断
例2 判断下列命题的真假.(1)所有的素数都是奇数；(2)任意四边形的内角和为360°；(3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0.解　(1)2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.(2)是真命题.(3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假.(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可.
训练2 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：(1)有一些二次函数的图象过原点；(2)∃x∈R，2x2＋x＋1<0；(3)∀x∈R，x2>0. 解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如y＝x2，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)该命题是存在量词命题.
使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.x＝0时，x2＝0，故该命题是假命题.
题型三　由命题的真假求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；解　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A.又B≠∅，
所以实数m的取值范围为[2，3].
所以实数m的取值范围为[2，4].
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.
解　q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围.
解　(1)由3a＋x－2＝0得x＝－3a＋2.
1.理解2个概念(1)全称量词命题.(2)存在量词命题.2.掌握3种方法(1)判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称量词命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.(2)要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题.(3)要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列命题中存在量词命题的个数是(　　)①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|x|≥0.A.0 B.1 C.2 D.3 解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④是全称量词命题，故有一个存在量词命题.
2.已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)A.(0，4) B.(4，＋∞)C.(－∞，0) D.[4，＋∞)解析　∵p是假命题，∴方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
3.下列命题不是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)A.有一个x∈R，使得x2>3成立B.对有些x∈R，使得x2>3成立C.任选一个x∈R，都有x2>3成立D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立解析　“任选一个”“任意一个”是全称量词.
4.将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为(　　)A.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立C.对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立D.存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立解析　B，D有存在量词“存在”，C中，x，y的范围与原命题不符.
6.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用量词符号“∃”表示为___________________________.
∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
7.若命题“∃x∈R，使x2＋2x－3m＝0”为真命题，则实数m的取值范围为______________.
解析　由题意知方程x2＋2x－3m＝0有实根，故Δ＝4＋12m≥0，
8.下列全称量词命题中真命题的个数为________.①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.
解析　①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题.②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题.③当x＝y＝0时，x2＋y2＝0，所以是假命题.
9.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？(1)矩形有一个外接圆.(2)非负实数有两个平方根.(3)方程x2－x＋1＝0有实数根.解　(1)原命题可改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题.(2)原命题可改写为“任意的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题.(3)原命题可改写为“存在实数x，使x2－x＋1＝0”，是存在量词命题.
10.用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题，并判断其真假. (1)实数都能写成分数形式；
解　(1)∀x∈R，x能写成分数形式.因为无理数不能写成分数形式，所以该命题是假命题.
(3)∀x∈{x|x是平行四边形}，x的对角线互相平分.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合}，A{1，2，3}.例如存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题.
11.(多选)已知a＞0，函数y＝ax2＋bx＋c，实数m满足关于x的方程2ax＋b＝0，当x＝m时的函数值记为M，则下列选项中的命题为真命题的是(　　 )A.∃x∈R，ax2＋bx＋c≤MB.∃x∈R，ax2＋bx＋c≥MC.∀x∈R，ax2＋bx＋c≤MD.∀x∈R，ax2＋bx＋c≥M
12.下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③任何一个实数乘以0都等于0；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________.(填上所有满足要求的序号)
解析　①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③是全称量词命题，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是真命题；⑥是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形的内角和为180°.
13.若∀x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.解　(1)当m＝0时，y＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.设y1＝4m2＋4am＋1，则可转化为此关于m的二次函数的图象恒在m轴上方(或图象顶点在m轴上)的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1，1].
14.(1)是否存在实数m，使x2＋2x＋5＋m>0对任意的x∈R恒成立？并说明理由.解　存在.理由如下：要使不等式x2＋2x＋5＋m>0对任意x恒成立，则x2＋2x＋5>－m对x∈R成立.因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4.即x2＋2x＋5的最小值是4.故只需－m<4，即m>－4.所以存在实数m，使x2＋2x＋5＋m>0对任意的x∈R恒成立，此时m的取值范围为{m|m>－4}.
(2)若存在实数x，使不等式x2＋2x＋5－m<0成立，求实数m的取值范围.解　因为存在实数x，不等式m>x2＋2x＋5成立，所以m>(x2＋2x＋5)最小值.又因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，所以m>4.所以m的取值范围为{m|m>4}.