高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.3 指数函数与对数函数的关系授课课件ppt

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4.3　指数函数与对数函数的关系
课标要求
1. 1.理解互为反函数图像间的关系.2.知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0且a≠1).了解
素养要求
1.通过学习反函数的概念，提升数学抽象素养.2.通过求反函数，提升数学运算素养.3.通过互为反函数图像间关系的应用，提升直观想象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
1.思考　在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果将y当作自变量，x当成因变量，x是y的函数吗？是怎样的对应关系？ 提示　x是y的函数.即x＝log2y，对调其中的x，y，可得y＝log2x.
2.填空　(1)反函数的概念 ①定义：一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有______的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数. ②记法：一般地，对于函数y＝f(x)的反函数x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用x表示，因变量仍用y表示，则函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x).
唯一
(2)互为反函数的图像与性质①图像间的关系y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线________对称.②互为反函数的有关性质(ⅰ)y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的______相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的________相同.(ⅱ)如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数y＝f－1(x)一定存在.此时，如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是________；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数.
y＝x
值域
定义域
增函数
温馨提醒　由互为反函数的图像与性质可知，若函数y＝f(x)的图像上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图像上；反之，若点(b，a)在y＝f(x)的反函数的图像上，则点(a，b)必在函数y＝f(x)的图像上.
3.做一做　判断正误： (1)任意一个函数都有反函数.( ) 提示　函数y＝x2(x∈R)的反函数不存在. (2)y＝2x与y＝log3x互为反函数.( ) 提示　y＝2x与y＝log2x互为反函数. (3)若函数y＝f(x)是单调函数，则y＝f(x)一定存在反函数.( )
×
×
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
反函数的定义及应用
C
题型一
例1 函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上存在反函数，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，1] B.[2，＋∞) C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.[1，2)
解析　因为二次函数f(x) ＝x2－2ax－3不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间(－∞，a]或[a，＋∞)上是单调函数，而已知函数f(x)在区间[1，2]上存在反函数，所以[1，2]⊆(－∞，a]或[1，2]⊆[a，＋∞)，即a≤1或a≥2.故选C.
判定存在反函数的方法(1)用定义：若函数y＝f(x)值域中任一个y的值，在定义域中有唯一的x与之对应，则此函数的反函数存在，否则，反函数不存在.(2)用单调性：若函数y＝f(x)在定义域上单调，则它的反函数存在.
训练1 给出下列命题： ①函数f(x)＝x2存在反函数； ②函数f(x)＝kx＋b(k≠0)一定存在反函数； ③若函数y＝f(x)存在反函数，则y＝f(x)一定是单调函数； 其中正确命题的序号有________.
②
解析　当函数存在反函数时，x与y是一一对应关系，不一定是单调函数.
求反函数
题型二
例2 求下列函数的反函数： (1)y＝2x＋1(x∈R)；
解　函数y＝2x＋1，当x∈R时，y>0.法一　∵x＋1＝log2y，∴x＝－1＋log2y，x，y互换得反函数为y＝－1＋log2x(x>0).法二　对y＝2x＋1中的x，y互换得x＝2y＋1，∴y＋1＝log2x，即反函数为y＝－1＋log2x(x>0).
(2)y＝1＋ln(x－1)(x>1)；
解　由y＝1＋ln(x－1)，得x＝ey－1＋1，又由x>1，知y∈R，∴反函数为y＝ex－1＋1(x∈R).
∴y∈R且y≠1.
1.求反函数时，要先确定原函数的值域.2.求反函数的两种方法(1)可以通过对调y＝f(x)中的x与y，然后从x＝f(y)中求出y得到反函数y＝f－1(x).(2)从y＝f(x)反解得到x＝f－1(y)，然后把x＝f－1(y)中的x，y对调得到y＝f－1(x).
训练2 求下列函数的反函数：
因为x≤0，
-1
题型三
互为反函数的图像与性质的应用
2
∵自身图像关于y＝x对称，即反函数是函数自身，
(2)∵f－1(x)＝8，∴x＝f(8)＝log3(8＋1)＝2.
(1)若一个函数的图像关于直线y＝x对称，则其反函数与原函数相同.(2)y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，若f(a)＝b，则f－1(b)＝a.(3)互为反函数的两函数若具有单调性，则它们的单调性相同.
训练3 (1)已知a＞0，且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数图像都过点P，则点P的坐标是__________； (2)函数f(x)＝log2(3x＋2)的反函数的定义域为___________.
(0，－2)
解析　当x＝－2时，f(x)＝loga(－2＋3)＝0，∴f(x)恒过(－2，0)点，即反函数图像恒过点(0，－2).(2)函数f(x)的反函数的定义域即为原函数的值域，∵3x＋2＞2，∴log2(3x＋2)＞1.
(1，＋∞)
课堂小结
1.指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
2.易错易混点： (1)求反函数时忘记写反函数的定义域. (2)不是所有函数都有反函数，只有自变量与因变量一一对应的函数才有反函数. (3)求反函数时，若原函数y＝f(x)的定义域有限制，其反函数的定义域只能根据原函数的值域来求.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
解析　由f(2)＝1，则y＝f(x)的反函数过(1，2)点，即a1＝2，∴f(x)＝log2x，∴f(8)＝3.
A
2.(多选)若函数y＝f(x)存在反函数y＝f－1(x)，则函数y＝f(x)和y＝f－1(x)(　　) A.存在函数y＝f(x)，使y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于原点对称 B.单调性相同 C.不可能同时是奇函数 D.如果图像存在交点，则交点一定在直线y＝x上
AB
AC
4.记函数y＝1＋3－x的反函数为y＝g(x)，则g(10)＝(　　) A.2 B.－2 C.3 D.－1
B
解析　由于y＝g(x)为y＝1＋3－x的反函数，故求g(10)即求1＋3－x＝10的x的值，解得x＝－2.
5.已知函数g(x)＝f(x)＋x2是奇函数，当x>0时，函数f(x)的图像与函数y＝log2x的图像关于直线y＝x对称，则g(－1)＋g(－2)＝(　　) A.－7 B.－9 C.－11 D.－13
C
解析　∵x>0时，f(x)的图像与函数y＝log2x的图像关于直线y＝x对称，∴x>0时，f(x)＝2x，∴x>0时，g(x)＝2x＋x2，又g(x)是奇函数，∴g(－1)＋g(－2)＝－[g(1)＋g(2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11.故选C.
6.函数y＝f(x)的反函数存在，若点(2，1)在y＝f(x)的图像上，则其反函数一定过点________.
(1，2)
解析　由互为反函数的图像关于直线y＝x对称，∴(2，1)关于y＝x的对称点(1，2)一定在其反函数的图像上.
7.已知函数y＝ax＋b的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，则a＝________，b＝________.
3
1
解析　由函数y＝ax＋b的图像过点(1，4)，得a＋b＝4；由反函数的图像过点(2，0)，得原函数图像必过点(0，2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
8.已知函数y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－1，设f(x)的反函数是y＝g(x)，则g(－8)＝________.
-2
解析　当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝3－x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－3－x＋1，
又由y＝f(x)与y＝g(x)互为反函数，可知求g(－8)即求f(x)＝－8时的x.当x≥0时，f(x)＝－8，即3x－1＝－8，∴3x＝－7<0无解.当x<0时，f(x)＝－8，即－3－x＋1＝－8，∴x＝－2，即g(－8)＝－2.
10.已知函数f(x)＝3x－1的反函数为f－1(x)，g(x)＝log3(3x＋1)，若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围.
解　由f(x)＝3x－1，得f－1(x)＝log3(x＋1).又∵g(x)＝log3(3x＋1)，f－1(x)≤g(x)，∴log3(x＋1)≤log3(3x＋1)，
故x的取值范围为[0，＋∞).
11.函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为(　　) A.(1，＋∞) B.[0，＋∞) C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)
C
解析　y＝f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，由3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
12.函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是________.
(0，－2)
解析　法一　函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数为y＝f－1(x)＝3x－3，所以与y轴的交点为(0，－2).法二　设所求交点为(0，b).由反函数的定义知(b，0)即为函数y＝log3(x＋3)与x轴的交点，所以有log3(b＋3)＝0，∴b＝－2，故交点为(0，－2).4
13.已知函数f(x)＝2x的反函数为f－1(x). (1)若f－1(x)－f－1(1－x)＝1，求实数x的值；
解　由题意可得f－1(x)＝log2x，(x＞0)所以log2x－log2(1－x)
(2)若关于x的方程f(x)＋f(1－x)－m＝0在区间[1，2]内有解，求实数m的取值范围.
解　由f(x)＋f(1－x)－m＝0，
②③
则h(x)＝g(1－|x|)
所以h(x)是偶函数，h(x)的图像不关于原点对称.所以①不正确，②正确.
故③正确.