【最新版】高中数学高三培优小题练第90练　离散型随机变量的均值与方差

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第90练　离散型随机变量的均值与方差，共7页。试卷主要包含了已知离散型随机变量X的分布列为，已知随机变量X的分布列为，随机变量ξ满足分布列如下等内容，欢迎下载使用。

考点一 离散型随机变量的均值与方差
1．已知离散型随机变量X的分布列为
则其均值E(X)、方差D(X)等于( )
A．2.4,1 B．1,2.44
C．2.4,2.44 D．2.4,2.4
答案 C
解析 由0.5＋m＋0.2＝1，得m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
2．随机变量X的概率分布为P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝b.若E(X)＝eq \f(1,3)，则D(X)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,9) D.eq \f(2,9)
答案 D
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝1，,0×a＋1×b＝\f(1,3)，))
∴a＝eq \f(2,3)，b＝eq \f(1,3).
由题意知随机变量X服从两点分布，
故D(X)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(2,9).
3．小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分．现3人共进行了
4次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的均值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 进行“手心手背”游戏，3人出现的所有可能情况有(心，心，心)，(心，心，背)，(心，背，心)，(背，心，心)，(心，背，背)，(背，心，背)，(背，背，心)，(背，背，背)，
∴小明得1分的概率为eq \f(3,4)，得0分的概率为eq \f(1,4).
进行4次游戏，小明得分之和共有5种情况，即0分，1分，2分，3分，4分．
由独立重复试验的概率计算公式可得，
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))4＝eq \f(1,256)，P(X＝1)＝Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3＝eq \f(12,256)，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝eq \f(54,256)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))1＝eq \f(108,256)，
P(X＝4)＝Ceq \\al(4,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＝eq \f(81,256)，
则X的分布列为
∴E(X)＝0×eq \f(1,256)＋1×eq \f(12,256)＋2×eq \f(54,256)＋3×eq \f(108,256)＋4×eq \f(81,256)＝3.
4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为( )
A．2.44 B．3.376
C．2.376 D．2.4
答案 C
解析 X的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为
∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
5．某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中，取得A等级的概率分别为eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，eq \f(2,5)，且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立．记ξ为该学生取得A等级的课程数，则ξ的均值E(ξ)的值为________．
答案 eq \f(9,5)
解析 ξ的可能取值为0,1,2,3.
因为P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(6,125)，
P(ξ＝1)＝eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(37,125)，
P(ξ＝2)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)×eq \f(2,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(58,125)，
P(ξ＝3)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(24,125)，
所以E(ξ)＝0×eq \f(6,125)＋1×eq \f(37,125)＋2×eq \f(58,125)＋3×eq \f(24,125)＝eq \f(9,5).
考点二 均值与方差的性质
6．已知随机变量X的分布列为
设Y＝2X＋1，则Y的均值E(Y)的值是( )
A．－eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
答案 C
解析 根据分布列的性质，得eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq \f(1,3)，所以随机变量X的均值为E(X)＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6).又Y＝2X＋1，所以随机变量Y的均值E(Y)＝2E(X)＋1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＋1＝eq \f(2,3).
7．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝2
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝eq \f(4,9)
答案 A
解析 随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，
∴P(X＝1)＝eq \f(2,3)，
E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(2,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×eq \f(2,3)＋2＝4，故B错误；
在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×eq \f(2,9)＝2，故C错误；
在D中，D(X)＝eq \f(2,9)，故D错误．
8．随机变量ξ满足分布列如下：
则随着b的增大( )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大
B．E(ξ)增大，D(ξ)先增大后减小
C．E(ξ)减小，D(ξ)先减小后增大
D．E(ξ)增大，D(ξ)先减小后增大
答案 B
解析 因为2a－b＋a＋a＋b＝1，
所以a＝eq \f(1,4)，
又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<\f(1,2)－b<1，,0<\f(1,4)＋b<1，))解得－eq \f(1,4)所以E(ξ)＝a＋2a＋2b＝eq \f(3,4)＋2b，随着b的增大，E(ξ)增大；
D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋2b))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－b))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2b－\f(1,4)))2×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)－2b))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＋b))＝－4b2＋b＋eq \f(11,16)
＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(1,8)))2＋eq \f(3,4)，
因为－eq \f(1,4)所以D(ξ)先增大后减小．
考点三 均值与方差在决策中的应用
9．甲、乙两名工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：
若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．
答案 乙
解析 E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，
因为E(Y)10．某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目甲：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq \f(7,9)和eq \f(2,9)；
项目乙：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,3)和eq \f(1,15).
针对以上两个投资项目，如果你为公司的董事长，你会选择项目________．
答案 甲
解析 若按“项目甲”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
∴E(X1)＝300×eq \f(7,9)＋(－150)×eq \f(2,9)＝200.
D(X1)＝(300－200)2×eq \f(7,9)＋(－150－200)2×eq \f(2,9)＝35 000，
若按“项目乙”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
∴E(X2)＝500×eq \f(3,5)＋(－300)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,15)＝200.
D(X2)＝(500－200)2×eq \f(3,5)＋(－300－200)2×eq \f(1,3)＋(0－200)2×eq \f(1,15)＝140 000.
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)这说明虽然项目甲、项目乙获利相等，但项目甲更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目甲投资．
11．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)，乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B.eq \f(266,81)
C.eq \f(274,81) D.eq \f(670,243)
答案 B
解析 依题意知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(5,9).若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(ξ＝2)＝eq \f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，P(ξ＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))2＝eq \f(16,81)，故E(ξ)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).
12．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
答案 A
解析 由题意可知ξi(i＝1,2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0∴E(ξ1)把方差看作函数y＝x(1－x)，
根据013．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(7,12))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
答案 C
解析 由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)·p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，
解得p>eq \f(5,2)或p14．某保险公司新开设一项保险业务，规定在一年内如果事件E发生，则该公司要赔偿a元．在一年内如果事件E发生的概率为p，为使该公司收益期望值等于eq \f(a,10)，公司应要求投保该业务的顾客缴纳的保险金为________元．
答案 eq \f(a10p＋1,10)
解析 设随机变量X表示公司此项业务的收益额，x表示顾客交纳的保险金，则X的所有可能取值为x，x－a，且P(X＝x)＝1－p，P(X＝x－a)＝p，所以E(X)＝x(1－p)＋(x－a)p＝eq \f(a,10)，解得x＝eq \f(a10p＋1,10).X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,256)
eq \f(12,256)
eq \f(54,256)
eq \f(108,256)
eq \f(81,256)
X
3
2
1
0
P
0.6
0.24
0.096
0.064
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
a
ξ
0
1
2
P
2a－b
a
a＋b
X
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
Y
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
X1
300
－150
P
eq \f(7,9)
eq \f(2,9)
X2
500
－300
0
P
eq \f(3,5)
eq \f(1,3)
eq \f(1,15)