【最新版】高中数学高三培优小题练第96练　高考大题突破练——不等式选讲

第96练　高考大题突破练——不等式选讲

考点一　绝对值不等式的应用

1．(2022·陕西长安一中模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋1|(a∈R)．

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤7；

(2)若关于x的不等式f(x)≥2a2－2在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋1|.

当x≤－1时，f(x)＝2－x－x－1＝－2x＋1≤7，解得x≥－3，此时－3≤x≤－1；

当－1<x<2时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3≤7恒成立，此时－1<x<2；

当x≥2时，f(x)＝x－2＋x＋1＝2x－1≤7，解得x≤4，此时2≤x≤4.

综上所述，当a＝2时，不等式f(x)≤7的解集为{x|－3≤x≤4}．

(2)由绝对值三角不等式可得f(x)≥|x＋1－(x－a)|＝|a＋1|，当且仅当(x＋1)(x－a)≤0时取等号，

由题意可得|a＋1|≥2(a－1)(a＋1)．

当2(a－1)(a＋1)≤0时，即当－1≤a≤1时，不等式|a＋1|≥2(a－1)(a＋1)恒成立；

当2(a－1)(a＋1)>0时，

可得a<－1或a>1.

若a<－1，则－a－1≥2a2－2，可得2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，此时a∈∅；

若a>1，则a＋1≥2a2－2，可得2a2－a－3≤0，解得－1≤a≤，此时1<a≤.

综上所述，实数a的取值范围是.

2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.

(1)求不等式g(x)≥3的解集；

(2)若∀x2∈[－2,2]，∃x1∈[－2,2]，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．

解　(1)g(x)≥3，即|x＋1|＋|x－1|≥3，

不等式等价于

或

或

解得x≤－或x≥，

所以g(x)≥3的解集为.

(2)因为∀x2∈[－2,2]，∃x1∈[－2,2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，

所以f(x)min≤g(x)min(x∈[－2,2])，

又g(x)min＝2，

所以f(x)min≤2(x∈[－2,2])，

当－≤－2，即a≥4时，f(x)min＝f(－2)＝4－2a＋4＝8－2a≤2，解得a≥3，所以a≥4；

当－≥2，即a≤－4时，f(x)min＝f(2)＝4＋2a＋4＝8＋2a≤2，解得a≤－3，所以a≤－4；

当－2<－<2，即－4<a<4时，f(x)min＝f ＝－＋4≤2，

解得a≥2或a≤－2，所以－4<a≤－2或2≤a<4，

综上可知，实数a的取值范围为(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)．

考点二　不等式的证明

3．(2022·成都模拟)已知函数f(x)＝2|x|－|x－3|.

(1)求不等式f(x)≥－2的解集；

(2)记函数f(x)的最小值为m，若实数a，b，c满足a＋b＋c＝m.证明：a2＋2b2＋c2≥.

(1)解　当x≤0时，f(x)＝－2x－3＋x＝－x－3≥－2⇒x≤－1；

当0<x<3时，f(x)＝2x－3＋x＝3x－3≥－2⇒≤x<3；

当x≥3时，f(x)＝2x－x＋3＝x＋3≥－2⇒x≥3.

综上可知，不等式f(x)≥－2的解集为(－∞，－1]∪.

(2)证明　由(1)得，f(x)＝

所以f(x)min＝f(0)＝－3，

即m＝－3，a＋b＋c＝－3，

由柯西不等式得(a2＋2b2＋c2)·≥(a＋b＋c)2＝9，

即a2＋2b2＋c2≥，

当且仅当a＝c＝－，b＝－时取“＝”，

即a2＋2b2＋c2≥.

4．(2022·兰州模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|－|x＋1|＋2a(a∈R)．

(1)当a＝0时，求不等式f(x)>2的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)＋3|x＋1|≤a2有实数解，求a的取值范围．

解　(1)当a＝0时，由题意可得f(x)＝

当x<－1时，－x＋2>2，得x<0，

此时x<－1；

当－1≤x≤时，－3x>2，得x<－，

此时－1≤x<－；

当x>时，x－2>2，得x>4，此时x>4.

综上所述，不等式f(x)>2的解集为∪(4，＋∞)．

(2)f(x)＋3|x＋1|＝|2x－1|－|x＋1|＋3|x＋1|＋2a＝|2x－1|＋|2x＋2|＋2a，

则不等式f(x)＋3|x＋1|≤a2，等价于a2－2a≥|2x－1|＋|2x＋2|，

记g(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|，

则要使关于x的不等式f(x)＋3|x＋1|≤a2有实数解，只需a2－2a≥g(x)min，

而g(x)＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|(2x－1)－(2x＋2)|＝3，

当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，

即g(x)min＝3，

所以a2－2a≥3，解得a≤－1或a≥3，

所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．