高考数学统考一轮复习第2章函数第1节函数及其表示学案

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函数及其表示
[考试要求] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．
1．函数与映射的概念
提醒：映射实质是一对一或多对一，函数是特殊的映射．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
eq \([常用结论])
常见函数定义域的求法
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B．( )
(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．( )
(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数．( )
(4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( )
(5)已知f(x)＝m(x∈R)，则f(m3)＝m3.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、教材习题衍生
1．函数y＝eq \r(2x－3)＋eq \f(1,x－3)的定义域为( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
C [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3≥0，,x－3≠0，))
解得x≥eq \f(3,2)且x≠3.]
2．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝(eq \r(x＋1))2 B．y＝eq \r(3,x3)＋1
C．y＝eq \f(x2,x)＋1 D．y＝eq \r(x2)＋1
B [y＝eq \r(3,x3)＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B．]
3．函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为( )
A．－1 B．－eq \f(9,7) C．1 D．2
C [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0,\f(28a2－36,4a)＝－2，))解得a＝1，故选C．]
4．已知f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋a)，若f(－2)＝0，则a的值为________．
1 [f(－2)＝eq \r(－2＋3)＋eq \f(1,a－2)＝0，即eq \f(1,a－2)＝－1，解得a＝1.]
考点一 求函数的定义域
1．已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
已知函数解析式求定义域
[典例1－1] (1)函数y＝eq \f(\r(9－x2),lg2x＋1)的定义域是( )
A．(－1,3) B．(－1,3]
C．(－1,0)∪(0,3) D．(－1,0)∪(0,3]
(2)函数y＝eq \f(1,\r(lg0.5x－2))＋(2x－5)0的定义域为________．
(1)D (2) [(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9－x2≥0，,x＋1＞0，,lg2x＋1≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤x≤3，,x＞－1，,x＋1≠1，))解得－1＜x＜0或0＜x≤3，故选D．
(2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg0.5x－2＞0，,x－2＞0，,2x－5≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＜1,x－2＞0,x≠\f(5,2)))，
解得2＜x＜3且x≠eq \f(5,2)，即函数的定义域为
求抽象函数的定义域
[典例1－2] (1)已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为( )
A．(－2,0) B．(－2,2)
C．(0,2) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
(2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
(1)C (2)[－1,2] [(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜\f(x,2)＜1,－1＜x－1＜1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＜x＜2,0＜x＜2，))解得0＜x＜2，
即函数g(x)的定义域为(0,2)，故选C．
(2)由题意知－eq \r(3)≤x≤eq \r(3)，则－1≤x2－1≤2，
即函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．]
点评：函数f(g(x))的定义域指的是自变量x的取值范围，而不是g(x)的取值范围，如本例T(2)．
eq \([跟进训练])
1．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(x)的定义域为________，f(lg2x)的定义域为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) [eq \r(2)，4] [由－1≤x≤1得2－1≤2x≤2，即eq \f(1,2)≤2x≤2，所以f(x)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，由eq \f(1,2)≤lg2x≤2，即lg22eq \s\up12(eq \f(1,2))≤lg2x≤lg2 22，
得eq \r(2)≤x≤4，所以函数f(lg2x)的定义域为[eq \r(2)，4]．]
2．(2020·重庆模拟)已知函数f(x)＝ln(－x－x2)，则函数f(2x＋1) 的定义域为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))) [由－x－x2＞0得－1＜x＜0，即f(x)的定义域为(－1,0)，
由－1＜2x＋1＜0得－1＜x＜－eq \f(1,2)，
所以函数f(2x＋1)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2))).]
考点二 求函数的解析式
求函数解析式的四种方法
[典例2] (1)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f(1－sin x)＝cs2 x，则f(x)的解析式为________．
(3)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(x)＝________.
(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1，则f(x)＝________.
(1)f(x)＝x2－x＋3 (2)f(x)＝2x－x2(0≤x≤2) (3)x2－2(x≥2或x≤－2) (4)eq \f(2,3)eq \r(x)＋eq \f(1,3) [(1)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(2)(换元法)令1－sin x＝t(0≤t≤2)，则sin x＝1－t，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，∴f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．
(3)(配凑法)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2，所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(4)(解方程组法)在f(x)＝2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))·eq \r(x)－1中，将x换成eq \f(1,x)，则eq \f(1,x)换成x，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq \r(\f(1,x))－1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝2fx·\r(\f(1,x))－1，))
解得f(x)＝eq \f(2,3)eq \r(x)＋eq \f(1,3).]
点评：利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f(eq \r(x))＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
eq \([跟进训练])
1．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)＝________.
2x＋7 [(待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b，
所以ax＋5a＋b＝2x＋17对任意实数x都成立，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝7.))
所以f(x)＝2x＋7.]
2．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)的解析式为________．
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [令eq \f(1＋x,x)＝t，则t＝1＋eq \f(1,x)，t≠1，所以eq \f(1,x)＝t－1，
所以f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，
即f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
3．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.
eq \f(2x＋1－2－x,3) [由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，
即f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f(x)的解析式是f(x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).]
考点三 分段函数及其应用
1.分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求解．
分段函数的求值问题
[典例3－1] (1)(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x－2)，x＞2，,x2＋2，x≤2，))则f(f(1))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．2 C．4 D．11
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2xx≤0，,fx－3x＞0，))则f(5)的值为( )
A．－7 B．－1 C．0 D．eq \f(1,2)
(1)C (2)D [(1)因为f(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq \f(1,3－2)＝4.故选C．
(2)f(5)＝f(5－3)＝f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝(－1)2－2－1＝eq \f(1,2).故选D．]
求参数或自变量的值
[典例3－2] (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－2，x≤1，,－lg2x＋1，x＞1，))且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x＋1)， －1＜x＜0，,2x， x≥0，))若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝________.
(1)－eq \f(3,2) (2)8 [(1)当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3，无解；
当a＞1时，由f(a)＝－lg2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，
解得a＝7，
所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－2＝－eq \f(3,2).
(2)由题意得a＞0.
当0＜a＜1时，由f(a)＝f(a－1)，即2a＝eq \r(a)，解得a＝eq \f(1,4)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝8，
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，不成立．所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝8.]
点评：本例T(1)可根据函数值的范围确定a＞1.本例T(2)可根据单调性确定a≥1不可能成立．
分段函数与不等式问题
[典例3－3] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
D [法一：分类讨论法
①当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≤0，,2x≤0，))即x≤－1时，
f(x＋1)＜f(2x)，即为2－(x＋1)＜2－2x，
即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≤0，,2x＞0))时，不等式组无解．
③当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,2x≤0，))即－1＜x≤0时，
f(x＋1)＜f(2x)，即1＜2－2x，解得x＜0.
因此不等式的解集为(－1,0)．
④当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＞0，,2x＞0，))即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．
综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．
法二：数形结合法
∵f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x＞0，))
∴函数f(x)的图象如图所示．
结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，
则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＜0，,2x＜0，,2x＜x＋1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,2x＜0，))∴x＜0.]
点评：本例也可分x≤－1，－1＜x≤0，x＞0三种情况求解．
eq \([跟进训练])
1．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))的值等于( )
A．－2 B．4 C．2 D．－4
B [由题意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝2×eq \f(2,3)＝eq \f(4,3)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝4.]
2．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0＜x＜1,2x－1，x≥1))，若f(a)＝f(a＋1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝( )
A．2 B．4 C．6 D．8
C [当0＜a＜1时，a＋1＞1，则f(a)＝eq \r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.
由f(a)＝f(a＋1)得eq \r(a)＝2a，解得a＝eq \f(1,4)，从而feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6，当a≥1时，a＋1＞1，又函数f(x)＝2(x－1)，x≥1为增函数．因此f(a)＝f(a＋1)不成立，故选C．]
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0,2x，x＞0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＞1的x的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)) [①当x≤0时，x－eq \f(1,2)＜0，则f(x)＝x＋1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝x－eq \f(1,2)＋1＝x＋eq \f(1,2)，
由f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＞1得(x＋1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＞1，解得x＞－eq \f(1,4).
又x≤0，所以－eq \f(1,4)＜x≤0.
②当0＜x≤eq \f(1,2)时，x－eq \f(1,2)≤0，则f(x)＝2x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝x－eq \f(1,2)＋1＝x＋eq \f(1,2)，从而f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝2x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＞1恒成立．
③当x＞eq \f(1,2)时，x－eq \f(1,2)＞0，则f(x)＝2x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝2eq \s\up12(x－eq \f(1,2))，
从而f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＝2x＋2eq \s\up12(x－eq \f(1,2))＞1恒成立．
综上知x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，＋∞)).]
eq \([素养案例1])(2020·郑州模拟)欧拉公式eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0，欧拉公式被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [由题意得e2i＝cs 2＋isin 2，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点为(cs 2，sin 2)．因为2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs 2＜0，sin 2＞0，所以e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B．]
[评析] 此类以欧拉公式为背景考查复数几何意义的试题，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解此类题的关键：一是会揭开数学文化的面纱，读懂题意；二是会进行三角运算，如本题，在读懂题意的基础上，需利用弧度制，判断角的范围，从而判断角的三角函数值的符号，即可得出复数在复平面中对应的点的位置．
eq \([素养培优])
已知欧拉公式为eix＝cs x＋isin x(i为虚数单位)，若α∈(0,2π)，且e－iα表示的复数在复平面中对应的点位于第三象限内，则sin α＋cs α的取值范围是( )
A．(1，eq \r(2)] B．[－eq \r(2)，eq \r(2)]
C．(－1,1) D．[－eq \r(2)，－1)
C [因为e－iα＝cs(－α)＋isin(－α)＝cs α－isin α，所以结合题意可知点(cs α，－sin α)位于复平面的第三象限内，所以cs α＜0且－sin α＜0，又α∈(0,2π)，所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
故sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))∈(－1,1)．故选C．]
eq \([素养案例2])(2020·长沙长郡中学模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,1＋2x)，则函数y＝[f(x)]的值域是( )
A．{0,1} B．(0,2)
C．(0,1) D．{－1,0,1}
A [法一：因为f(x)＝eq \f(2x＋1,1＋2x)＝eq \f(2x＋1＋2－2,1＋2x)＝2－eq \f(2,1＋2x)∈(0,2)，
所以当f(x)∈(0,1)时，y＝[f(x)]＝0；当f(x)∈[1,2)时，y＝[f(x)]＝1.
所以函数y＝[f(x)]的值域是{0,1}．故选A．
法二：因为y＝[f(x)]不可能为小数，所以排除B，C；
又2x＞0，所以f(x)＝eq \f(2x＋1,1＋2x)＞0，所以y＝[f(x)]≠－1，排除D．选A．]
[评析] 求解此类题的关键是理解高斯函数的含义，若是以选择题的形式考查，可用取特值法达到秒解，如本题的方法二，对特殊值的敏感和对已知选项的挖掘，常常可从中提取有效的信息，而对它们的视而不见，则会导致与简便解法“擦肩而过”．注意对特值的选定，一要典型，能定性说明问题，二要简单，便于计算．
eq \([素养培优])
(2020·淄博一模)高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x≤3；④当－1≤x＜1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2.其中正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号)
①④ [①[－2.1]＋[1]＝－3＋1＝－2，正确；
②[x]＋[－x]＝0，错误，例如：[2.5]＝2，[－2.5]＝－3,2＋(－3)≠0；
③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x＜3，故错误；
④当－1≤x＜1时，0≤x＋1＜2,0＜－x＋1≤2，
∴[x＋1]＝0或1，[－x＋1]＝0或1或2，
当[x＋1]＝0时，[－x＋1]＝1或2；
当[x＋1]＝1时，[－x＋1]＝1或0；
所以[x＋1]＋[－x＋1]的值为1,2，故正确．]
eq \([素养案例3])(2020·上海徐汇区模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ))被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，关于函数f(x)有如下四个命题：
①f(f(x))＝0；
②函数f(x)是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [对于①，当x为有理数时，f(x)＝1，f(f(x))＝f(1)＝1，故①是假命题．
对于②，若x∈Q，则－x∈Q；若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，所以，无论x是有理数还是无理数，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故②是真命题．
对于③，当x为有理数时，x＋T为有理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝1；当x为无理数时，x＋T为无理数，满足f(x＋T)＝f(x)＝0，故③是真命题．
对于④，当A，B，C三点满足Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))，B(0,1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))时，△ABC为等边三角形，故④是真命题．
综上所述，真命题的个数是3.故选C．]
[评析] 破解本题的关键如下：一是明晰狄利克雷函数的实质是分段函数，注意理解集合∁RQ表示无理数集；二是会活用函数的奇偶性、周期性的定义判断函数的奇偶性、周期性；三是判断含有存在量词命题真假的关键是找到一个满足题意的条件．
eq \([素养培优])
(2020·陕西长安一中3月质检)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，))其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．无法求
B [若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1.
若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B．]
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章在高考中一般为1～3个客观题.
2.考查内容
高考对本章内容的考查主要涉及指数、对数的运算，指数函数、对数函数的图象与性质，分段函数的求值，函数奇偶性的判断，函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用，函数的零点等内容.
函数
映射
两集合
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
A，B对应关系f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
定义
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
映射f：A→B
类型
x满足的条件
eq \r(2n,fx)(n∈N*)
f(x)≥0
eq \r(2n＋1,fx)(n∈N*)
f(x)有意义
eq \f(1,fx)与[f(x)]0
f(x)≠0
lgaf(x)(a＞0且a≠1)
f(x)＞0
af(x)(a＞0且a≠1)
f(x)有意义
tan[f(x)]
f(x)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
核心素养1 用数学眼光观察世界——与高等数学接轨的三类函数
高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养学生的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养.
欧拉公式
高斯函数
狄利克雷函数