人教版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合学案理含解析

第一节　集　合

‖知识梳理‖

1．元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

2．集合间的基本关系

►常用结论

集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集(除集合本身)，有2n－1个非空子集，有2n－2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n≥1)．

3．集合的基本运算

►常用结论

(1)A∩∅＝∅，A∪∅＝A；

(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅；

(3)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(　　)

(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.(　　)

(3)若AB，则A⊆B且A≠B．(　　)

(4)N*NZ.(　　)

(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×

二、走进教材

2．(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)

A．a∈P B．{a}∈P

C．{a}⊆P D．a∉P

答案：D

3．(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．

答案：64

三、易错自纠

4．已知集合A＝{x∈N|0≤x≤4}，则下列说法正确的是　　(　　)

A．0∉A B．1⊆A

C．⊆A D．3∈A

答案：D

5．已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则(∁RA)∪B＝______________．

答案：{x|x≤1或x>2}

6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是____________．

答案：0或1或－1

|题组突破|

1．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解析：选C　因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

2．(2019届广东佛山模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∩B的子集个数为(　　)

A．3 B．4

C．7 D．8

解析：选D　∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0，1，2}，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}，∴A∩B的子集个数为23＝8，故选D．

3．(2019届湖南长郡中学模拟)已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝，则(　　)

A．M＝N B．N⊆M

C．M＝∁RN D．(∁RN)∩M＝∅

解析：选C　∵由题意得y＝x－|x|＝∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁RN.

4．已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

解析：①若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，符合题意；

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－，此时B＝，不合题意；

④若1，2∈B，则12＋m＋1＝0，且22＋2m＋1＝0，无解．

综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．

答案：[－2，2)

►名师点津

1．判断两集合关系的3种常用方法

2．根据两集合的关系求参数的方法

[提醒]　题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．

集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查考生的灵活处理问题的能力．

常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合的运算求参数．

●命题角度一　集合的基本运算

【例1】　(1)(2019年全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　)

A．{x|－4<x<3} 

B．{x|－4<x<－2}

C．{x|－2<x<2} 

D．{x|2<x<3}

(2)(2019年浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(∁UA)∩B＝(　　)

A．{－1} B．{0，1}

C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}

(3)(2020届石家庄调研)已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．[2，3) B．(2，3)

C．(3，＋∞) D．(2，＋∞)

[解析]　(1)∵M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C．

(2)∵∁UA＝{－1，3}，

∴(∁UA)∩B＝{－1，3}∩{－1，0，1}＝{－1}．故选A．

(3)∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁RB＝(－3，3)．又A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，所以A∩(∁RB)＝(2，3)，故选B．

[答案]　(1)C　(2)A　(3)B

►名师点津

集合基本运算的求解策略

●命题角度二　利用集合的运算求参数

【例2】　(1)(2017年全国卷Ⅱ)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)

A．{1，－3} B．{1，0}

C．{1，3} D．{1，5}

(2)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是(　　)

A．(0，1] B．[1，＋∞)

C．(0，2] D．[2，＋∞)

[解析]　(1)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，即1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，所以方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．

(2)A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2，即c∈[2，＋∞)，故选D．

[答案]　(1)C　(2)D

►名师点津

根据集合运算的结果确定参数的取值范围

解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到．

解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn图进行求解．

|跟踪训练|

1．(2019年全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　　)

A．{－1，0，1} B．{0，1}

C．{－1，1} D．{0，1，2}

解析：选A　因为A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{－1，0，1}，故选A．

2．(2020届陕西摸底)已知集合M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}，则M∪N＝(　　)

A．[2，3) B．(3，5]

C．(－∞，5] D．[2，＋∞)

解析：选D　因为M＝{x|x>3}，N＝{x|x2－7x＋10≤0}＝{x|2≤x≤5}，所以M∪N＝{x|x≥2}，故选D．

3．(2019届山东临沂第十九中学质量调研)已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若A∪B＝A，则m＝(　　)

A．0或 B．1或

C．0或3 D．1或3

解析：选C　由A∪B＝A得，B⊆A，又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，故m＝3或m＝，解得m＝3，m＝0或m＝1(舍去)，故选C．

【例】　(1)(2019届北京人大附中月考)定义集合运算：A★B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}．设集合A＝{1，}，B＝{－1，0}，则集合A★B的元素之和为(　　)

A．2 B．1

C．3 D．4

(2)(2019年全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为(　　)

A．0.5 B．0.6

C．0.7 D．0.8

[解析]　(1)∵当时，z＝0；当或时，z＝1；当时，z＝2，

∴A★B＝{0，1，2}，∴集合A★B中所有元素之和为0＋1＋2＝3.故选C．

(2)由题意作出Venn图，得，

故该学校阅读过《西游记》的学生人数为70，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C．

[答案]　(1)C　(2)C

►名师点津

(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．

(2)在解决与集合交集应用问题时，借助Venn图进行分析可帮助理解和转化．

|跟踪训练|

1．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝____________．

解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得，A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．

答案：{0}∪[2，＋∞)

2．50名学生报名参加A，B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生人数的，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数比同时报名参加两组的人数的多1人，则同时报名参加A，B两组的人数和两组都没有报名的人数分别为________、________.

解析：依题意易知，报名参加A，B两组的人数分别为30，33.如图，设报名参加A，B两项课外学科小组的学生分别组成集合A，B，A∩B的元素有x个，则由图知(30－x)＋x＋(33－x)＋＝50，可得x＝21，则x＋1＝8.

所以同时报名参加A，B两组的人数为21，两组都没有报名的人数为8.

答案：21　8