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2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学（文）试题含解析
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2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 1．复数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：，故选A 【解析】复数的运算 2．“”是“复数为纯虚数”的（ ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答案】A 【分析】复数为纯虚数，则，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】数为纯虚数应满足：. 所以“”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件. 故选：A. 3．下列命题正确的是（ ） A．命题“若，则”的否命题为“若，则” B．若给定命题，，则， C．已知，，则是的充分必要条件 D．若为假命题，则，都为假命题 【答案】D 【分析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项． 【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，A错； 命题，的否定是，，B错； 易知函数在定义域内是增函数，，， 所以时，满足， 但时，不满足，因此题中应不充分不必要条件，C错； 为假命题，则，都为假命题，若中有一个为真，则为真命题，D正确． 故选：D． 4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 5．函数，若其导数的图象如图所示，则函数的极小值是（ ） A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c 【答案】D 【分析】根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值． 【详解】f′（x）=3ax2+2bx，根据导函数的图象， 可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根， 当x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数， 当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数， ∴x=0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）=c， 故选D． 【点睛】本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题． 6．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 7．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题； 当，时，成立，但不成立，故命题为假命题； 故命题，，均为假命题，命题为真命题． 故选：B． 8．某项运动，得到下表： 附表： 参考公式： 参照附表，得到的正确结论是（ ） A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 【答案】C 【分析】根据给定的数表求出的观测值，再与临界值表比对即可作答. 【详解】依题意，， 所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”. 故选：C 9．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】模拟执行程序，由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的，的值，即可得到结论． 【详解】解：由，，， 则变为， 由，则变为， 由，则变为， 由，则变为， 由，则变为， 由， 则输出的． 故选：A． 10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】设出直线方程，求出A,B两点的纵坐标的差，利用三角形的面积，求出直线的斜率，然后求解. 【详解】抛物线焦点为，设过焦点F的直线为， 由可得， ，， △AOB的面积为，可得， 即，解得， ， 故选A. 【点睛】该题所考查的是有关直线被曲线截得的弦长求解问题，在解题的过程中，涉及到的考点有直线与抛物线相交的解题思路，三角形的面积公式以及弦长公式，从而求得结果. 11．已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线与曲线，相切的切点分别为，，先针对，根据导数的几何意义求出切线方程，再针对还是利用导数的几何意义列方程组求出实数的值. 【详解】设直线与曲线，相切的切点分别为，， 因为，所以， 解得，又， 所以直线与曲线相切的切点坐标为， 所以，解得，所以． 又， 所以，解得． 故选：B． 12．过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为双曲线的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B．若联立解得双曲线的渐近线方程为，选A 二、填空题 13．命题：的否定为__________. 【答案】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答. 【详解】命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：的否定是：. 故答案为： 14．过点的抛物线的标准方程是__________. 【答案】或 【分析】按焦点位置的不同设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】当抛物线焦点在x轴上时，设方程为，则有，解得，即有， 当抛物线焦点在y轴上时，设方程为，则有，解得，即有， 所以过点的抛物线的标准方程是或. 故答案为：或 15．直角坐标系中曲线C的参数方程为（为参数且）.则曲线C的直角坐标方程为__________. 【答案】， 【分析】根据消去参数，再根据的取值范围，求出的取值范围，即可得解； 【详解】解：因为曲线C的参数方程为（为参数且）， 所以，即， 因为，所以，， 所以曲线C的直角坐标方程为，； 故答案为：，； 16．已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________. 【答案】 【分析】如图所示，不妨设点在双曲线的右支上．设，．可得，，，消去，可得．再利用离心率及可得． 【详解】解：如图所示， 不妨设点在双曲线的右支上．设，． 则，，， 即，所以，又，所以． 又， ，解得，所以． ． 故答案为：． 三、解答题 17．已知命题p：关于x的二次不等式有解；命题q：方程表示椭圆方程.若为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】或. 【分析】求出命题p，q为真命题的m的取值范围即可求解作答. 【详解】二次不等式有解，当时，不等式有解， 当时，，解得，则， 因此，命题p：， 方程表示椭圆方程，则，且，即命题q：，且， 因为真命题，则命题都为真命题，于是得或， 所以实数m的取值范围是或. 18．在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）． （1）求，的值 （2）求出直线与圆的公共点的极坐标． 【答案】（1）（2） 【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ， 因为点为直线上，故其直角坐标方程为， 又对应的圆的直角坐标方程为：， 由解得或， 对应的点为，故对应的极径为或. （2）， ， 当时； 当时，舍；即所求交点坐标为当 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．已知函数. (1)设，求的极值点的个数； (2)设在区间中至少有一个极值点，求a的取值范围. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助函数单调性判断作答. （2）求出函数的导数，把问题转化为在上至少有一个变号零点，再求解作答. 【详解】(1)当时，，求导得，当且仅当时取“=”， 则函数在R上单调递增，即函数无极值， 所以函数的极值点的个数为0. (2)对函数求导得：， 因在区间中至少有一个极值点，则函数在上至少有一个变号零点， 若函数在上只有一个变号零点，有，解得， 经验证，是的一个极值点，则， 当，即时，，在上没有零点， 当，即时，，在上没有零点， 若函数在上有2个变号零点，则有，解此不等式得，无解， 所以a的取值范围是. 20．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．2016年4月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展．下表是2016年至2020年新能源汽车年销量（单位：十万辆）情况： (1)试建立年销量关于年份编号的线性回归方程； (2)根据（1）中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)万辆 【分析】（1）先根据已知数据求出，再利用公式可求得结果， （2）将代入回归方程中求解即可 【详解】(1)， ， ， 所以， ， 所以年销量关于年份编号的线性回归方程 (2)当时，， 所以2023年新能源汽车的年销量约为万辆 21．已知函数. (1)若，讨论函数的单调性与极值； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）由，得到，然后由，求解； （2）将对任意，恒成立，转化为对任意恒成立求解. 【详解】(1)解：因为， 所以，当时，， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得极小值1，无极大值； (2)因为对任意，恒成立， 所以对任意恒成立， 令， 则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以 22．已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，. (1)求椭圆C的离心率和焦点坐标； (2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）因为本题没有说明椭圆的焦点所在位置，则设，代入点列方程求解；（2）设坐标，利用两点间距离公式结合椭圆方程求取到最大值时的坐标，根据l与椭圆相切，联立方程利用求解，进而求点及． 【详解】(1)设椭圆方程为 根据题意可得，解得 ∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上 ∴求椭圆C的离心率，焦点坐标 (2)设，根据题意可得，即 则 ∵ ∴当，即时，取到最大值 由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即 联立方程，消去得 根据题意可得：，解得 ∴切线l：，与y轴交于点 ∴ 男女总计爱好402060不爱好203050总计60501100.0500.0100.001k3.8416.63510.828年份20162017201820192020年份编号12345年销量57121214
2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 1．复数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：，故选A 【解析】复数的运算 2．“”是“复数为纯虚数”的（ ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 【答案】A 【分析】复数为纯虚数，则，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】数为纯虚数应满足：. 所以“”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件. 故选：A. 3．下列命题正确的是（ ） A．命题“若，则”的否命题为“若，则” B．若给定命题，，则， C．已知，，则是的充分必要条件 D．若为假命题，则，都为假命题 【答案】D 【分析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项． 【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，A错； 命题，的否定是，，B错； 易知函数在定义域内是增函数，，， 所以时，满足， 但时，不满足，因此题中应不充分不必要条件，C错； 为假命题，则，都为假命题，若中有一个为真，则为真命题，D正确． 故选：D． 4．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 5．函数，若其导数的图象如图所示，则函数的极小值是（ ） A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c 【答案】D 【分析】根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值． 【详解】f′（x）=3ax2+2bx，根据导函数的图象， 可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根， 当x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数， 当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数， ∴x=0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）=c， 故选D． 【点睛】本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题． 6．曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C． 【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 7．已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】解：命题，使成立，故命题为真命题； 当，时，成立，但不成立，故命题为假命题； 故命题，，均为假命题，命题为真命题． 故选：B． 8．某项运动，得到下表： 附表： 参考公式： 参照附表，得到的正确结论是（ ） A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关” 【答案】C 【分析】根据给定的数表求出的观测值，再与临界值表比对即可作答. 【详解】依题意，， 所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”. 故选：C 9．我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】模拟执行程序，由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的，的值，即可得到结论． 【详解】解：由，，， 则变为， 由，则变为， 由，则变为， 由，则变为， 由，则变为， 由， 则输出的． 故选：A． 10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝（ ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】设出直线方程，求出A,B两点的纵坐标的差，利用三角形的面积，求出直线的斜率，然后求解. 【详解】抛物线焦点为，设过焦点F的直线为， 由可得， ，， △AOB的面积为，可得， 即，解得， ， 故选A. 【点睛】该题所考查的是有关直线被曲线截得的弦长求解问题，在解题的过程中，涉及到的考点有直线与抛物线相交的解题思路，三角形的面积公式以及弦长公式，从而求得结果. 11．已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线与曲线，相切的切点分别为，，先针对，根据导数的几何意义求出切线方程，再针对还是利用导数的几何意义列方程组求出实数的值. 【详解】设直线与曲线，相切的切点分别为，， 因为，所以， 解得，又， 所以直线与曲线相切的切点坐标为， 所以，解得，所以． 又， 所以，解得． 故选：B． 12．过双曲线的右焦点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为双曲线的右焦点F2作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B．若联立解得双曲线的渐近线方程为，选A 二、填空题 13．命题：的否定为__________. 【答案】 【分析】利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答. 【详解】命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题：的否定是：. 故答案为： 14．过点的抛物线的标准方程是__________. 【答案】或 【分析】按焦点位置的不同设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】当抛物线焦点在x轴上时，设方程为，则有，解得，即有， 当抛物线焦点在y轴上时，设方程为，则有，解得，即有， 所以过点的抛物线的标准方程是或. 故答案为：或 15．直角坐标系中曲线C的参数方程为（为参数且）.则曲线C的直角坐标方程为__________. 【答案】， 【分析】根据消去参数，再根据的取值范围，求出的取值范围，即可得解； 【详解】解：因为曲线C的参数方程为（为参数且）， 所以，即， 因为，所以，， 所以曲线C的直角坐标方程为，； 故答案为：，； 16．已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________. 【答案】 【分析】如图所示，不妨设点在双曲线的右支上．设，．可得，，，消去，可得．再利用离心率及可得． 【详解】解：如图所示， 不妨设点在双曲线的右支上．设，． 则，，， 即，所以，又，所以． 又， ，解得，所以． ． 故答案为：． 三、解答题 17．已知命题p：关于x的二次不等式有解；命题q：方程表示椭圆方程.若为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】或. 【分析】求出命题p，q为真命题的m的取值范围即可求解作答. 【详解】二次不等式有解，当时，不等式有解， 当时，，解得，则， 因此，命题p：， 方程表示椭圆方程，则，且，即命题q：，且， 因为真命题，则命题都为真命题，于是得或， 所以实数m的取值范围是或. 18．在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）． （1）求，的值 （2）求出直线与圆的公共点的极坐标． 【答案】（1）（2） 【分析】(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系， ， 因为点为直线上，故其直角坐标方程为， 又对应的圆的直角坐标方程为：， 由解得或， 对应的点为，故对应的极径为或. （2）， ， 当时； 当时，舍；即所求交点坐标为当 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．已知函数. (1)设，求的极值点的个数； (2)设在区间中至少有一个极值点，求a的取值范围. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助函数单调性判断作答. （2）求出函数的导数，把问题转化为在上至少有一个变号零点，再求解作答. 【详解】(1)当时，，求导得，当且仅当时取“=”， 则函数在R上单调递增，即函数无极值， 所以函数的极值点的个数为0. (2)对函数求导得：， 因在区间中至少有一个极值点，则函数在上至少有一个变号零点， 若函数在上只有一个变号零点，有，解得， 经验证，是的一个极值点，则， 当，即时，，在上没有零点， 当，即时，，在上没有零点， 若函数在上有2个变号零点，则有，解此不等式得，无解， 所以a的取值范围是. 20．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．2016年4月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021—2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展．下表是2016年至2020年新能源汽车年销量（单位：十万辆）情况： (1)试建立年销量关于年份编号的线性回归方程； (2)根据（1）中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)万辆 【分析】（1）先根据已知数据求出，再利用公式可求得结果， （2）将代入回归方程中求解即可 【详解】(1)， ， ， 所以， ， 所以年销量关于年份编号的线性回归方程 (2)当时，， 所以2023年新能源汽车的年销量约为万辆 21．已知函数. (1)若，讨论函数的单调性与极值； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）由，得到，然后由，求解； （2）将对任意，恒成立，转化为对任意恒成立求解. 【详解】(1)解：因为， 所以，当时，， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得极小值1，无极大值； (2)因为对任意，恒成立， 所以对任意恒成立， 令， 则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以 22．已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，. (1)求椭圆C的离心率和焦点坐标； (2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）因为本题没有说明椭圆的焦点所在位置，则设，代入点列方程求解；（2）设坐标，利用两点间距离公式结合椭圆方程求取到最大值时的坐标，根据l与椭圆相切，联立方程利用求解，进而求点及． 【详解】(1)设椭圆方程为 根据题意可得，解得 ∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上 ∴求椭圆C的离心率，焦点坐标 (2)设，根据题意可得，即 则 ∵ ∴当，即时，取到最大值 由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即 联立方程，消去得 根据题意可得：，解得 ∴切线l：，与y轴交于点 ∴ 男女总计爱好402060不爱好203050总计60501100.0500.0100.001k3.8416.63510.828年份20162017201820192020年份编号12345年销量57121214
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