2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省遂宁市射洪中学高二下学期第三次月考数学（理）试题

一、单选题

1．“”是“复数为纯虚数”的（       ）

A．必要非充分条件 B．充分非必要条件

C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件

【答案】A

【分析】复数为纯虚数，则，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】数为纯虚数应满足：.

所以“”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件.

故选：A.

2．已知复数(,i为虚数单位)在复平面内对应的点位于第二象限,且,则复数z等于（       ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【解析】根据复数的模以及复数对应点所在象限求得的值，由此得出正确选项.

【详解】由,得,解得.因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以.

所以,所以.

故选：A

【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查复数对应的点所在象限.

3．下列命题正确的是（       ）

A．命题“若，则”的否命题为“若，则”

B．若给定命题，，则，

C．已知，，则是的充分必要条件

D．若为假命题，则，都为假命题

【答案】D

【分析】根据否命题，命题的否定，充分必要条件的定义，复合命题真假判断各选项．

【详解】命题“若，则”的否命题为“若，则”，A错；

命题，的否定是，，B错；

易知函数在定义域内是增函数，，，

所以时，满足，

但时，不满足，因此题中应不充分不必要条件，C错；

为假命题，则，都为假命题，若中有一个为真，则为真命题，D正确．

故选：D．

4．在平面直角坐标系中，曲线，与x轴所围成的封闭区域的面积为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】先作图，然后由微积分基本定理可得.

【详解】，的函数图象如图

记，因为

所以.

所以所求面积为

故选：C

5．对某些，，用数学归纳法可以证明不等式：成立，第一步验证不等式成立，正确的是（       ）

A．时， B．时，

C．时， D．时，

【答案】D

【分析】根据确定第一步对应的即可

【详解】由题，，时对应，分母每次增加1，

故时，为第一步.

故选：D

6．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（       ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

7． 的展开式中的系数为（       ）

A．-270 B．-90 C．90 D．270

【答案】A

【详解】：选：A

【考点定位】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题

8．设是一个离散型随机变量，其分布列如图，则q等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列的性质直接求解即可.

【详解】由题知，解得.

故选：C

9．函数，若其导数的图象如图所示，则函数的极小值是（       ）

A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c

【答案】D

【分析】根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值．

【详解】f′（x）=3ax2+2bx，根据导函数的图象，

可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根，

当x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，

当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，

∴x=0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（0）=c，

故选D．

【点睛】本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题．

10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝（       ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】A

【分析】设出直线方程，求出A,B两点的纵坐标的差，利用三角形的面积，求出直线的斜率，然后求解.

【详解】抛物线焦点为，设过焦点F的直线为，

由可得，

，，

△AOB的面积为，可得，

即，解得，

，

故选A.

【点睛】该题所考查的是有关直线被曲线截得的弦长求解问题，在解题的过程中，涉及到的考点有直线与抛物线相交的解题思路，三角形的面积公式以及弦长公式，从而求得结果.

11．已知是定义在上的函数，且满足①；②曲线关于点对称；③当时，若在上有5个零点，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 因为曲线关于点对称，

所以曲线关于点对称，所以在R上是奇函数，

所以，又因为，所以，

而在上恰有个零点，

故时， 有一个零点，

所以时，，

所以在上有一个不同的解.

令 ，则，

所以在上减函数，在上是增函数；

而，

而，所以，

故或，故选B.

12．点，是曲线C：的左右焦点，过作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A，B和C，D；线段AB，CD的中点分别为M，N，直线与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】讨论斜率，斜率存在时设、联立曲线C，应用韦达定理求线段AB，CD的中点坐标，进而确定的方程，可得过定点，若以G为圆心的圆半径为，只需保证可满足圆与直线恒有公共点，即得面积最小值.

【详解】当直线斜率均存在时，令且，则，

联立与曲线C并整理得：，

且，则，

所以，故，

联立与曲线C并整理得：，

同理，，，可得，

直线，故过定点，

当直线中一条的斜率不存在时，令，则，

所以，，故过，

而，要使以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，且圆面积最小，

若圆的半径为，只需恒成立，故圆最小面积为.

故选：B

【点睛】关键点点睛：讨论直线斜率，设直线方程联立曲线方程，结合韦达定理求线段中点坐标，进而确定的方程，得到过定点，根据恒有公共点有圆半径为，只需保证恒成立即可.

二、填空题

13．的展开式中，奇数项的系数和为______.

【答案】121

【分析】先将式子展开，使用赋值法分别令，然后两式相加再除以2可得.

【详解】记

分别取，得：

…①

…②

①+②得：

所以

所以奇数项的系数和为121.

故答案为：121

14．过点的抛物线的标准方程是__________.

【答案】或

【分析】按焦点位置的不同设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.

【详解】当抛物线焦点在x轴上时，设方程为，则有，解得，即有，

当抛物线焦点在y轴上时，设方程为，则有，解得，即有，

所以过点的抛物线的标准方程是或.

故答案为：或

15．射洪中学高2020级准备举行题为“挺进高三”主题活动，计划安排文理科学生各一人作为学生代表发言，两名科任教师作鼓励性动员以及年级主任讲话，要求学生不能相邻，科任教师不能相邻，则不同的安排顺序种数为______.

【答案】48

【分析】使用插空法先算学生不相邻的排法，然后减去学生不相邻而两名教师相邻的排法即可.

【详解】1、计算两名学生不相邻的排法：

第一步，将两名科任教师和年级主任排成一列有种；

第二步，将两名学生插入到4个空位中有

所以总排法有种.

2、计算两名学生不相邻且两名科任教师相邻的排法：

第一步，两名教师站成一排有种；

第二步，将两名教师看成一个元素与年级主任进行排列有种；

第三步，将两名学生插入到3个空位中有种。

所以总排法有.

所以学生不相邻且教师不相邻的排法种数有种.

故答案为：48

16．若当时恒成立.则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】将问题转化为恒成立问题，转化为，的图象位置关系问题，通过图象结合导数可得.

【详解】当时，恒成立恒成立

记，

由图可知，因为为过定点的直线，所以要使时恒成立，只需满足a小于等于过点P与相切的直线斜率.

因为，得，所以.

综上，实数a的取值范围是.

故答案为：

三、解答题

17．已知的二项展开式的二项式系数和为16，直线与曲线有两个不相同的交点，求k的取值范围.

【答案】

【分析】根据二项式系数的性质求n，然后将直线方程代入椭圆方程利用判别式可得.

【详解】因为的二项展开式的二项式系数和为16，

所以，解得，所以得

将代入整理得：

由题知，即

解得或，

所以k的取值范围为

18．已知函数.

(1)设，求的极值点的个数；

(2)设在区间中至少有一个极值点，求a的取值范围.

【答案】(1)0；

(2).

【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助函数单调性判断作答.

（2）求出函数的导数，把问题转化为在上至少有一个变号零点，再求解作答.

【详解】(1)当时，，求导得，当且仅当时取“=”，

则函数在R上单调递增，即函数无极值，

所以函数的极值点的个数为0.

(2)对函数求导得：，

因在区间中至少有一个极值点，则函数在上至少有一个变号零点，

若函数在上只有一个变号零点，有，解得，

经验证，是的一个极值点，则，

当，即时，，在上没有零点，

当，即时，，在上没有零点，

若函数在上有2个变号零点，则有，解此不等式得，无解，

所以a的取值范围是.

19．某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%．生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元．设生产各种产品相互独立

（1）记（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

【答案】（1）分布列见详解；（2）

【分析】（1）：判断X的可能取值，求解对应的概率即可；

（2）：至少需要生产3件一等品所获得的利润不少于10万元，分类求解可得结果．

【详解】（1）X的可能取值为：

则；

；，分布列如下：

（2）依题意，至少需要生产3件一等品所获得的利润不少于10万元，则

20．已知椭圆C：（）上的动点P到右焦点距离的最小值为.

(1)设点，为椭圆C的左右焦点，求三角形面积的最大值；

(2)已知点M为C的下顶点，A为椭圆的右顶点，在（1）的结论下，过M的直线与直线AP垂直且与C的另一个交点为N，求三角形AMN的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据已知列方程组求椭圆方程，然后结合图形直接计算可得；

（2）根据已知直接求直线MN的方程，然后由弦长公式和点到直线的距离公式可得.

【详解】(1)由题知，解得

椭圆C的方程为：

易知当点P为上顶点时，的面积最大，最大值

(2)由（1）知，

因为直线的斜率为，，

所以直线的斜率为3，

所以直线的方程为，代入整理得：

，解得

所以

又点A到直线MN：的距离

所以

21．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧.

(1)若（其中O为坐标原点），求△ABO与△AFO面积之和的最小值；

(2)若A，B，F三点共线，A，B处的切线交点为P，求P到F的最小距离.

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及，可得直线过定点，不妨设A在轴的上方，则，进而将面积之和表示出来，结合基本不等式求得答案；

（2）设AB方程联立抛物线方程消元，由韦达定理可得，利用导数求得PA、PB方程，联立求解可得P的横坐标，然后可得.

【详解】(1)设直线的方程为：，点，，，，

由，可得…①，

点，，，在抛物线上，可得，…②

由①②可得或1（舍去），

由可得，

根据韦达定理有，所以

直线过定点，

点A，位于轴的两侧，不妨设A在轴的上方，则，

又焦点，，

，

当且仅当，取“”号，

与面积之和的最小值是3，

(2)不妨记点A在x轴上方，设，，，，

当时，，则，过点A与抛物线相切的直线方程为，整理得…①

同理可得过点B与抛物线相切的直线方程为…②

因为，所以由①②解得，

设AB直线方程为，代入整理得

所以，所以得点P坐标为，

所以点P在直线

易知当点P在x轴上时，P到F的距离最小，最小值为.

22．已知函数

（1）若f(x)在[0，2]上是单调函数，求a的值；

（2）已知对∈[1，2]，f(x)≤1均成立，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据求导，令解得，，然后分讨论求解.

（2）解法一：根据“对，均成立”，则成立，得到，则结合（1），时，，在上增，将“对，均成立”转化为求解即可.

【详解】（1）因为

所以，

令解得，.

若即，

则对成立，函数在上单调，符合题目要求；

若即，

当时，，当时，，

函数在上不单调，不符合题目要求；

若即，

当时，，当时，，

函数在上不单调，不符合题目要求.

综上，若在上是单调函数，则取唯一值：.

（2）解法一：已知“对，均成立”，

取得，

则，，则时，，在上增，

“对，均成立”等价于，

，

与取交集，得，

所以的取值范围是

解法二：根据（1），若，则在上单减，

“在区间上，恒成立”等价于，不成立；

若即，则时，，函数在上单减，

在区间上，，“在区间上，恒成立”不成立；

若即，则时，，函数在上单增，

在区间上，，

“在区间上，恒成立” ，

解得，与相交取交集，得；

若即，则时，，时，，

函数在上递增，在上递减，

在区间上，，

“在区间上，恒成立”.

设，

则，在上递增，，

则函数在上递增，，

因此时，均不成立.

综上，所求的取值范围是

【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.