2021学年1 圆周运动学案设计

专题二　圆周运动的临界问题

1．竖直平面内的圆周运动

(1)竖直平面内的圆周运动模型

在竖直平面内做圆周运动的物体，根据运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型。一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力的，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。

(2)三种模型对比

2．水平面内的圆周运动的临界问题

水平面内圆周运动的临界问题，其实就是要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。通常有下面两种情况：

(1)与绳(或面等)的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。

(2)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)。

典型考点一　　　竖直(倾斜)平面内的圆周运动及其临界问题

1．(多选)轻绳一端固定在光滑水平轴O上，另一端系一质量为m的小球，在最低点给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P。下列说法正确的是(　　)

A．小球在最高点时对绳的拉力为零

B．小球在最高点时对绳的拉力大小为mg

C．若增大小球的初速度，则过最高点时球对绳的力一定增大

D．若增大小球的初速度，则在最低点时球对绳的力一定增大

答案　ACD

解析　在最高点小球可能受重力和绳的拉力作用，合力提供圆周运动的向心力，由T＋mg＝m知，速度越大绳的拉力越大，速度越小绳的拉力越小，绳的拉力有最小值0，故速度有最小值，因为小球恰好能通过最高点，故在最高点时的速度为，此时绳的拉力为0，所以A正确，B错误；根据牛顿第二定律，在最高点时有T＋mg＝m，小球初速度增大，则在最高点速度增大，则绳的拉力增大，所以C正确；小球在最低点时，合力提供圆周运动的向心力，有T－mg＝m，增大小球的初速度时，小球所受绳的拉力增大，所以D正确。

2．(多选)当汽车通过圆弧形凸形桥时，下列说法中正确的是(　　)

A．汽车在通过桥顶时，对桥的压力一定小于汽车的重力

B．汽车在通过桥顶时，速度越小，对桥的压力就越小

C．汽车所需的向心力由桥对汽车的支持力来提供

D．汽车通过桥顶时，若汽车的速度v＝(g为重力加速度，R为圆弧形桥面的半径)，则汽车对桥顶的压力为零

答案　AD

解析　汽车过凸形桥时，在桥顶有mg－FN＝m，所以mg>FN，故A正确；由上式可知，汽车通过桥顶时，v越小，FN越大，所以B错误；汽车所需的向心力由重力沿轨道半径方向的分力和桥对汽车的支持力的合力来提供，故C错误；当汽车通过桥顶所受支持力FN＝0时，mg＝m，可得v＝，故D正确。

3. (多选)如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是(　　)

A．v的极小值为

B．v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大

C．当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大

D．当v由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐增大

答案　CD

解析　因为轨道内壁下侧可以提供支持力，则过最高点的最小速度为零，故A错误。当v>，管道上壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得，在最高点有mg＋F＝m，当速度增大时，弹力F增大；当v<，管道下壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得，在最高点有mg－N＝m，速度增大时，弹力减小，速度减小时，弹力增大；故C、D正确，B错误。

4．如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN­v2图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)

A．当地的重力加速度大小为

B．小球的质量为

C．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上

D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a

答案　B

解析　当v2＝b时，FN＝0，此时小球的重力恰好提供圆周运动的向心力，则有mg＝m，解得g＝，故A错误。当v2＝0时，FN＝a，故有FN＝mg＝a，结合A项结论可解出m＝，故B正确。由图像可知，当v2＝c>b时，速度大于杆的弹力为零的临界速度，此时杆的弹力方向向下，故C错误。当v2＝2b时，由F合＝m，故有FN＋mg＝＝＝2a＝2mg，得FN＝mg＝a，故D错误。

5. 在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示。为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮的转动角速度不能超过(　　)

A.g   B.

C.    D.

答案　B

解析　当重物转动到最高点时，对电动机的向上的拉力最大，要使电动机不从地面上跳起，重物对电动机的拉力的最大值为FT＝Mg；对重物来说，随飞轮一起做圆周运动，它的向心力是重力和飞轮对重物的拉力FT′的合力，FT′和FT是一对作用力和反作用力。由牛顿第二定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入数值，解得ω＝ 。所以B正确。

6. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是(　　)

A. rad/s   B. rad/s

C．1.0 rad/s   D．0.5 rad/s

答案　C

解析　当物体运动到最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，

则ω＝＝  rad/s＝1.0 rad/s，故C正确。

7. 杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，g取9.8 m/s2，求：

(1)在最高点水不流出的最小速率；

(2)水在最高点速率v′＝3 m/s时，水对杯底的压力大小。

答案　(1)1.71 m/s　(2)10.1 N

解析　(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即：mg≤m，r＝l，

则所求最小速率：

v0＝＝  m/s≈1.71 m/s。

(2)当水在最高点的速率大于v0时，重力不足以提供向心力，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有：

FN＋mg＝m

即FN＝m－mg＝10.1 N。

由牛顿第三定律知，水对杯底的压力

FN′＝FN＝10.1 N，方向竖直向上。

8．长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，g取10 m/s2。求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向：

(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；

(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。

答案　(1)138 N　方向竖直向上　

(2)10 N　方向竖直向下

解析　(1)设小球受杆的作用力方向向下，则小球在最高点的受力如图所示。

杆的转速为2.0 r/s时，

有ω＝2πn＝4π rad/s

由牛顿第二定律得F＋mg＝mω2L

故小球所受杆的作用力

F＝mω2L－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N≈138 N

即杆对小球提供了138 N的拉力。

由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。

(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2πn′＝π rad/s

同理可得小球所受杆的作用力

F′＝mω′2L－mg＝2×(0.5×π2－10) N≈－10 N。

力F′为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下。

典型考点二　　　水平面内的圆周运动的临界问题

9. 如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是(　　)

A．B对A的摩擦力一定为3μmg

B．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力

C．转台的角速度一定满足：ω≤

D．转台的角速度一定满足：ω≤

答案　C

解析　对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当A要相对于B滑动时B对A的摩擦力才为3μmg，故A错误。A与C转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对A有FfA＝3mω2r，对C有FfC＝mω2·1.5r，由此可知C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误。当C刚要滑动时：μmg＝mω·1.5r，解得ωC＝ ；对A、B整体刚要滑动时：μ(2m＋3m)g＝(2m＋3m)ωr，解得ωAB＝；当A刚要相对于B滑动时：3μmg＝3mωr，解得：ωA＝；由以上可知要想三个物体均不滑动，角速度应满足：ω≤ ，故C正确，D错误。

10．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，细线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动：

(1)当v1＝ 时，求线对小球的拉力大小；

(2)当v2＝ 时，求线对小球的拉力大小。

答案　(1)　(2)2mg

解析　临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0且细线与竖直方向夹角为30°，

如图甲所示，F合＝mgtan30°＝man＝＝，

得v0＝ 。

(1)因为v1<v0，FN≠0，对小球受力分析如图乙所示。

F1sin30°－FNcos30°＝

F1cos30°＋FNsin30°－mg＝0

解得：F1＝。

(2)因v2>v0，小球离开斜面，对小球受力分析如图丙所示。

F2sinα＝

F2cosα－mg＝0

解得：F2＝2mg。

11. 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m的小物体A、B，它们到圆盘转轴的距离分别为rA＝20 cm，rB＝30 cm。A、B与盘面的最大静摩擦力均为重力的(g＝10 m/s2)，试求：

(1)当细线开始出现张力时，圆盘的角速度；

(2)当A开始滑动时，圆盘的角速度；

(3)当A即将滑动时，烧断细线，A、B所处的状态怎样？

答案　(1)3.65 rad/s　(2)4 rad/s　(3)见解析

解析　(1)由于rB＞rA，当圆盘以角速度ω转动时，物体B所需向心力大，设当ω＝ω1，细线开始被拉紧产生张力，因此，对B由向心力公式有kmg＝mωrB

解得ω1＝＝  rad/s≈3.65 rad/s。

(2)当A开始滑动时，对B满足kmg＋F＝mωrB

对A满足kmg－F＝mωrA

联立得ω2＝ ＝  rad/s＝4 rad/s。

(3)当A即将滑动时，将细线烧断，F突然消失，对B来说kmg＜FBn，对A来说kmg＞FAn，由此可知B将做离心运动，A仍随圆盘做匀速圆周运动。

1．(多选)乘坐游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法正确的是(　　)

A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去

B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg

C．人在最低点时处于超重状态

D．人在最低点时对座位的压力大于mg

答案　CD

解析　由圆周运动的临界条件知：当人在最高点v＝时，人对座位和保险带都无作用力；当v＞时，人对座位有压力，当v＞时，压力大于mg，故A、B错误。人在最低点时有：FN－mg＝，FN＞mg，人处于超重状态，故C、D正确。

2. (多选)如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中正确的是(　　)

A．v的值可以小于

B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大

C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大

D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小

答案　ABC

解析　细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A正确。根据F向＝m知，速度增大，向心力增大，故B正确。当v＝时，杆的作用力为零，当v>时，杆的作用力表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C正确。当v<时，杆的作用力表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D错误。

3．如图所示，OO′为竖直转动轴，MN为固定在OO′上的水平光滑杆，有两个质量相同的有孔金属球甲、乙套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，A、B端分别连接甲、乙两球，C端固定在转动轴OO′上，当线拉直时，甲、乙两球到转动轴距离之比为2∶1，当转动角速度逐渐增大时(　　)

A．AC线先断   B．BC线先断

C．两线同时断   D．不能确定哪段线先断

答案　A

解析　根据题意有FACcos∠CAB＝mω2·cos∠CAB，FBCcos∠CBA＝mω2·cos∠CBA，由于>，故FAC>FBC，所以AC线先断，A正确。

4．如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，在滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Ff，则(　　)

A．Ff＝μmg   B．Ff<μmg

C．Ff>μmg   D．无法确定Ff的值

答案　C

解析　设滑块滑到圆弧轨道最低点时速度为v，由FN－mg＝可知，FN>mg，故一定有Ff>μmg，C正确。

5．(多选)如图所示，小物块放于半径为R的半球的顶端，若给小物块一水平的初速度v时小物块对半球刚好无压力，则下列说法正确的是(　　)

A．小物块立即离开球面做平抛运动

B．小物块落地时水平位移为R

C．小物块沿球面运动

D．小物块落地时速度的方向与地面成45°角

答案　AB

解析　小物块在最高点时对半球刚好无压力，表明从最高点开始小物块离开球面做平抛运动，A正确，C错误；由mg＝m知，小物块在最高点的速度大小v＝，又由于R＝gt2，vy＝gt，x＝vt，故x＝R，B正确；设小物块落地时速度的方向与地面的夹角为θ，tanθ＝＝，θ>45°，D错误。

6．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点。如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向。当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则(　　)

A．绳a对小球拉力不变

B．绳a对小球拉力增大

C．小球可能前后摆动

D．小球不可能在竖直平面内做完整的圆周运动

答案　BC

解析　绳b烧断前，小球竖直方向的合力为零，即Fa＝mg，烧断b后，小球在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′＞Fa，A错误，B正确；当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，C正确；当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方的最高点而做完整的圆周运动，D错误。

7. 在光滑水平面上相距20 cm的两点钉上A、B两个钉子，一根长1 m的细绳一端系小球，另一端拴在A钉上，如图所示。已知小球质量为0.4 kg，某时刻小球开始从图示位置以2 m/s的速度做水平匀速圆周运动，若绳所能承受的最大拉力为3.2 N，则从开始运动到绳被拉断历时为(　　)

A．2.4π s  B．1.4π s  C．1.2π s  D．0.9π s

答案　C

解析　当绳子拉力为3.2 N时，由F＝m，可得r＝m＝0.5 m。小球每转半个圆周，其半径就减小0.2 m。由分析知，小球分别以半径为1 m、0.8 m和0.6 m各转过半个圆周后绳子就被拉断了，所以时间为t＝＋＋＝1.2π s，故C正确。

8．如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，AB为半圆形轨道的竖直直径，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，当小球将要从轨道口飞出时，对轨道的压力恰好为零，则小球落地点C距A处多远？

答案　2R

解析　小球在B点飞出时，对轨道压力为零，

由mg＝m，得vB＝，

小球从B点飞出做平抛运动，t＝＝，

水平方向的位移大小即落地点C到A的距离

x＝vBt＝·＝2R。

9．如图所示，小球A质量为m，固定在轻细直杆L的一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动。如果小球经过最高点时，杆对球的拉力大小等于球的重力。重力加速度为g，求：

(1)小球在最高点的速度大小；

(2)当小球经过最低点时速度为，求杆对球作用力大小和向心加速度大小。

答案　(1)　(2)7mg　6g

解析　(1)小球在最高点时，受重力mg和杆对它向下的拉力F1，合力提供向心力，由牛顿第二定律得mg＋F1＝m

依题意F1＝mg

联立解得v1＝。

(2)小球在最低点时，受重力mg和杆对它向上的拉力F2，合力提供向心力，由牛顿第二定律得F2－mg＝m

解得F2＝mg＋m

将v2＝代入解得F2＝7mg

球的向心加速度an＝＝6g。

10．如图所示，在光滑水平面上有质量为m1、m2的两个小球1、2用轻弹簧连接在一起，再用长为L1的细线一端拴住球1，一端拴在O点上，两球都以相同的角速度ω绕O点做匀速圆周运动，保证两球与O点三者始终在同一直线上，若两球之间的距离为L2，试求细线的拉力以及将细线烧断的瞬间两球的加速度。

答案　见解析

解析　以球2为研究对象，球2绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由弹簧的弹力提供，设弹力为F，则有 F＝m2(L1＋L2)ω2；以球1为研究对象，球1绕O点做匀速圆周运动所需的向心力由细线的拉力和弹簧弹力的合力提供，设细线拉力为FT，则有FT－F＝m1L1ω2。由以上两式可解得：FT＝m1L1ω2＋m2(L1＋L2)·ω2。当细线烧断瞬间，细线的拉力FT＝0，而弹簧的弹力仍为F＝m2(L1＋L2)ω2，故球2的加速度a2＝＝(L1＋L2)ω2，方向水平指向O点。球1的加速度a1＝＝－·(L1＋L2)ω2，负号表示a1的方向水平背离O点，与a2的方向相反。

11．如图所示，两绳AC、BC系着一个质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长l＝2 m，两绳都拉直时与竖直轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)

答案　2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s

解析　当BC恰好拉直，但没有拉力存在时，有

FT1cos30°＝mg

FT1sin30°＝mlsin30°ω

解得ω1≈2.40 rad/s

当AC恰好拉直，但没有拉力存在时，有

FT2cos45°＝mg

FT2sin45°＝mlsin30°ω

解得ω2＝3.16 rad/s

所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是

2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。

12. 如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上放着质量均为1 kg的A、B两个物块，物块之间用长为1 m的细线相连，细线刚好伸直且通过转轴中心O，A物块与O点的距离为0.4 m，物块可视为质点。A、B与转盘间的动摩擦因数均为0.1，且认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。

(1)当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，细线上出现拉力？

(2)当转盘以ω1＝1 rad/s的角速度匀速转动时，A、B受到的摩擦力分别是多大？

(3)当转盘至少以多大的角速度匀速转动时，A、B两个物块均会在转盘上滑动？

答案　(1)  rad/s　(2)0.4 N　0.6 N　

(3) rad/s

解析　(1)对B物块，当B所受摩擦力恰好达到最大静摩擦力时，细线上刚好出现拉力，有：μmg＝mωr2

ω0＝＝ rad/s。

(2)ω1<ω0，可以知道A、B所受摩擦力均未达到最大静摩擦力，则：fA＝mωr1＝0.4 N，fB＝mωr2＝0.6 N。

(3)设当A、B所受摩擦力均达到最大静摩擦力时，细线拉力为T，

对A物块：T－μmg＝mωr1

对B物块：T＋μmg＝mωr2

联立计算得出：

ω2＝ ＝ ＝ rad/s。