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所属成套资源：2023版高考物理一轮总复习课件（60份）
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2023版高考物理一轮总复习第十章第2节带电粒子在磁场中的运动课件
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这是一份2023版高考物理一轮总复习第十章第2节带电粒子在磁场中的运动课件，共60页。PPT课件主要包含了洛伦兹力的大小，qvB，洛伦兹力的方向，反方向，图10-2-1，B和v，匀速直线，匀速圆周，F＝qvB，mvqB等内容，欢迎下载使用。
一、洛伦兹力及其特点1.定义：运动电荷在磁场中受到的力，叫做洛伦兹力.
(1)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向垂直时，电荷所受洛伦兹力 F洛＝____________.(2)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向平行时，电荷所受洛伦兹力 F洛＝________.(3)v＝0 时，洛伦兹力 F＝________.
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向电流的方向，即正电荷运动的方向同向或负电荷运动的________.(2)方向特点：F洛⊥B，F洛⊥v，即 F洛垂直于_______
决定的平面.如图 10-2-1 所示：v 与 B 垂直 甲
二、带电粒子在匀强磁场中的运动1.速度与磁场平行时：带电粒子不受洛伦兹力作用，
在匀强磁场中做__________运动.
2.速度与磁场垂直时：带电粒子受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做________运动.
3.半径和周期公式：(v⊥B).
(1)基本公式：________.
(2)导出公式：半径 R＝________；周期 T＝________.
【基础自测】1.判断下列题目的正误.(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作
)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的
，说明带电粒子在匀强磁场中的
运动周期 T 与 v 成反比.(
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动
半径与带电粒子的比荷有关.(
(5)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.初速度为 v0 的电子，沿平行于通电长直导线的方向开始运动，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图
10-2-2 所示，则(
A.电子将向右偏转，速率不变B.电子将向左偏转，速率改变C.电子将向左偏转，速率不变
D.电子将向右偏转，速率改变答案：A
3.(多选，2021 年广东珠海模拟)核聚变具有极高效率、原料丰富以及安全清洁等优势，中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导非圆界面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成了世界上第一个全超导核聚变“人造太阳”实验装置.将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的运动，如图 10-2-3 所示，磁场水平向右分布在空间中，所有粒子的质量均为 m，电荷量均为 q，且粒子的速度在纸面内，忽略粒子重力的影响，
A.甲粒子受到洛伦兹力大小为 qvB，且方向水平向右B.乙粒子受到洛伦兹力大小为 0，做匀速直线运动
D.所有粒子运动过程中动能不变答案：BD
4.(多选)质量和电量都相等的带电粒子 M 和 N，以不同的速率经小孔 S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图 10-2-4 中
虚线所示，下列表述正确的是(A.M 带负电，N 带正电
B.M 的速度大于 N 的速度C.洛伦兹力对 M、N 做正功D.M 的运行时间大于 N 的运行时间
洛伦兹力永不做功，C 错误；由 T＝
解析：由左手定则知 M 带负电，N 带正电，A 正确；
得，M 的速度比 N 大，B 正确；
周期相同，在磁场中均运动半个周期，所以时间相等，D错误.答案：AB
热点 1 洛伦兹力的特点[热点归纳]
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.
(4)根据左手定则判断洛伦兹力方向，但一定先区分
(5)洛伦兹力一定不做功.
2.洛伦兹力与电场力的比较：
3.洛伦兹力与安培力的联系及区别.
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.
考向 1 洛伦兹力的方向【典题 1】四根等长的导线固定在正方体的四条沿 x轴方向的棱上，并通以等大的电流，方向如图 10-2-5 所示.正方体的中心 O 处有一粒子源在不断地沿 x 轴负方向喷射电子，则电子刚被喷射
出时受到的洛伦兹力方向为(A.沿 y 轴负方向B.沿 y 轴正方向C.沿 z 轴正方向D.沿 z 轴负方向
解析：沿 x 轴负方向观察，根据右手螺旋定则，判断出四根导线在 O 点产生的合磁场方向沿 z 轴负方向，电子初速度方向沿 x 轴负方向，即垂直纸面向里，根据左手定则，判断出洛伦兹力方向沿 y 轴正方向，即 B 正确.
考向 2 洛伦兹力与电场力的比较【典题 2】(多选，2019 年南昌模拟)如图 10-2-6 所示，带电小球 a 以一定的初速度 v0 竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 ha；带电小球 b 在水平方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大高度为 hb；带电小球 c 在水平方向的匀强电场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大高度为 hc，不计空气阻力，三个小球的质
A.它们上升的最大高度关系为 ha＝hb＝hcB.它们上升的最大高度关系为 hb
向上抛出，在竖直方向的分运动为竖直上抛运动，它们上升的最大高度关系为 ha＝hc，带电小球 b 在水平方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，受到与速度垂直的洛伦兹力作用，上升的最大高度为 hb 一定减小，即它们上升的最大高度关系为 hb
考向 3 洛伦兹力作用下的动态分析问题【典题 3】如图 10-2-7 所示，一质量为 m、带电量为＋q 的小物块静止放在绝缘水平地面上，地面上方存在垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场，某时刻物块获得一初速度 v0 开始向右运动，运动距离 x 后停止.已知物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为 g，此过程
中物块与地面之间由于摩擦产生的热量为(图 10-2-7
解析：物块受到竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、支持力，还受到水平向左的摩擦力，物体运动过程中
热点 2 带电粒子在磁场中的运动[热点归纳]
1.匀速圆周运动的规律.
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感
线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动.
2.粒子在磁场中做圆周运动的规律.
考向 1 直线边界磁场带电粒子在直线边界磁场中的运动(进、出磁场具有对称性，如图 10-2-8 所示).
【典题 4】(多选，2021 年广东潮州模拟)如图 10-2-9所示，A 粒子和 B 粒子先后以同样大小的速度从宽度为 d、方向垂直纸面向外有界匀强磁场的边界上的 O 点分别以与边界成37°和53°方向射入磁场，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，又都恰好垂直另一边界飞出，若粒子重力不计，则下
A.A、B 两粒子均带正电B.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是 4∶3
C.A、B 两粒子比荷之比是 4∶3
D.A 、B 两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比 是53∶37
解析：作出粒子运动轨迹如图 D42 所示，图 D42根据左手定则可判断粒子带正电，A 正确；由几何关
，所以 A、B 两粒子在磁场中做圆周运动
【迁移拓展 1】(多选，2020 年天津卷)如图 10-2-10所示，在 Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场.一带电粒子从 y 轴上的 M点射入磁场，速度方向与 y 轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在 N 点(图中未画出)垂直穿过 x 轴.已知 OM＝a，粒子电荷量为 q，质量为 m，重力不计.则
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为 a
考向 2 三角形磁场【典题 5】(多选，2021 年广东广州模拟)如图 10-2-11，在直角三角形 abc 区域内有磁感应强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场.直角边 ab 上的 O 点有一粒子发射源，该发射源可以沿纸面与 ab 边垂直的方向发射速率不同的带电粒子.已知所有粒子在磁场中运动的时间均相同，粒子比荷为 k，Oa 长为 d，Ob 长为 3d，θ＝30°，不计粒子的
重力以及粒子间的相互作用，则(
D.负电粒子运动的最大速度为 kBd
解析：所有粒子在磁场中运动的时间均相同，所以粒
正粒子向上偏转，负粒子向下偏转，根据几何关系可知，当轨迹与斜边相切时，半径最大，速度最大，对正粒子
最大速度 vm＝kBd，D 正确.
考向 3 多边形磁场【典题 6】(多选)如图 10-2-12 所示，正方形 abcd 区域内有沿 ab 方向的匀强电场(图中未画出)，一粒子(不计受到的重力)以速率 v0 从 ab 边的中点平行 ad 方向射入电场，恰好从 c 点离开电场.若把电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，粒子也恰好从 c 点离开
磁场，则下列说法正确的是(
A.匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁
B. 粒子离开电场时和离开磁场时的速度大小之比为 ∶1C.粒子在电场和磁场中运动的加速度大小之比为 1∶5D.粒子离开电场时和离开磁场时速度偏向角的正切值之比为 3∶4解析：设边长为 2L，粒子在电场中运动 Eq＝ma，L
【迁移拓展 2】(2021 年广东汕头模拟)在一正方形区域里有垂直纸面向里的匀强磁场，现有 a、b、c 三个比荷相同的带电粒子(不计重力)依次从 P 点沿 PQ 方向射入磁场，其运动轨迹分别如图 10-2-13 所示，带电粒子 a 从 PM边中点 O 射出，b 从 M 点射出，c 从 N 点射出.则 a、b、c
三个粒子在磁场中运动的(A.速率之比为 1∶2∶3B.周期之比为 1∶1∶2C.时间之比为 2∶2∶1
D.动量大小之比为 1∶2∶4
解析：设正方形的边长为 L，根据几何关系可知粒子
运动的半径分别为 ra＝
，rc＝L，由洛伦兹力提
rb∶rc＝1∶2∶4，根据动量表达式 p＝mv，因为粒子的质量关系不确定，所以动量的大小关系也不能确定，AD 错
，可知粒子运动的周期相等，则有
考向 4 圆形边界磁场
1.圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图 10-2-14 甲所示.
2.若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示.
3. 若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半
径，则有如下两个结论：
a.当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙所示.
b.当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁所示.
【典题 7】(2021 年北京质检)如图 10-2-15 所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁场方向垂直纸面向外，一个质量为 m，电荷量为 q，初速度大小为 v 的带电粒子沿磁场区域的直径方向从 P 点射入磁场，从 Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力.根据题中信
A.可以判定粒子的电性
B.可求得粒子在磁场中运动的轨迹长度C.可求得磁场的磁感应强度
D.可求得粒子在磁场中运动的时间
解析：根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A 正确；由洛伦兹力提供向心力可得 qvB＝
由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运
强度，不可求得粒子在磁场中运动的轨迹长度，B 错误；
由于不知道粒子的半径，故不可求得磁场的磁感应强度，
场中运动的时间，D 错误.答案：A
【迁移拓展 3】(2021 年辽宁丹东模拟)如图 10-2-16 所示，坐标平面内有边界过 P(0，L)点和坐标原点 O 的圆形匀强磁场区域，方向垂直于坐标平面，一质量为 m、电荷量为 e 的电子(不计重力)，从 P 点以初速度 v0 平行于 x 轴正方向射入磁场区域，从 x 轴上的 Q 点射出磁场区域，此时速度与 x 轴正方向的夹角为 60° ，下列说法正确的是
图 10-2-16A.磁场方向垂直于坐标平面向外
B.磁场的磁感应强度 B＝
C.圆形磁场区域的半径为 2L
解析：粒子运动的轨迹如图 D43，图 D43根据左手定则可知磁场垂直纸面向里，A 错误；根据几何知识可知，粒子的轨道半径为 r＝2L，又洛伦兹力提
根据几何知识可知，由于QOP＝90°，所以 PQ 为圆形磁场区域的直径，所以 2R＝r，则磁场区域的半径 R＝L，C错误；由题意和上图的几何关系可得，过 P、O、Q 三点的圆的圆心在PQ 连线的中点，所以x 轴坐标为 x＝PO1sin 60°
“数学圆”模型在电磁学中的应用模型一 “放缩圆”模型的应用
【典题 8】(2020 年新课标Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，其边界如图 10-2-17距离等于半圆的半径.一束质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子，在纸面内从 c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长
的粒子，其运动时间为(
7πmA.6qB4πmC.3qB
5πm4qB3πm2qB
间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长.如图 D44 所示，采用放缩圆解决该问题，粒子垂直 ac 射入磁场，则轨迹圆心必在 ac 直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大.当半径 r≤0.5R 和 r≥1.5R 时，粒子分别从
bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当 0.5R
【典题 9】如图 10-2-18 所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，边界跟 y 轴相切于坐标原点 O.O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为 v 的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍.已知该带电粒子的质量为 m、电荷量为 q，不考虑带电粒子的重力.(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角.
解：(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”(如图 D45甲所示)，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大(如图乙所示)，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的
弦长等于圆形磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，
模型三 “平移圆”模型的应用
【典题 10】如图 10-2-19 所示，边长为 L 的正方形有界匀强磁场 ABCD，带电粒子从 A 点沿 AB 方向射入磁场，恰好从 C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从 AD 的中点 P 垂直 AD 射入磁场，从 DC 边的 M 点飞出磁场(M 点未画出).设粒子从 A 点运动到 C 点所用的时间为 t1，由 P点运动到 M 点所用时间为 t2(带电粒子重力不计)，则 t1∶t2
解析：画出粒子从 A 点射入磁场到从 C 点射出磁场的轨迹如图 D46，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的
半径为 R＝L，从C 点射出的粒子运动时间为 t1＝
一、洛伦兹力及其特点1.定义：运动电荷在磁场中受到的力，叫做洛伦兹力.
(1)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向垂直时，电荷所受洛伦兹力 F洛＝____________.(2)当运动电荷的速度方向与磁感应强度方向平行时，电荷所受洛伦兹力 F洛＝________.(3)v＝0 时，洛伦兹力 F＝________.
(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向电流的方向，即正电荷运动的方向同向或负电荷运动的________.(2)方向特点：F洛⊥B，F洛⊥v，即 F洛垂直于_______
决定的平面.如图 10-2-1 所示：v 与 B 垂直 甲
二、带电粒子在匀强磁场中的运动1.速度与磁场平行时：带电粒子不受洛伦兹力作用，
在匀强磁场中做__________运动.
2.速度与磁场垂直时：带电粒子受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度 v 做________运动.
3.半径和周期公式：(v⊥B).
(1)基本公式：________.
(2)导出公式：半径 R＝________；周期 T＝________.
【基础自测】1.判断下列题目的正误.(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作
)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的
，说明带电粒子在匀强磁场中的
运动周期 T 与 v 成反比.(
(4)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动
半径与带电粒子的比荷有关.(
(5)荷兰物理学家洛伦兹提出磁场对运动电荷有作用
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.初速度为 v0 的电子，沿平行于通电长直导线的方向开始运动，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图
10-2-2 所示，则(
A.电子将向右偏转，速率不变B.电子将向左偏转，速率改变C.电子将向左偏转，速率不变
D.电子将向右偏转，速率改变答案：A
3.(多选，2021 年广东珠海模拟)核聚变具有极高效率、原料丰富以及安全清洁等优势，中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导非圆界面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成了世界上第一个全超导核聚变“人造太阳”实验装置.将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的运动，如图 10-2-3 所示，磁场水平向右分布在空间中，所有粒子的质量均为 m，电荷量均为 q，且粒子的速度在纸面内，忽略粒子重力的影响，
A.甲粒子受到洛伦兹力大小为 qvB，且方向水平向右B.乙粒子受到洛伦兹力大小为 0，做匀速直线运动
D.所有粒子运动过程中动能不变答案：BD
4.(多选)质量和电量都相等的带电粒子 M 和 N，以不同的速率经小孔 S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图 10-2-4 中
虚线所示，下列表述正确的是(A.M 带负电，N 带正电
B.M 的速度大于 N 的速度C.洛伦兹力对 M、N 做正功D.M 的运行时间大于 N 的运行时间
洛伦兹力永不做功，C 错误；由 T＝
解析：由左手定则知 M 带负电，N 带正电，A 正确；
得，M 的速度比 N 大，B 正确；
周期相同，在磁场中均运动半个周期，所以时间相等，D错误.答案：AB
热点 1 洛伦兹力的特点[热点归纳]
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用.
(4)根据左手定则判断洛伦兹力方向，但一定先区分
(5)洛伦兹力一定不做功.
2.洛伦兹力与电场力的比较：
3.洛伦兹力与安培力的联系及区别.
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功.
考向 1 洛伦兹力的方向【典题 1】四根等长的导线固定在正方体的四条沿 x轴方向的棱上，并通以等大的电流，方向如图 10-2-5 所示.正方体的中心 O 处有一粒子源在不断地沿 x 轴负方向喷射电子，则电子刚被喷射
出时受到的洛伦兹力方向为(A.沿 y 轴负方向B.沿 y 轴正方向C.沿 z 轴正方向D.沿 z 轴负方向
解析：沿 x 轴负方向观察，根据右手螺旋定则，判断出四根导线在 O 点产生的合磁场方向沿 z 轴负方向，电子初速度方向沿 x 轴负方向，即垂直纸面向里，根据左手定则，判断出洛伦兹力方向沿 y 轴正方向，即 B 正确.
考向 2 洛伦兹力与电场力的比较【典题 2】(多选，2019 年南昌模拟)如图 10-2-6 所示，带电小球 a 以一定的初速度 v0 竖直向上抛出，能够达到的最大高度为 ha；带电小球 b 在水平方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大高度为 hb；带电小球 c 在水平方向的匀强电场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，上升的最大高度为 hc，不计空气阻力，三个小球的质
A.它们上升的最大高度关系为 ha＝hb＝hcB.它们上升的最大高度关系为 hb
向上抛出，在竖直方向的分运动为竖直上抛运动，它们上升的最大高度关系为 ha＝hc，带电小球 b 在水平方向的匀强磁场以相同的初速度 v0 竖直向上抛出，受到与速度垂直的洛伦兹力作用，上升的最大高度为 hb 一定减小，即它们上升的最大高度关系为 hb
考向 3 洛伦兹力作用下的动态分析问题【典题 3】如图 10-2-7 所示，一质量为 m、带电量为＋q 的小物块静止放在绝缘水平地面上，地面上方存在垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场，某时刻物块获得一初速度 v0 开始向右运动，运动距离 x 后停止.已知物块与水平面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为 g，此过程
中物块与地面之间由于摩擦产生的热量为(图 10-2-7
解析：物块受到竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、支持力，还受到水平向左的摩擦力，物体运动过程中
热点 2 带电粒子在磁场中的运动[热点归纳]
1.匀速圆周运动的规律.
若 v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感
线的平面内以入射速度 v 做匀速圆周运动.
2.粒子在磁场中做圆周运动的规律.
考向 1 直线边界磁场带电粒子在直线边界磁场中的运动(进、出磁场具有对称性，如图 10-2-8 所示).
【典题 4】(多选，2021 年广东潮州模拟)如图 10-2-9所示，A 粒子和 B 粒子先后以同样大小的速度从宽度为 d、方向垂直纸面向外有界匀强磁场的边界上的 O 点分别以与边界成37°和53°方向射入磁场，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，又都恰好垂直另一边界飞出，若粒子重力不计，则下
A.A、B 两粒子均带正电B.A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是 4∶3
C.A、B 两粒子比荷之比是 4∶3
D.A 、B 两粒子在磁场中做圆周运动的时间之比 是53∶37
解析：作出粒子运动轨迹如图 D42 所示，图 D42根据左手定则可判断粒子带正电，A 正确；由几何关
，所以 A、B 两粒子在磁场中做圆周运动
【迁移拓展 1】(多选，2020 年天津卷)如图 10-2-10所示，在 Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B 的匀强磁场.一带电粒子从 y 轴上的 M点射入磁场，速度方向与 y 轴正方向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在 N 点(图中未画出)垂直穿过 x 轴.已知 OM＝a，粒子电荷量为 q，质量为 m，重力不计.则
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为 a
考向 2 三角形磁场【典题 5】(多选，2021 年广东广州模拟)如图 10-2-11，在直角三角形 abc 区域内有磁感应强度为 B、方向垂直纸面向里的匀强磁场.直角边 ab 上的 O 点有一粒子发射源，该发射源可以沿纸面与 ab 边垂直的方向发射速率不同的带电粒子.已知所有粒子在磁场中运动的时间均相同，粒子比荷为 k，Oa 长为 d，Ob 长为 3d，θ＝30°，不计粒子的
重力以及粒子间的相互作用，则(
D.负电粒子运动的最大速度为 kBd
解析：所有粒子在磁场中运动的时间均相同，所以粒
正粒子向上偏转，负粒子向下偏转，根据几何关系可知，当轨迹与斜边相切时，半径最大，速度最大，对正粒子
最大速度 vm＝kBd，D 正确.
考向 3 多边形磁场【典题 6】(多选)如图 10-2-12 所示，正方形 abcd 区域内有沿 ab 方向的匀强电场(图中未画出)，一粒子(不计受到的重力)以速率 v0 从 ab 边的中点平行 ad 方向射入电场，恰好从 c 点离开电场.若把电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，粒子也恰好从 c 点离开
磁场，则下列说法正确的是(
A.匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁
B. 粒子离开电场时和离开磁场时的速度大小之比为 ∶1C.粒子在电场和磁场中运动的加速度大小之比为 1∶5D.粒子离开电场时和离开磁场时速度偏向角的正切值之比为 3∶4解析：设边长为 2L，粒子在电场中运动 Eq＝ma，L
【迁移拓展 2】(2021 年广东汕头模拟)在一正方形区域里有垂直纸面向里的匀强磁场，现有 a、b、c 三个比荷相同的带电粒子(不计重力)依次从 P 点沿 PQ 方向射入磁场，其运动轨迹分别如图 10-2-13 所示，带电粒子 a 从 PM边中点 O 射出，b 从 M 点射出，c 从 N 点射出.则 a、b、c
三个粒子在磁场中运动的(A.速率之比为 1∶2∶3B.周期之比为 1∶1∶2C.时间之比为 2∶2∶1
D.动量大小之比为 1∶2∶4
解析：设正方形的边长为 L，根据几何关系可知粒子
运动的半径分别为 ra＝
，rc＝L，由洛伦兹力提
rb∶rc＝1∶2∶4，根据动量表达式 p＝mv，因为粒子的质量关系不确定，所以动量的大小关系也不能确定，AD 错
，可知粒子运动的周期相等，则有
考向 4 圆形边界磁场
1.圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图 10-2-14 甲所示.
2.若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙所示.
3. 若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半
径，则有如下两个结论：
a.当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙所示.
b.当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁所示.
【典题 7】(2021 年北京质检)如图 10-2-15 所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁场方向垂直纸面向外，一个质量为 m，电荷量为 q，初速度大小为 v 的带电粒子沿磁场区域的直径方向从 P 点射入磁场，从 Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略重力及粒子间的相互作用力.根据题中信
A.可以判定粒子的电性
B.可求得粒子在磁场中运动的轨迹长度C.可求得磁场的磁感应强度
D.可求得粒子在磁场中运动的时间
解析：根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A 正确；由洛伦兹力提供向心力可得 qvB＝
由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运
强度，不可求得粒子在磁场中运动的轨迹长度，B 错误；
由于不知道粒子的半径，故不可求得磁场的磁感应强度，
场中运动的时间，D 错误.答案：A
【迁移拓展 3】(2021 年辽宁丹东模拟)如图 10-2-16 所示，坐标平面内有边界过 P(0，L)点和坐标原点 O 的圆形匀强磁场区域，方向垂直于坐标平面，一质量为 m、电荷量为 e 的电子(不计重力)，从 P 点以初速度 v0 平行于 x 轴正方向射入磁场区域，从 x 轴上的 Q 点射出磁场区域，此时速度与 x 轴正方向的夹角为 60° ，下列说法正确的是
图 10-2-16A.磁场方向垂直于坐标平面向外
B.磁场的磁感应强度 B＝
C.圆形磁场区域的半径为 2L
解析：粒子运动的轨迹如图 D43，图 D43根据左手定则可知磁场垂直纸面向里，A 错误；根据几何知识可知，粒子的轨道半径为 r＝2L，又洛伦兹力提
根据几何知识可知，由于QOP＝90°，所以 PQ 为圆形磁场区域的直径，所以 2R＝r，则磁场区域的半径 R＝L，C错误；由题意和上图的几何关系可得，过 P、O、Q 三点的圆的圆心在PQ 连线的中点，所以x 轴坐标为 x＝PO1sin 60°
“数学圆”模型在电磁学中的应用模型一 “放缩圆”模型的应用
【典题 8】(2020 年新课标Ⅰ卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，其边界如图 10-2-17距离等于半圆的半径.一束质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子，在纸面内从 c 点垂直于 ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长
的粒子，其运动时间为(
7πmA.6qB4πmC.3qB
5πm4qB3πm2qB
间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长.如图 D44 所示，采用放缩圆解决该问题，粒子垂直 ac 射入磁场，则轨迹圆心必在 ac 直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大.当半径 r≤0.5R 和 r≥1.5R 时，粒子分别从
bd 区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期；当 0.5R
【典题 9】如图 10-2-18 所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里，边界跟 y 轴相切于坐标原点 O.O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为 v 的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍.已知该带电粒子的质量为 m、电荷量为 q，不考虑带电粒子的重力.(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角.
解：(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”(如图 D45甲所示)，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大(如图乙所示)，偏转角越大则运动时间越长，当粒子的轨迹圆的
弦长等于圆形磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，
模型三 “平移圆”模型的应用
【典题 10】如图 10-2-19 所示，边长为 L 的正方形有界匀强磁场 ABCD，带电粒子从 A 点沿 AB 方向射入磁场，恰好从 C 点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从 AD 的中点 P 垂直 AD 射入磁场，从 DC 边的 M 点飞出磁场(M 点未画出).设粒子从 A 点运动到 C 点所用的时间为 t1，由 P点运动到 M 点所用时间为 t2(带电粒子重力不计)，则 t1∶t2
解析：画出粒子从 A 点射入磁场到从 C 点射出磁场的轨迹如图 D46，并将该轨迹向下平移，粒子做圆周运动的
半径为 R＝L，从C 点射出的粒子运动时间为 t1＝
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