2023年高考数学一轮复习课时规范练61古典概型与几何概型含解析新人教A版理

课时规范练61　古典概型与几何概型

基础巩固组

1.(2021山西太原二模)从1,2,3,4,5这5个数中随机抽取2个数,分别记为m,n,则为整数的概率为(　　)

A. B. C. D.

2.(2021全国甲,理10)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　　)

A. B. C. D.

3.在区间[-1,1]内随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1相交的概率为(　　)

A. B. C. D.

4.(2021吉林高三月考)若数列{an}满足a1=1,a2=1,an+2=an+an+1,则称数列{an}为斐波那契数列.斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案.作图规则是在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为的扇形,连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,如图所示的5个正方形的边长分别为a1,a2,…,a5,在长方形ABCD内任取一点,则该点不在任何一个扇形内的概率为(　　)

A.1- B.1-

C.1- D.1-

5.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为(　　)

A. B. C. D.

6.(2021湖北武汉一模)从3双不同的鞋子中随机任取3只,则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是(　　)

A. B. C. D.

7.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量=(a,4b),=(4a,b),则≥4π2的概率为　　　　. 

8.(2021河南焦作三模)某中学为了加强艺术教育,促进学生全面发展,要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课,某班有50名学生,选择音乐的有21人,选择美术的有39人,从全班学生中随机抽取一人,那么这个人两种兴趣班都选择的概率是　　　　　. 

综合提升组

9.圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对,则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为(　　)

A. B.

C. D.

10.(2021山东聊城三模)在某次脱贫攻坚表彰会上,共有36人受到表彰,其中男性多于女性,现从中随机选出2人作为代表上台领奖,若选出的两人性别相同的概率为,则受表彰人员中男性人数为(　　)

A.15 B.18

C.21 D.15或21

11.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈上随机取1个实数,则使得[log2x]为偶数的概率为　　　　　. 

12.一个不透明的盒子中装有4个完全相同的小球,球上分别编有数字1,2,3,4.

(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率;

(2)若先从盒中随机取一个球,该球的编号为a,将球放回盒中,然后再从盒中随机取一个球,该球的编号为b.

①求使得函数f(x)=asinx+bcosx的最大值不大于5的概率;

②求使得向量m=(2a-6,4)与n=(3-2b,-1)夹角为钝角的概率.

创新应用组

13.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体,甲随机选择此正八面体的三个顶点构成三角形,乙随机选择此正八面体三个面的中心构成三角形,且甲、乙的选择互不影响,则下列选项错误的是(　　)

A.甲选择的三个点构成正三角形的概率为

B.甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为

C.乙选择的三个点构成正三角形的概率为

D.乙选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为

答案：

课时规范练

1.B　解析:由题意,基本事件的总数为=20,为整数包含的基本事件(m,n)有5个,分别为(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(4,2),则为整数的概率为P=

2.C　解析:将4个1和2个0随机排成一行的总的排法为=15种,其中2个0不相邻的排法为=10种,所以2个0不相邻的概率为

3.C　解析:因为圆心(0,0),半径r=1,直线与圆相交,所以圆心到直线y=k(x+3)的距离d=1,解得-k,所以所求的概率为,故选C.

4.D　解析:由题意可得,数列{an}的前5项依次为1,1,2,3,5,

∴长方形ABCD的面积为5×8=40.4个扇形的面积之和为(12+22+32+52)=

∴所求概率P=1-故选D.

5.B　解析:由题意可知,第二节课的上课时间为8:40~9:20,他在8:50~9:30之间随机到达教室,时长40分钟.若听第二节课的时间不少于20分钟,则需在8:50~9:00之间到达教室,时长10分钟.所以听第二节课的时间不少于20分钟的概率为,故选B.

6.C　解析:从3双不同的鞋子中随机任取3只,基本事件总数n==20,

这3只鞋子中有两只可以配成一双包含的基本事件个数m==12,

则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率P=故选C.

7.1-　解析:在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,因为=(a,4b),=(4a,b),则=4a2+4b2.因为4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外及圆上,且在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,所以4π2的概率为P==1-

8　解析:由题意,两种兴趣班都选择的学生人数为21+39-50=10,

从全班学生中随机抽取一人,这个人两种兴趣班都选择的概率P=

9.C　解析:依题有试验的全部结果构成以1为边长的正方形,其面积为1.因为x,y能与1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形知识得构成如图阴影部分,其面积为,由几何概型概率计算公式得,解得π=

10.C　解析:设男性有x人,则女性有36-x人.∵男性多于女性,∴x>36-x,即x>18.

∵选出的两人性别相同的概率为,,即x2-36x+

315=0,

∴x=21或x=15(舍去),∴男性有21人.故选C.

11　解析:若x,则log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]为偶数,则log2x∈[-2,-1).所以x,故所求概率P=

12.解:(1)逐个不放回取球两次,共有4×3=12种,分别为(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的有(2,1),(2,4),(4,2),共有3种,故第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率为

(2)先从盒中随机取一个球,该球的编号为a,将球放回盒中,然后再从盒中随机取一个球,该球的编号为b,共有4×4=16种,分别为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3).

①∵函数f(x)=asinx+bcosx=sin(x+θ),其中tanθ=,

∴函数f(x)=asinx+bcosx的最大值为,

5,

即a2+b2≤25,∵只有42+42>25,其他均不大于25,

∴函数f(x)=asinx+bcosx的最大值不大于5的概率P=1-

②∵向量m=(2a-6,4)与n=(3-2b,-1)夹角为钝角,

∴(2a-6)(3-2b)+4×(-1)<0,

即(a-3)(3-2b)<2,

共有(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(3,4),(4,4),共11种,故向量m=(2a-6,4)与n=(3-2b,-1)夹角为钝角的概率为

13.C　解析:甲随机选择的情况有=20种,乙随机选择的情况有=56种.

对于A,甲选择的三个点构成正三角形,

甲从上、下两个点中选一个,从中间四个点中选相邻两个,共有=8种,

故甲选择的三个点构成正三角形的概率为,故选项A正确.

对于B,甲选择的三个点构成等腰直角三角形,有三种情况:

①上、下两点都选,中间四个点中选一个,共有=4种;

②上、下两点任选一个,中间四个点中选相对的两个点,共有=4种;

③中间四个点中选三个点,共有=4种.

故共有4+4+4=12种,所以甲选择的三个点构成等腰直角三角形的概率为,故选项B正确.

对于C,乙选择的三个点构成正三角形,当从上面四个面的中心中选一个点时,只能从下面四个面的中心选相对的两个点,当从下面四个面的中心中选一个点时,只能从上面四个面的中心选相对的两个点,共有=8种,

所以乙选择的三个点构成正三角形的概率为,故选项C错误.

对于D,选择的三个点构成等腰直角三角形共有6=24种,概率为,故选项D正确.故选C.