广西专用高考数学一轮复习考点规范练61随机事件的概率含解析新人教A版理

考点规范练61　随机事件的概率

基础巩固

1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是(　　)

A.事件A发生的概率等于 B.事件A发生的概率等于

C.事件A是不可能事件 D.事件A是必然事件

答案:D

解析:因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.

2.(2020山东济南期末)2020年起,山东省高考实行新方案,新高考规定:语文、数学、英语是必考科目,考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目,然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案,则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为(　　)

A.相互独立事件 B.对立事件

C.不是互斥事件 D.互斥事件但不是对立事件

答案:D

解析:该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生,但能同时不发生,

因此该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件.

故选D.

3.(2020广东广州模拟)某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动,奖项设置一等奖、二等奖、三等奖,其他都是幸运奖.设事件A={抽到一等奖},事件B={抽到二等奖},事件C={抽到三等奖},且已知P(A)=0.1,P(B)=0.25,P(C)=0.4,则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为(　　)

A.0.35 B.0.25 C.0.65 D.0.6

答案:C

解析:设事件D={抽到幸运奖},

则由题意知事件A,B,C,D互为互斥事件.

记事件M={抽到三等奖或幸运奖},

P(A)=0.1,P(B)=0.25,P(C)=0.4,

则P(M)=1-P(A)-P(B)=1-0.1-0.25=0.65.

故选C.

4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为(　　)

A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8

答案:B

解析:因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.

5.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　　. 

答案:

解析:因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为

6.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　　. 

答案:0.98

解析:由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.

7.(2020江苏启东模拟)袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为,取到黑球或黄球的概率是,取到黄球或绿球的概率是,则任取一球取到黄球的概率为　　　　. 

答案:

解析:由题意得袋中有红球12=3个,

有黑球或黄球12=5个,

有黄球或绿球12=6个,

因此黄球个数为(5+6)-(12-3)=2,

故任取一球取到黄球的概率为P=

8.(2020广西南宁期末)在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:

(1)x的值;

(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;

(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.

解:(1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90),[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件.

由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,

由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,

因此x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.

(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A∪B),

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.

(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P()=1-P(E)=1-0.07=0.93.

9.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:

(1)P(A),P(B),P(C);

(2)1张奖券的中奖概率;

(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.

解:(1)由题意可知P(A)=,

P(B)=,

P(C)=

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.

设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.

∵A,B,C两两互斥,

∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=

故1张奖券的中奖概率为

(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,

故P(N)=1-P(A∪B)=1-,

即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为

能力提升

10.(2020山东淄博期末)当调查敏感问题时,一般难以得到被调查者的合作,所得结果可能不真实,此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.

为调查某大学学生谈恋爱的比例.提出问题如下:

问题1:你现在谈恋爱吗?问题2:你学籍号尾数是偶数吗?

设计了一副纸牌共100张,其中75张标有数字1,25张标有数字2.随机调查了该校1 000名学生,每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1;若抽到标有数字2的纸牌回答问题2,回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是”,估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是(　　)

A.10% B.20% C.25% D.45%

答案:A

解析:由题意得回答问题2的学生有1000=250人,

故回答问题2的学生有250=125人回答是,

则回答问题1的学生有750人,其中200-125=75人回答是,

因此该大学学生现在谈恋爱的百分比是100%=10%.

故选A.

11.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示.

(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;

(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.

解:(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率为

(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为

12.生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼,常用一种称为“标记后再捕”的方法.先从湖中随意捕捉一定数量的鱼,例如1 000条鱼,在每条鱼的身上作记号后又放回湖中;隔了一定时间后,再从湖中捕捉一定数量的鱼,例如300条鱼,查看其中有多少条有标记的鱼,假设有20条有标记,估计湖中鱼的总数.

解:设湖中鱼大约有x条,

则有,得x=15000条,

经检验x=15000是方程的解.

答:湖中鱼大约有15000条.

13.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;

(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)

解:(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50,故所求概率为=0.025.

(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.

没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).

由古典概型概率公式得P(B)==0.814.

(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1.

高考预测

14.(2020海南模拟)某中学高一年级有1 000名学生,他们选考科目的情况如表所示:

从这1 000名学生中随机抽取1人,分别设:

事件A=“该生选了物理”;事件B=“该生选了化学”;事件C=“该生选了生物”;事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.

(1)求P(B),P(DEF).

(2)求P(C∪E),P(B∪F).

(3)事件A与D是否相互独立?请说明理由.

解:(1)事件B=“该生选了化学”,

由题意得1000名学生中选化学的学生有300+100+100=500(名),故P(B)=

事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.

由题意得1000名学生中同时选思想政治、历史、地理的学生有200(名),故P(DEF)=

(2)事件C=“该生选了生物”,事件E=“该生选了历史”,

由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有300+200+200+100=800(名),故P(C∪E)=

事件B=“该生选了化学”,事件F=“该生选了地理”,

由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有300+200+100+200+100+100=1000(名),

故P(B∪F)==1.

(3)事件A=“该生选了物理”,事件D=“该生选了思想政治”,事件A与D相互独立.理由如下:

由题意得选择物理与否与选择思想政治无关,

选择思想政治与否与选择物理无关,

故事件A与D相互独立.