知识点30 直角三角形、勾股定理2018--1
展开一、选择题
1. (2018山东滨州,1,3分)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】A
【解析】∵三角形为直角三角形,∴三边满足勾股定理,∴弦为:=5.
【知识点】勾股定理
2. (2018四川泸州,8题,3分) “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A. 9 B.6
C. 4 D.3
第8题图
【答案】D
【解析】因为ab=8,所以三角形的面积为ab=4,则小正方形的面积为25-4×4=9,边长为3
【知识点】勾股定理,三角形面积,平方根
3. (2018年山东省枣庄市,12,3分)如图,在中,,,垂足为,平分,交于点,交于点.若,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【思路分析】在中, , 平分,可知CE=CF,过F作FH垂直于AB,FH=CF,在Rt△FBH中设CF=x,利用勾股定理列方程求出CF的长,从而得到CE的长.
【解题过程】解:在中, ,∴∠ACD=∠B,∵平分,∴∠CAF=∠BAF,∴∠CEF=∠CFE,CE=CF,如图,过点F作FG⊥AB,∵平分,∴CF=FG,AG=AC=3,BG=2,设CF=FG=x, ∵,∴BC=4,则BF=4-x,在Rt△FBG中,,解得,即CE=CF=,故选A.
【知识点】勾股定理;角平分线的性质;等腰三角形
4. (2018湖南长沙,11题,3分)我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
【答案】A
【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52,所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米,所以S=×6×2.5=7.5(平方千米),故选A
【知识点】勾股定理的逆定理,三角形面积
5. (2018山东青岛中考,6,3分)如图,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知,则BC的长是( )
A. B. C.3 D.
【答案】B
【解析】∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,∴BE=EF=.
∵点E为AB中点,∴AB=AC=3.在Rt△ABC中,BC===.故选B.
【知识点】折叠的性质;等腰三角形的性质与判定;勾股定理;
6.(2018山东省淄博市,12,4分)如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5,则△ABC的面积为
(A)9+ (B)9+ (C)18+ (D)18+
【答案】A
【思路分析】将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,作AI⊥CH交CH延长线于点I,则△APH为等边三角形,利用已知线段证明△PHC为直角三角形,从而得到∠AHC=150°,∠AHI=30°,求得AI、IH,进而求得IC,利用勾股定理求出AC,再利用正三角形面积公式求出三角形ABC的面积.
【解题过程】将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,作AI⊥CH交CH延长线于点I,则△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4,∵PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=,HI=,∴CI=+4,∴AC2=()2+(+4)2=25+12,∴S△ABC=AC2=(25+12)=9+.
【知识点】图形的旋转的性质;解直角三角形;正三角形的面积;勾股定理及逆定理
1. (2018湖北黄冈,5题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )
A.2 B.3 C.4 D.
第5题图
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=AB=AE,因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,=4,故选C
【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理
2. (2018四川凉山州,3,4分)如图,数轴上点A对应的数为2,AB⊥OA于A,且AB=1,以O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴于点C,则OC长为( )
A.3 B. C. D.
【答案】D
【解析】∵AB⊥OA于A,∴∠OAB=90°.在Rt△OAB中,由勾股定理得OB=.∴OC=OB=.故选择D.
【知识点】直角三角形的判定,勾股定理,尺规作图.
二、填空题
1. (2018年山东省枣庄市,15,4分) 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式.即:如果一个三角形的三边长分别为,则该三角形的面积为
,已知的三边长分别为,则的面积为 .
【答案】1
【解析】方法一:把代入三角形的面积得,故填 1.
方法二:由的三边长分别为,根据勾股定理的逆定理得是直角三角形,其面积为,故填 1.
【知识点】二次根式;勾股定理的逆定理
2. (2018四川省成都市,14,4)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E,若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .
【答案】
【思路分析】因为由作图可知MN为线段AC的垂直平分线,则有AE=CE=3,在Rt△ADE中,由勾股定理可以求出AD的长,然后再在Rt△ADC中用勾股定理求出AC即可.
【解析】解:连接AE,由作图可知MN为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE=3,在Rt△ADE中,=+,∴AD==,在Rt△ADC中,=+,∵CD=DE+CE=5,∴AC==.
【知识点】尺规作图;线段垂直平分线的性质;勾股定理
3. (2018天津市,18,3)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的顶点A,B,C均在格点上.
(1)∠ACB的大小为 (度);
(2)在如图所示的网格中,P是BC边上任意一点.A为中心,取旋转角等于∠BAC,把点P逆时针旋转,点P的对应点为P′.当CP′最短时,请用无刻度的直尺,画出点P′,并简要说明点P′的位置是如何找到的(不要求证明) .
【答案】90°; 如图,取格点D,E,连接DE交AB于点T;取格点M,N,连接MN交BC延长线于点G;取格点F,连接FG交TC延长线于点P′,则点P′即为所求.
【解析】分析:本题考查了勾股定理及其逆定理.解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三对格点.
解:(1)在网格中由勾股定理得:
∴△ABC为直角三角形,
∴∠ACB=90°
(2) 如图,取格点,,连接交于点;取格点,,连接交延长线于点;取格点,连接交延长线于点,则点即为所求.
【知识点】勾股定理定理及逆定理;格点作图
4. (2018浙江湖州,16,4)在每个小正方形的边为1的网格图形中,每个小正方形的顶点为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在图1所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为,此时正方形EFGH的面积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是 (不包括5).
【答案】9,13和49
【解析】设图中直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,则a2+b2=65.小正方形的面积为(a-b)2.∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出来,并且a和b的端点都在格点上即可.∵65可以写作64+1或49+16,所以a,b的值分别为8,1或7,4.此时小正方形的面积为49或9.
另外,∵长为13和5的线段也可以在网格中画出,所以65还可以写成52+13或45+20,此时a,b的值分别为2,和3,2.此时小正方形的面积为13和5.
小正方形的面积为9,13和49对应的图形分别为下图的①②③.故填9,13和49.
【知识点】勾股定理
1. (2018湖北黄冈,13题,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为______cm(杯壁厚度不计)
第13题图
【答案】20
【解析】如图,点E与点A关于直线l对称,连接EB,即为蚂蚁爬行的最短路径,过点B做BC⊥AE于点C,则Rt△EBC中,BC=32÷2=16cm,EC=3+14-5=12cm,所以
第13题解图
【知识点】轴对称,勾股定理
2. (2018·重庆A卷,16,4)如图,把三角形纸片折叠,使点B、点C都与点A重合,折痕分别为DE、FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=厘米,则△ABC的边BC的长为 厘米.
【答案】4+6.
【解析】如下图,过点E作EM⊥AG于点M,则由AE=EG,得AG=2MG.
∵∠AGE=30°,EG=厘米,
∴EM=EG=(cm).
在Rt△EMG中,由勾股定理,得MG==3(cm),从而AG=6cm.
由折叠可知,BE=AE=(cm),GC=AG=6cm.
∴BC=BE+EG+GC=++6=4+6(cm).
【知识点】翻折;轴对称;勾股定理;直角三角形的性质;等腰三角形
3. (2018江苏淮安,15,3) 如图,在份Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3, BC=5,分别以A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D,则CD 的长是 .
(第15题)
【答案】1.6
【解析】本题考查勾股定理和基本作图,连结AD,由线段的垂直平分线的性质可知AD=BD,再由勾股定理可求得CD.
解:连结AD
由作法可知AD=BD,
在Rt△ACD中设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.
由勾股定理得,CD2+AC2=AD2
即x2+32=(5-x)2
解得x=1.6
故答案为1.6
【知识点】勾股定理;轴对称;线段的垂直平分线;基本作图
4. (2018山东德州,15,4分)如图,为的平分线,,,,则点到射线的距离为 .
【答案】3
【解析】因为,,,所以CM=3,过点C作CM⊥OA于N,又因为为的平分线,所以CN= CM=3,即点到射线的距离为3.
【知识点】勾股定理,角平分线的性质
5. (2018福建A卷,13,4)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D为AB的中点,则CD= _______.
【答案】3
【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得出CD的值.
【解析】解:在△ABC中,以∠ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6,∵CD是AB边上的中线,∴CD=AB=3.
【知识点】直角三角形
6.(2018福建A卷,15,4)把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置,其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,另外三角板的锐角顶点B、C、D在同一直线上,若AB=,则CD=_______.
【答案】
【思路分析】首先利用勾股定理计算出BC、AD的长,过点A作AF⊥BC,由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得AF=CF,在直角三角形ADF中,再次利用勾股定理计算出DF的长度,问题便获得解决.
【解析】解:过点A作AF⊥BC,垂足为点F,∵ AB=AC,∴CF=,∵ AB=AC=,∴AD=,∴CF=1,∵∠C=45°,∴AF=CF=1,∴,∴.
【知识点】等腰三角形的性质,勾股定理
7. (2018福建B卷,13,4)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D为AB的中点,则CD= _______.
【答案】3
【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得出CD的值.
【解题过程】解:在△ABC中,以∠ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6,∵CD是AB边上的中线,∴CD=AB=3.
【知识点】直角三角形
8. (2018福建B卷,15,4)把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置,其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,另外三角板的锐角顶点B、C、D在同一直线上,若AB=,则CD=_______.
【答案】
【思路分析】首先利用勾股定理计算出BC、AD的长,过点A作AF⊥BC,由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得AF=CF,在直角三角形ADF中,再次利用勾股定理计算出DF的长度,问题便获得解决.
【解析】解:过点A作AF⊥BC,垂足为点F,∵ AB=AC,∴CF=,∵ AB=AC=,∴AD=,∴CF=1,∵∠C=45°,∴AF=CF=1,∴,∴.
【知识点】等腰三角形的性质,勾股定理
9.(2018湖北省襄阳市,15,3分)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为= ▲ .
【答案】
【解析】解:分两种情况讨论:
①当CD在△ABC内部时,如图
在Rt△ACD中,由勾股定理得AC==2.
∴AB=2AC=4,
∴BD=AB-AD=3.
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BC==.
②当CD在△ABC外部时,如图
此时,AB=4,BD=BA+AD=5,
在Rt△ABD中,由勾股定理得,BC==.
综上所述,BC的长为.
故答案为.
【知识点】勾股定理,分类讨论思想
10. (2018广西玉林,17题,3分)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,则AD的取值范围是_______
第17题图
【答案】2<AD<8
【解析】由题,∠A=60°,AB=4,已确定,AD的长度可以变化,如下图(1),是AD最短的情况,此时AD=ABcos60°=2,如下图(2),是AD最长的情况,此时AD=AB/cos60°=8,而这两种情况四边形ABCD就变成了三角形,故都不能达到,故AD的取值范围是2<AD<8
第17题图(1) 第17题图(2)
【知识点】动态问题,特殊的三角函数值
三、解答题
1. (2018四川广安,题号24,分值8) 下面有4张形状,大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:
(1)画一个直角边为4,面积为6的直角三角形.
(2)画一个底边为4,面积为8的等腰三角形.
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形.
(4)画一个边长为2,面积为6的等腰三角形.
第24题图
【思路分析】对于(1),根据面积公式求出两条直角边即可画出图形;
对于(2),根据面积公式求出底边上的高,再画出图形即可;
对于(3),根据面积公式求出直角边,即可画出图形;
对于(4)根据腰长为2不成立,可知以2为底边,再求出底边上的高,可画出图形.
【解题过程】如图所示.(1)直角边为4,3的直角三角形;………………………….2分
(2)底边为4,底边上的高为4的等腰三角形;………………………………………..4分
(3)直角边为的等腰直角三角形;…………………………………………………..6分
(4)底边为2,底边上的高为3的等腰三角形……………………………………8分
第24题答图
【知识点】勾股定理,三角形的面积
1. (2018湖北荆门,19,9分) 如图,在中,,,为边的中点,以为边作等边,连接,.
(1)求证:;
(2)若,在边上找一点,使得最小,并求出这个最小值.
【思路分析】(1)首先根据E为AB边的中点可得BC=AE,根据△DEB为等边三角形可得DB=DE,∠DEA=∠DBC,然后根据全等三角形的判定即可证明出结论;
(2)作点E关于直线AC对称点E′,连接BE′交AC于点H,由作图可知:EH+BH=BE′,根据勾股定理计算即可.
【解题过程】(1)证明:在Rt△ABC中,∠BAC=30°,E为AB边为中点,
∴BC=EA,∠ABC=60°.
∵△DEB为等边三角形,
∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,
∴∠DEA=120°,∠DBC=120°,
∴∠DEA=∠DBC,
∴△ADE≌△CDB.
(2)解:如图,作点E关于直线AC对称点E′,连接BE′交AC于点H.
则点H即为符合条件的点.
由作图可知:EH+BH=BE′,AE′=AE,∠E′AC=∠BAC=30°,
∴∠EAE′=60°,
∴△EAE′为等边三角形,
∴EE′=EA=AB,
∴∠AE′B=90°,
在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=,
∴AB=2,AE′=AE=,
∴BE′==3,
∴BH+EH的最小值为3.
【知识点】等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,全等三角形的判定,利用轴对称作图,勾股定理
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