高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）测试题

3.4　函数的应用(一)

基础过关练

题组一　一次函数、二次函数模型及其应用

1.(2021北京房山期中)运动员推出铅球后,铅球在空中飞行的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足函数关系式y=ax2+bx+c(a≠0).下表记录了铅球飞行过程中x与y的三组数据,根据上述函数模型和下表数据,可推断出该铅球飞行到最高点时,水平距离为(　　)

A. m　　　　　B.3 m　　　　　C. m　　　　　D.5 m

2.某批发市场一服装店试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于成本的40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)近似满足一次函数y=kx+b,且x=80时,y=40,x=70时,y=50,则此一次函数的解析式为　　　　　,x的取值范围是　　　　. 

3.(2022河北张家口期中)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,则每天可销售100件,现准备提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要使每天所赚的利润最大,销售价应定为每件　　　　　元. 

题组二　分段函数模型及其应用

4.(多选)某打车平台欲对收费标准进行改革,现有甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车里程x(单位:km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.当打车里程为8 km时,乘客选择甲方案更省钱

B.当打车里程为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可

C.当打车里程大于3 km时,甲方案每千米增加的费用比乙方案多

D.甲方案中打车里程在3 km内(含3 km)费用为5元,里程大于3 km时,每增加1 km费用增加0.7元

5.(2020四川成都期末)汽车从A地出发直达B地,途中经过C地,假设汽车匀速行驶,5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为　　　　km. 

6.某农村电商结合自己出售的商品,要购买3 000个高为2分米,体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研,此类包装盒按面积计价,每平方分米的价格y(单位:元)与订购数量x(单位:个)之间满足y=则该电商购入3 000个包装盒至少需要　　　　元.(说明:每个纸盒计费面积为六个面的面积之和) 

题组三　幂函数等其他函数模型及其应用

7.(2022黑龙江八校期中联考)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数称为“道路容量”.假设某条道路单位时间内通过的车辆数N满足关系式N=,其中d0为安全距离,v为车速(m/s).当安全距离d0为30 m时,该道路的“道路容量”的最大值约为(　　)

A.135　　　　　B.149　　　　　C.165　　　　　D.195

8.(2020湖南常德一中月考)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,当池中有400吨水后将维持400吨水量不变,若t小时内向居民供水总量为100吨(0≤t≤24),则t为何值时蓄水池中的存水量最少?

9.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3 000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?

注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

能力提升练

题组一　非分段函数模型及其应用

1.(2020安徽宿州十三所重点中学期中联考)如图所示,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地(图中四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上.已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积为y,若2<a<6,则当AE=　　　　时,绿地面积y最大.(用含a的式子作答)  

2.如图所示,矩形ABCD(AB>AD)的周长为20 cm,把△ABC沿AC向△ADC折叠,AB折过去后交DC于点P,设AB=x cm,AP=y cm.

(1)建立变量y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出函数y=f(x)的定义域;

(2)求△ADP面积的最大值以及此时x的值.

3.(2022河北石家庄二中期中)受新冠肺炎疫情影响,呼吸机成为紧缺商品,某呼吸机生产厂家为了提高产品的产量,投入90万元安装了一台新设备,并立即进行生产,预计使用该设备前n年(n∈N*)的材料费、维修费、人工工资等共为万元,每年的销售收入为55万元,设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元.

(1)写出f(n)关于n的函数关系式,并计算该设备从第几年开始使厂家盈利;

(2)使用若干年后,对该设备的处理方案有两种:

方案一:当总盈利额达到最大值时,该设备以10万元的价格处理;

方案二:当年平均盈利额达到最大值时,该设备以50万元的价格处理.

问选择哪种处理方案更合适?请说明理由.

题组二　分段函数模型及其应用

4.(2021山东临沂期中)为了节能减排,某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备.使用这种供电设备后,该农场每年消耗的电费C(单位:万元)与太阳能电池面积x(单位:平方米)之间的函数关系式为C(x)=(m为常数).已知太阳能电池面积为5平方米时,每年消耗的电费为8万元,安装这种供电设备的工本费为0.6x万元.记F(x)为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和(单位:万元).

(1)写出F(x)的解析式;

(2)当x为多少平方米时,F(x)取得最小值?最小值是多少(精确到小数点后一位)?(已知≈1.7,≈3.2)

5.国庆节期间,某商场进行如下的优惠促销活动:

优惠一:一次购买商品的价格每满60元立减5元;

优惠二:在优惠一之后,每满400元再减40元.

例如,一次购买商品的价格为140元,则实际支付额为140-5×=140-5×2=130(元),其中[x]表示不大于x的最大整数.又如,一次购买商品的价格为880元,则实际支付额为880-5×-40×2=730(元).

(1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品,他是分两次支付好,还是一次性支付好?请说明理由;

(2)已知某商品是小明常用必需品,其价格为30元/件.小明趁商场促销,想多购买几件该商品,其预算不超过500元,试求他应购买多少件该商品,才能使其平均价格最低.最低平均价格是多少?

答案全解全析

基础过关练

1.C　由题表可知,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点,(3,3),

,所以

解得所以y=-x2+x+,当y取得最大值时,x=-=-=,故选C.

2.答案　y=-x+120;{x|60≤x≤84}

解析　根据题意,得解得

∴一次函数的解析式为y=-x+120.

由题意可得60≤x≤60(1+40%),∴60≤x≤84,即x的取值范围为{x|60≤x≤84}.

3.答案　14

解析　设销售价应定为每件x元,利润为y元,

则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-1 600,

根据二次函数的性质可知,当x=14时,y取最大值,

所以要使每天所赚的利润最大,销售价应定为每件14元.

4.ABC　对于A,当3<x<10时,甲对应的y值小于乙对应的y值,故当打车里程为8 km时,乘客选择甲方案更省钱,故A正确;

对于B,由题图可知,当打车里程为10 km时,甲、乙方案的费用均为12元,故乘客选择甲、乙方案均可,故B正确;

对于C,当打车里程大于3 km时,甲方案每千米增加的费用为=1(元),乙方案每千米增加的费用为=(元),故甲方案每千米增加的费用比乙方案多,故C正确;

对于D,由题图可知,甲方案中打车里程在3 km内(含3 km)费用为5元,里程大于3 km时,每增加1 km费用增加1元,故D错误.故选ABC.

5.答案　500

解析　设汽车的速度为v km/h,

则从A地到C地,s=200-vt(0≤t≤2),

又t=2时,s=0,

∴2v=200,解得v=100.

从C地到B地,s=v(t-2)=100(t-2)(2<t≤5),

∴t=5时,s=100×(5-2)=300.

200+300=500(km),故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.

解题模板　解决分段函数的应用问题,首先要确定自变量的取值范围,其次要求出在每一段自变量的取值范围内对应的函数解析式,最后利用函数解析式解决问题.

6.答案　1 260

解析　设长方体包装盒的长为t(t>0)分米,则宽为分米,

故长方体包装盒的表面积S=4t++18(t>0).

∵S=4t++18≥2+18=42,

当且仅当4t=,即t=3时取等号,

∴Smin=42.

当x=3 000时,y=0.01,

∴总费用最少为42×3 000×0.01=1 260(元).

7.B　由题意得,N==≤≈149,

当且仅当0.3v=,即v=10时取“=”,所以该道路的“道路容量”的最大值约为149.故选B.

8.解析　设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-100(0≤t≤24).

设u=,则u∈[0,2],y=60u2-100u+400=60+150,

∴当u=,即t=时,蓄水池中的存水量最少.

9.解析　设楼房每平方米的平均综合费用为y元.

依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N*).

因为50x++3 000

≥2×+3 000=5 000,

当且仅当50x=,即x=20时,等号成立,

所以当x=20时,y取得最小值5 000.

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.

能力提升练

1.答案　

解析　 ∵S△AEH=S△CFG=x2,S△BEF=S△DGH=(a-x)(2-x),

∴y=S矩形ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x)=-2x2+(a+2)x.

由得0<x≤2,

∴y=-2x2+(a+2)x,x∈(0,2].∵2<a<6,∴1<<2,∴当x=时,y取得最大值,最大值为.

2.解析　(1)易得AD=10-x,DP=PB'=x-y,

在Rt△ADP中,有AD2+DP2=AP2,即(10-x)2+(x-y)2=y2,

化简得y=x+-10,即y=f(x)=x+-10.

由x>10-x>0可得5<x<10,故函数f(x)的定义域为(5,10).

(2)依题意,得△ADP的面积S=DP·AD=(x-y)(10-x)=(10-x)=×,x∈(5,10).

由基本不等式可得x+≥2=10,

当且仅当x=,即x=5时取等号,

于是S≤×(150-100)=75-50.

综上,△ADP的面积最大为(75-50)cm2,此时x=5.

3.解析　(1)由题意得, f(n)=55n-90-=-n2+50n-90.

由f(n)>0,得-n2+50n-90>0,即n2-20n+36<0,

解得2<n<18.

由于n∈N*,故该设备从第3年开始使厂家盈利.

(2)方案一:总盈利额f(n)=-(n-10)2+160,易知当n=10时, f(n)max=160,

故使用方案一处理设备后的总利润为160+10=170万元,此时n=10;

方案二:年平均利润 =50-≤50-×2=20,当且仅当n=,即n=6时,等号成立,

故使用方案二处理设备后的总利润为6×20+50=170万元,此时n=6.

比较两种方案,可知获利都是170万元,但由于第一种方案需要10年,而第二种方案需要6年,故选择第二种方案更合适.

4.解析　(1)当0≤x≤10时,C(x)=,

由题意,得8=,即m=60,

∴C(x)=

则F(x)=

即F(x)=

(2)当0≤x≤10时,F(x)=120-7.4x,可得F(x)min=F(10)=46,

当x>10时,F(x)=+x≥2=12≈38.4,

当且仅当=x,即x=10≈32时,等号成立,

故当x约为32平方米时,F(x)取得最小值,最小值约为38.4万元.

5.解析　(1)分两次支付:支付额为250-5×+650-5×-40=230+600-40=790(元).

一次性支付:支付额为900-5×-40×2=745(元).

因为745<790,所以一次性支付好.

(2)设购买x(x∈N*)件,平均价格为y元/件.

由于预算不超过500元,所以最多购买19件.

当1≤x≤14时,不能享受优惠二,

y==30-×==

又27.5+>27.5,所以当购买偶数件时,平均价格最低,为27.5元/件.

当15≤x≤19时,能享受优惠二,

y==30-×-=

=

若x为偶数,则x=16时,ymin=25.

若x为奇数,则x=15时,ymin=25.

因为27.5>25,所以购买15件或16件该商品,才能使其平均价格最低,最低平均价格为25元/件.