2021-2022学年山东省青岛市局属四校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省青岛市局属四校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，下列说法不正确的是(    )

A. 与是同位角
B. 与是内错角
C. 与是同旁内角
D. 与是同位角

3. 在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度下滑的时间，支撑物高度与下滑的时间的关系如下表：

以下结论错误的是(    )

A. 当时，约秒
B. 随支撑物高度增加，下滑时间越来越短
C. 支撑物高度每增加了，时间就会减少秒
D. 估计当时，一定小于秒

4. 研究表明，某新型冠状病毒体大小约为纳米也就是微米，而口罩能过滤微米的颗粒，并不能将病毒过滤，口罩的作用是阻挡病毒传播的“载体”，而非直接挡住病毒．纳米就是米．那么微米用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5. 小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片(    )

A. 张 B. 张 C. 张 D. 张

6. 如图，在下列给出的条件中，能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，直线，点，分别在直线．和直线上，点在两条平行线之间，和的角平分线交于点，已知，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连结，将乙纸片放到甲的内部得到图已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 小明家离学校距离千米，上学时小明骑自行车以千米小时速度走了小时，这时离学校还有千米．写出与的函数表达式______．
10. 一个角的补角与这个角的余角的差等于______度．
11. 已知，，那么的值是______．
12. 如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，位置，恰好在上，若，则等于______

13. 若是完全平方式，则的值为______．
14. 如图，在某个底面积为盛水容器内，有一个实心圆柱体铁块，现在匀速持续地向容器内注水，容器内水的高度和注水时间之间的关系满足如图中的图象，则水流速度是______．

15. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：
    ；如果，则有；；如果，必有其中正确的有______填写序号

16. 已知动点以每秒的速度沿图的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间秒之间的关系如图中的图象所示．其中，当______时，的面积是．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 作图题：
    在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
    经过点，画线段平行于所在直线．
    过点，画线段垂直于所在直线．
    尺规作图：用圆规直尺
    如图，点是的边上一点，请你使用直尺和圆规，过点作直线的平行线．保留作图痕迹，不要求写画法
     

18. 计算题：
    、；
    ；
    ；
    ．
    、先化简，再求值：，其中，．
19. 请根据题目中的逻辑关系填空：
    已知：如图，，，求证：
    证明：，
    ______
    ，
    ____________
    ．
    ______，____________
    ，
    ______等量代换

20. 如图，已知中，，为边上的高，是上一动点，沿由向运动，连接，在这个变化过程中设，且把看成自变量
    图中哪三角形的面积可以看成是因变量？
    设的面积为，图刻画的是随变化而变化的图象，根据图象回答以下问题：
    
    图中点代表的意义是______．
    的高的长为______．
    写出与的关系式______．
    的值为______．
    设的面积为，写出与的关系式，并求当为何值时，的面积与的面积相等？
21. 如图，，求证：．

22. 学校组织同学们去郊区实践活动，安排校车送同学们，大多数同学选择在学校乘车，学校还安排了第二个站点接学生，在第二个站点停车的时间为十分钟．小明迟到了没有赶上校车，只能让爸爸开私家车从学校出发独自去目的地．如图是校车和私家车离开学校的路程千米随时间分钟的变化图象．认真分析图中的信息，回答下列问题：
    小明迟到了______分钟．______先到目的地．填小明或校车
    校车第二次开动后的速度是______．
    小明出发后用多长时间追上校车？在距离目的地多远的地方追上校车？

23. 现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
    根据图中条件，请写出图和图所验证的关于、的关系式：用含、的代数式表示出来；
    图表示：______；
    图表示：______；
    根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
    若，，求的值；
    请直接写出下列问题答案：
    若，，则______；
    若，则______．
    如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
     

24. 【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化．例如：如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间．
    求证：；
    证明：如图，过点作，
    ，，
    ，
    ，，
    ，
    即：；
    【类比应用】已知直线，为平面内一点，连接、．
    如图，已知，，求的度数，说明理由；
    如图，设、、直接写出、、之间的数量关系为______．
    【联系拓展】如图，直线，为平面内一点，连接、，平分，若，运用中的结论，求的度数，说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.与不能合并，故C不符合题意；
D.，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，与不是同位角，故该选项符合题意；
选项，与是内错角，故该选项不符合题意；
选项，与是同旁内角，故该选项不符合题意；
选项，与是同位角，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可．
本题考查了同位角，内错角，同旁内角，掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可得，当时，下滑的时间为秒，因此选项A不符合题意；
B.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化情况可知，随支撑物高度增加，下滑时间越来越短，因此选项B不符合题意；
C.由表格中下滑时间随支撑物高度的对应值可知，支撑物高度每增加了，时间不都减少秒，因此选项C符合题意；
D.由表格中下滑时间随支撑物高度的变化趋势可知，当时，一定小于秒，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据表格中下滑时间随支撑物高度的变化规律逐项进行判断即可．
本题考查函数的表示方法，理解表格中下滑时间随支撑物高度的变化关系是正确判断的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：微米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：．
则需要类卡片张数为张，
故选：．
根据多项式乘多项式的法则得到，得到需要一个边长为的正方形，个边长为的正方形和个类卡片的面积是．
本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，则同位角相等，两直线平行；
B.，则同位角相等，两直线平行；
C.若，则内错角相等，两直线平行；
D.若，则同旁内角互补，两直线平行；
故选：．
同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作，

，，
，
，
，
和的角平分线交于点，
，，
，
，
故选：．
过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可．
本题考查了平行线的性质，平角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，，
，
，
点为的中点，
，
图的阴影部分面积，
，
，
图的阴影部分面积，
故选：．
设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
 

9.【答案】 

【解析】解：小明离学校的距离家校距离骑行距离．
．
故答案为：．
理解题意，找到，的等量关系即可．
本题考查一次函数的应用，理解题意，找到，的等量关系是求解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设所求角为，则补角为，余角为，由题意得：


．
故答案为：．
设所求角为，则补角为，余角为，由此根据题意可列出算式，解出即可．
本题考查余角和补角的知识，难度不大．
 

11.【答案】 

【解析】解：当，时，




．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，

由折叠得，
四边形是长方形，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由折叠性质可得，再由平行线的性质可得，从而利用平角的定义可求得，再利用平行线的性质即可求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

13.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
或，
解得：或，
故答案为：或．
利用完全平方式的特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，实心圆柱体铁块的高度为，
水满过实心圆柱体铁块需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，
设匀速注水的水流速度为，则：
，
解得，
即匀速注水的水流速度为；
故答案为：．
根据图象，分两个部分：满过实心圆柱体铁块需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程．
本题考查了函数的图象，把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，故正确；
，
，
又，
，
，故正确；
，，
故正确；
，
，
，
，
，故正确；
故答案为：．
先根据余角的概念和同角的余角相等判断；再根据平行线的判定定理判断；然后根据角的和差判断；最后根据平行线的判定与性质判断．
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：动点在上运动时，对应的时间为到秒，易得：秒秒；
动点在上运动时，对应的时间为到秒，易得：秒秒；
动点在上运动时，对应的时间为到秒，易得：秒秒，
故图中的长是，，
，
，
当点在上时，，
当点在、上时，，
点只能在和上，
或，
解得或．
故答案为：或．
根据题意，分情况考虑在不同线段上，根据动点的运动时间，可得相应的线段长度，即可得、、、的长；再根据三角形的面积公式解答即可．
本题考查动点问题的函数图象，三角形面积公式，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
 

17.【答案】解：如图，直线即为所求；
如图，直线即为所求；

如图，直线即为所求．
 

【解析】根据平行线的定义画出图形即可；
根据垂线的定义画出图形即可；
利用同位角相等两直线平行，作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定，垂线等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：、

；






；
；


；



；
、


，
当，时，原式

． 

【解析】、先算乘方，再算乘法，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答；
、先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】同旁内角互补，两直线平行    同位角相等，两直线平行      两直线平行，内错角相等   

【解析】证明：，
同旁内角互补，两直线平行．
，
同位角相等，两直线平行．
．
，两直线平行，内错角相等．
，
等量代换．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等；．
由同旁内角互补，两直线平行得，由同位角相等，两直线平行得，则有，从而得，，则可求得．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
 

20.【答案】时，的面积为       

【解析】解：由函数的定义可知：三角形的面积可以看成是因变量有：、；

点代表的意义是：时，的面积为，
故答案为：时，的面积为；
时，，则，
故答案为：；
，
故答案为：；
，解得：，即，
故答案为；

，
当时，的面积与的面积相等，
即：，解得：，
故时，的面积与的面积相等．
由函数的定义即可求解；
点代表的意义是：时，的面积为，即可求解；时，，即可求解；，即可求解；，即可求解；
，当时，的面积与的面积相等，即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
．
，
，
． 

【解析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】  小明   

【解析】解：由图象可得，
小明迟到了分钟，小明先到目的地，
故答案为：，小明；
由图象可得，
校车第二次开动后的速度是：，
故答案为：；
设小明出发后小时追上校车，
小明家私家车的速度为：，
由题意可得：，
解得，


千米，
答：小明出发后用小时追上校车，在距离目的地千米的地方追上校车．
根据图象中的数据，可以写出小明迟到的时间和谁先到目的地；
根据图象中的数据，可以计算出校车第二次开动后的速度；
根据图象中的数据和中的结果，可以计算出小明出发后用多长时间追上校车，在距离目的地多远的地方追上校车．
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：图中，由图可知，
 ，
 由题意得，，
 即，
 故答案为：．
图中，由图可知，，，
由题图可知，，
即，
故答案为：．
，
【】
，，

．
由图可得，
，，
，
．
故答案为：．
由图可得【】，
【】，
，
原式．
故答案为：．
由题意得，
，
，
，
，
，


，
阴影．
即图中阴影部分的面积为．
图中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图中利用大正方形的面积等于个长方形的面积加小正方形的面积可得；
将根据完全平方公式用含有，的式子表示出来，然后代入求值即可．
利用，代入求值即可，利用【】代入求值即可；
，，，，可以利用代入求值即可．
本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用．
 

24.【答案】 

【解析】解：【类比应用】如图，过点作，

，，
，
，，
，
；
如图，过点作，

，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
【联系拓展】
如图，交于点，

，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，

，
由得：，
，



．
过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数；
过点作，则，根据平行线的性质可得，，即可得出；
交于点，由，得出，由得出，由，得出，由对顶角相等得出，由角平分线的性质得出，即，由得：，代入计算即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质及垂线，掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．