2021-2022学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省青岛市市南区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列运算中，结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，下列不能判定的条件是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 小丽早上步行去车站然后坐车去学校，下列能近似的刻画她离学校的距离随时间变化的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 甲、乙两人沿相同的路线由地到地匀速前进，，两地之间的路程为，他们前进的路程为，甲出发后的时间为，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息，下列说法正确的是(    )

A. 甲的速度是
B. 甲比乙晚到地
C. 乙的速度是
D. 乙比甲晚出发

8. 如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，若，则下列结论正确的有(    )
   ；
   ；
   ；
   ．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 计算：______．
10. 是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为______．
11. 已知是一个完全平方式，则的值为______．
12. 已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则______度．

13. 如果多项式与的乘积展开式中不含的一次项且常数项为，则的值为______．
14. 若与的两边分别平行，且，，则的度数为______．
15. 如图所示，、之间是一座山，一条铁路要过、两县，在地测得铁路走向是北偏东，那么地按南偏西的______ 方向施工，才能使铁路在山腰中准确接通．

16. 已知：如图，射线，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点、、、、，都在射线上，则的度数为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共72分）

17. 如图，屋架，要在屋架上加一根梁，使请作出梁，作图的依据是：______．

18. 计算与化简：
    ；
    ；
    ；
    ；
    先化简再求值：，其中，．
19. 如图，完成下列推理过程：
    如图，，，若，求．
    解：，已知
    ______，______
    又，已知
    ，等量代换
    ______，______
    ______
    ，已知
    ______．

20. 综合与探究：
    “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．
    
    填空：
    折线表示赛跑过程中______的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中______的路程与时间的关系填乌龟或兔子；赛跑的全程是______米．
    兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？
    乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？
    兔子醒来，以千米时的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？
21. 已知，如图，已知，．
    判断与是否平行，并说明理由；
    当时，求的大小．

22. 当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图，可得等式：．
    
    由图，可得等式：______．
    利用中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；
    计算______．
    利用图中的纸片足够多，画出一种拼图，使该拼图可用来验证上面的等式要求图中有长度和面积的标识
23. 【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，，，求的度数．
    
    解：过点作
    
    
    
    
    
    
    从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将么和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
    【方法运用】如图，已知直线，是一个平面镜，光线从直线上的点射出，在平面镜上经点反射后，到达直线上的点我们称为入射光线，为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．
    由图写出、、之间的数量关系，并说明理由．
    如图，再放置块平面镜，其中两块平面镜在直线和上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形，光线从点以适当的角度射出后，其传播路径为直接写出和的数量关系．
    【应用拓展】
    问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图所示的样子，并提出了一个问题：
    在图中，，，，，求的度数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用同底数幂的除法法则，合并同类项的法则，积的乘方的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，故本选项错误；
B、，，故本选项正确；
C、，，故本选项错误；
D、，，故本选项错误．
故选：．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：距离越来越大，选项错误；
B.距离越来越小，但前后变化快慢一样，选项错误；
C.距离越来越大，选项错误；
D.距离越来越小，且距离先变化慢，后变化快，选项正确；
故选：．
根据上学，可得离学校的距离越来越小，根据开始步行，可得距离变化慢，后来从车，可得距离变化快．
本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查余角和补角的概念，和为度的两个角互为余角，和为度的两个角互为补角．根据互余和互补的概念计算即可．
【解答】解：，
那么这个角的余角的度数是．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
由题目中给出的运算方法，即可推出原式，通过计算即可推出结果．
此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：首先我们需要知道等腰三角尺的三个角分别为；直角三角尺三个角分别为。
A、由图形得：只能得到两角互余，无其他信息，不合题意；
B、由图形得：，

可得，不合题意；
C、由图形可得出两角都为的邻补角，即，符合题意；
D、由图形得：，可得，不合题意。
故选：。
此题考查了角的计算，弄清图形中角的关系是解本题的关键。
 

7.【答案】 

【解析】解：甲的速度是：；
乙的速度是：；
由图象知，甲出发小时后乙才出发，乙到小时后甲才到，
故选：．
根据图象可知，甲比乙早出发小时，但晚到小时，从甲地到乙地，甲实际用小时，乙实际用小时，从而可求得甲、乙两人的速度．
本题考查了函数的图象，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，故正确；
由折叠知，
，故正确；
，
，
，故正确；
，
，
，
，故正确．
故选：．
根据平行线的性质和折叠的性质依次验证即可．
本题考查平行线的性质和翻折的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和翻折的性质进行角的转化和计算．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：
故答案为．  

11.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：
根据两数的平方和加上两数积的倍等于两数和的平方，判断即可得到的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作，如图，
由题意可知，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
过点作，因为，可得，即可得出的度数，再由，可得，代入计算即可得出答案．
本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，，
，．
故答案为：．
把式子展开，找到所有的一次项的系数，令其为，以及常数项令其等于，可求出，的值．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为．
 

14.【答案】或 

【解析】解：与的两边分别平行，
，
，
解得，
，
或，
，
解得，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
根据两边互相平行的两个角相等或互补列出方程求出，然后求解即可．
本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况考虑．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于是相向开工．故角度相等，方向相反．
而和为同位角，
于是，
故答案为．

根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等进行解答．
本题考查了平行线的性质和方向角，注意此类题的结论：角度不变，方向相反．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图形可知，，，，
则．
故答案为：．
根据角平分线的性质和平行线的性质得到规律，即可求得的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

17.【答案】同位角相等，两直线平行 

【解析】解：如图，线段即为所求．
依据是：同位角相等，两直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行
利用同位角相等，两直线平行，作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：


；



；


；



；



，
当，时，原式． 

【解析】先算乘方，再算乘除法即可；
根据平方差公式和完全平方公式计算即可；
根据完全平方公式和多项式乘多项式计算即可；
根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式计算即可；
根据完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则和运算顺序．
 

19.【答案】  两直线平行，同位角相等    内错角相等，两直线平行  两直线平行，同旁内角互补   

【解析】解：已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同旁内角互补．
已知，
．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；．
根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出，再根据内错角相等，两直线平行判断出，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出是解题的关键．
 

20.【答案】兔子  乌龟   

【解析】解：由题意可得，
折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，线段表示赛跑过程中乌龟的路程与时间的关系填乌龟或兔子；赛跑的全程是米，
故答案为：兔子，乌龟，；
兔子在起初每分钟跑：米，乌龟每分钟爬米，
即兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米；
分钟，
即乌龟用了分钟追上了正在睡觉的兔子；
千米小时米分钟，


分钟，
分钟，
答：兔子中间停下睡觉用了分钟．
根据函数图象和乌龟、兔子所在的图画，可以得到折线和线段表示分别是谁的路程与时间的关系，并写出赛跑的全程；
根据函数图象中的数据，可以计算出兔子在起初每分钟跑多少米，乌龟每分钟爬多少米；
根据函数图象中的数据和中的结果，可以计算出乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子；
根据图象中的数据，可以计算出兔子中间停下睡觉用了多少分钟．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：，理由如下：
，，
，
；
，
，
，
，
，
． 

【解析】由结合对顶角相等可得出，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出；
由可得出，结合可得出，利用“内错角相等，两直线平行”可得出，再利用“两直线平行，内错角相等”可得出．
本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的各判定与性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：大正方形面积，
大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，
即：．
故答案为：．
由可知：，
把，代入得：

．
．
故答案为：．

结合图形进行分析，利用两种方法求解面积；
利用的结论，代入计算求解；
利用多项式乘多项式，进行展开求解．
考查了完全平方式，和图形面积相结合一起，以及多项式乘多项式．
 

23.【答案】【方法运用】
解：，理由如下，
如图，过点作，则，
，，
，
．
解：，理由如下，
由得，，
同理可得，，
入射角等于反射角，
，，
．
【应用拓展】
解：如图，过点作，过点作，则，
，，，
，，
，，
，
，
，
． 

【解析】【方法运用】过点作，则，由平行线的性质求得，，即可得到结果；
由得，，，然后结合入射角等于反射角，即可得到结果；
【应用拓展】过点作，过点作，则，有，，，然后借助已知条件依次求出，，，，最后得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．