2021-2022学年江苏省无锡市宜兴外国语学校七年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市宜兴外国语学校七年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是(    )

A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、

4. 已知，，，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是(    )

A. 三角形的三条高至少有一条在三角形内
B. 直角三角形只有一条高
C. 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D. 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部

6. 如图，下列条件中，能判断直线的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 多边形剪去一个角后，多边形的外角和将(    )

A. 减少 B. 不变 C. 增大 D. 以上都有可能

8. 如图，把一块含角的三角板的直角顶点靠在长尺两边的一边上，若，则三角板的斜边与长尺的另一边的夹角的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：；平分；；．
   其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 设的面积为，如图将边、分别等份，、相交于点，的面积记为；如图将边、分别等份，、相交于点，的面积记为；，依此类推，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共30分）

11. 最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为______．
12. 计算的结果为______ ．
13. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是______ ．
14. 一个多边形的内角和是，那么这个多边形是______边形．
15. 如图，直线，，为直角，则______．

16. 如图，在中，，，平分，交于，，交于，则的大小是______ ．

17. 如图，已知点是射线上一动点即可在射线上运动，，
    当______时，为直角三角形；
    当满足______时，为钝角三角形．
18. 已知中，，如图，若和的三等分线相交于点、，则用表示______如图，若和的等分线相交于点、、、，则用表示______

三、解答题（本大题共10小题，共90分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 先化简再求值，其中，．
21. 已知，，求的值．
    已知，求的值．
22. 如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点的对应点根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题保留画图痕迹：
    画出；
    画出的高；
    连接、，那么与的关系是______，线段扫过的图形的面积为______．
     

23. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
    请你计算出图中的的度数．
    图中，请你计算出的度数．
     

24. 规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．
    例如：因为，所以．
    根据上述规定，填空：
    ______，______，______．
    小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
    设，则，即
    所以，即，
    所以．
    请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
25. 如图，直线分别与直线、交于点、，平分，平分，且求证：．
     

26. 在中，于点，：：，平分，点在上，，．
    求的度数；
    求证：．

27. 初一班数学学习小组“孙康映雪”在学习了第七章平面图形的认识二后对几何学习产生了浓厚的兴趣．请你认真研读下列三个片断，并完成相关问题．
    如图，直线，垂足为，三角板的直角顶点落在的内部，三角板的另两条直角边分别与、交于点和点．
    
    【片断一】
    小孙说：由四边形内角和知识很容易得到的值．如果你是小孙，得到的正确答案应是：______
    【片断二】
    小康说：连结如图，若平分，那么也平分请你说明当平分时，也平分的理由．
    【片断三】
    小雪说：若平分、平分，我发现与具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断与有怎样的位置关系并说明理由．
28. 已知中，，为射线上一点不与、重合，点为射线上一点，设，．
    如图，
    若，，则______，______．
    写出与的数量关系，并说明理由；
    如图，当点在边上，点在的延长线上时，其它条件不变，写出与的数量关系，并说明理由．
    如图，在的延长线上，根据已知补全图形，并直接写出与的关系式______．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误
C、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误；
D、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确．
故选：．
根据图形平移的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是生活中的平移现象，熟知图形平移变换的性质是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
选项A根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：中，，不符合；
中，，，符合；
中，，，符合；
中，，，符合．
故选：．
根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
考查了三角形的三边关系，一定注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了幂的乘方计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
首先利用幂的乘方将，变形为底数为的幂的形式，然后再进行比较即可．
【解答】
解：，，，
．
故选：。  

5.【答案】 

【解析】解：、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；
B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；
C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；
D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；
故选：．
根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，不符合判定方法的任何一种位置关系的角，所以不能判定，故本选项错误；
B、，符合内错角相等，两直线平行，所以能判定，故本选项正确；
C、与是同位角，如果相等，则，故本选项错误；
D、与是同旁内角，如果互补，则，故本选项错误．
故选B．
根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，解题时要认准各角的位置关系．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了多边形的外角和定理，题目比较简单，只要掌握住定理即可．
多边形的内角和与边数相关，随着边数的不同而不同，而外角和是固定的，从而可得到答案．
【解答】
解：根据多边形的外角和为，可得：多边形剪去一个角后，多边形的外角和还是，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
根据平行线性质求出，得出的度数，根据等腰直角三角形得出，根据三角形的外角性质求出即可．
本题考查了等腰直角三角形，平行线性质，三角形的外角性质等知识点，关键是求出和的度数．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
又是的角平分线，
，故正确；
无法证明平分，故错误；
，
，
平分，
，
．
，且，
，即，
，故正确；
，，
，
，
，故正确．
故选C．
根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在图中，连接，

，，
，，，
，，
，
，
设，则
，
解得；
在图中，连接、、，

则，，
设，则
，
解得；
在图中，连、、、、，

则，，
设，则
，
解得，

由可知，，
，
，
解得．
故选D．
利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．
此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为．
先根据积的乘方，把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；再根据幂的乘方，底数不变指数相乘，从而得出结果．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，是基础知识要熟练掌握．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】
解：当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
故答案为：．  

14.【答案】六 

【解析】解：这个多边形的边数是，则
，
解得：．
则这个多边形的边数是六，
故答案为：六．
边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角和定理以及一元一次方程的解法，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．过作，得出，根据平行线的性质得出，，求出，即可求出答案．
【解答】
解：过作，

，
，
，，
，为直角，
，，
，
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
平分，
，
，
故答案为．
根据可求得，根据三角形内角和为和角平分线平分角的性质可求得的值，即可解题．
本题考查了三角形内角和为性质，考查了角平分线平分角的性质，本题中求是解题的关键．
 

17.【答案】或  或 

【解析】解：当时，为直角三角形，
当时，为直角三角形，
，
此时，，
综上所述，当或时，为直角三角形，
故答案为：或；
当时，为钝角三角形，
当时，为钝角三角形，
，
此时，，
综上所述，当或时，为钝角三角形，
故答案为：或．
分和两种情况进行讨论，即可求出答案；
分为钝角和为钝角两种情况进行讨论，即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理及分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：和的三等分线相交于点、，
，，
，，
，
，
，
，
，
；
可得规律为：若和的等分线相交于点、、、，
则用表示．
故答案为：；．
由和的三等分线相交于点、，即可得，，又由三角形内角和定理，可得：，，即可求得的值；
观察即可得规律：若和的等分线相交于点、、、，则．
此题考查了角的等分线的性质以及三角形内角和定理．注意找的规律：若和的等分线相交于点、、、，则用表示是解此题的关键．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
；
原式
；
原式


． 

【解析】原式利用同底数幂的乘除法则计算即可得到结果；
原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果；
原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
原式逆用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，最后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：当，时，
；
，
，
则，
，
解得：． 

【解析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
利用积的乘方的法则对已知条件进行整理，从而可求的值．
本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

22.【答案】如图所示，即为所求；


如图所示，即为所求；
平行且相等；    ． 

【解析】

【分析】此题主要考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题关键．
根据平移的定义和性质作出点、平移后的对应点，顺次连接即可得；
根据三角形高的定义作图即可得；
根据平移变换的性质可得，再利用割补法求出平行四边形的面积．
【解答】解：见答案
见答案
如图所示，与的关系是平行且相等，
线段扫过的图形的面积为，
故答案为：平行且相等、．  

23.【答案】解：，，
，
，
；

，，
，
，
，
． 

【解析】由，，即可求得的度数，又由，易得的度数；
首先根据三角形内角和为，求得的度数，又由，即可求得的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得的度数．
此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
 

24.【答案】，  ，    ；
设，，
则，，
，
，
． 

【解析】

解：，
；
，
；
，
；
故答案为：，，；

见答案．
【分析】
分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．

25.【答案】证明：，
，
平分，平分，
，，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能求出是解此题的关键．根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，，推出，根据平行线的判定得出．
 

26.【答案】解：平分，，
，
，
，
，
又：：，
；
证明：，，
，
，
又，
． 

【解析】根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义可得，然后根据直角三角形两锐角互余，求出，再求出；
根据同位角相等，两直线平行，可得，然后根据“如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”即可得解．
本题主要考查了三角形内角和定理，平行的判定与性质，以及垂线的性质的综合应用．根据同位角相等，两直线平行，判定是解题的关键，也是本题的难点．
 

27.【答案】；
见解析；
垂直； 

【解析】解：由四边形内角的性质，得
；故答案为；
平分，
，
，
，
平分；
如图，延长交于，
，
，
，
．
，
∽，
，
垂直．
根据四边形的性质，可得答案；
根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；
根据补角的性质，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
本题考查了三角形的内角和定理，利用相似三角形的判定与性质是解题关键；利用补角的性质得出是解题关键．
 

28.【答案】    

【解析】解：，；
故答案为：，；
，
设，，则





；

，
设，，则






；

如图，，
设，，则
，



，

．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用等量代换即可求解；
根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用等量代换即可得到结论；
设，，则，根据三角形的内角和和外角的性质得到，由三角形的内角和得到，通过整理化简结论得到结论．
方法同．
本题考查了三角形的内角和与三角形外角的性质，关键是结合图形灵活利用这两个性质定理列出角的关系进行推理．