2022年贵州省铜仁市中考数学试卷（含解析）

2022年贵州省铜仁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在实数，，，中，有理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在矩形中，，，，则的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 年月日，国家统计局发布数据，今年一季度国内生产总值亿元．同比增长，比年四季度环比增长把用科学记数法表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在一个不透明的布袋内，有红球个，黄球个，白球个，蓝球个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大(    )

A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 蓝球

5. 如图，，是的两条半径，点在上，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 下列计算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 为了增强学生的安全防范意识，某校初三班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共个，记分规则如下：每答对一个得分，每答错或不答一个扣分．小红一共得分，则小红答对的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在边长为的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，等边、等边的边长分别为和开始时点与点重合，在上，在上，沿向右平移，当点到达点时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为，移动的距离为，则与的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，若抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，若则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 不等式组的解集是______．
12. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
13. 一组数据，，，，，的中位数为______．
14. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射钱，使得，过点作，垂足为若，则的长为______结果保留根号．

15. 如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为，若四边形间面积为，，则的值为______．

16. 如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

17. 在平面直角坐标系内有三点、、．
    求过其中两点的直线的函数表达式选一种情形作答；
    判断、、三点是否在同一直线上，并说明理由．
18. 如图，点在上，，，，求证：≌．

19. 年月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
    
    求，的值并把条形统计图补充完整；
    若该校有名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？
    结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．
20. 科学规范戴口罩是阻断遵守病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了结果刚好提前天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？
21. 为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面、两处实地测量，如图所示．在处测得桥墩顶部处的仰角为和桥墩底部处的俯角为，在处测得桥墩顶部处的仰角为，测得、两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩的高度．结果保留整数，参考数据：，，，

22. 如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．
    求证：；
    若，，求的长．

23. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为千元吨时，每天可售出吨，每吨涨千元，每天销量将减少吨，据测算，每吨平均投入成本千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于千元，不高于千元．请解答以下问题：
    求每天销量吨与批发价千元吨之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
    当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
24. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，记的面积为，的面积为．
    问题解决：如图，若，求证：
    探索推广：如图，若与不平行，中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
    拓展应用：如图，在上取一点，使，过点作交于点，点为的中点，交于点，且，若，求值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数，，，中，有理数为，其他都是无理数，
故选：．
根据有理数的定义进行求解即可．
本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，轴，
四边形是矩形，
，轴，
同理可得轴，
点，
点的坐标为，
故选：．
先根据、的坐标求出的长，则，并证明轴，同理可得轴，由此即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：在一个不透明的布袋内，有红球个，黄球个，白球个，蓝球个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：，
故选：．
根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率 ．
 

5.【答案】 

【解析】解：，是的两条半径，点在上，，
．
故选：．
根据圆周角定理即可求解．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，本选项计算正确，不符合题意；
B、，本选项计算正确，不符合题意；
C、，本选项计算正确，不符合题意；
D、，本选项计算错误，符合题意；
故选：．
根据绝对值、同底数幂的乘法、负整数指数幂、分式的性质、幂的乘方法则计算，判断即可．
本题主要考查的是绝对值、同底数幂的乘法、负整数指数幂、分式的性质、幂的乘方计算法则，掌握相关的运算法则是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设小红答对的个数为个，
由题意得，
解得，
故选：．
设小红答对的个数为个，根据抢答题一共个，记分规则如下：每答对一个得分，每答错或不答一个扣分，列出方程求解即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，

四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：．
设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明，得到弓形的面积弓形的面积，则．
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，当和重合时，，

当移动的距离为时，在内，，
当在的右边时，如图所示，设移动过程中与交于点，过点坐垂直于，垂足为，

根据题意得，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
当时，是一个关于的二次函数，且开口向上，
当时，，当时，，
故选：．
当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．
本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，，
二次函数的图象过点，
，
，，
∽，
，
，
即，
令，
根据根与系数的关系知，
，
故，
故选：．
设，，，由可得∽，从而可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，进而求解．
本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，即
解得．
故答案为：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

13.【答案】 

【解析】解：将题目中的数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，，位于最中间位置的两个数是，，故这组数据的中位数是．
故答案为：．
先将数据按从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义即可找到这组数据的中位数．
本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于点，

由菱形的性质得，，，
又，
，
，
，
，
又四边形是菱形，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
连接，交于，证明≌，得出的长度，再根据菱形的性质得出的长度．
本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出是这个题最关键的一点．
 

15.【答案】 

【解析】解：设点，
轴，
，，
，
，
，
轴，
轴，
点，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
设点，可得，，从而得到，再由可得点，从而得到，然后根据，即可求解．
本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，

由折叠的性质知是的平分线，
点在上，
过点作于，交于点，
，
的最小值为的长，
连接，，
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为线段的垂直平分线，
，，
≌，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，，
，
，即，
∽，
，即，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
过点作于，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
 

17.【答案】解：设、两点所在直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式．
当时，，
点不在直线上，即点、、三点不在同一条直线上． 

【解析】根据、两点的坐标求得直线的解析式．
把的坐标代入看是否符合解析式即可判定．
本题考查了待定系数法求解析式，以及判定是否是直线上的点，掌握一次函数图像上的点的坐标特征是关键．
 

18.【答案】证明：，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据一线三垂直模型利用证明≌即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据乒乓球所占的比例和人数可得，
抽取的人数为人，
参加篮球的人数有：人，
补全条形统计图如图所示：

参加摄影的人数为人，
，
；
根据扇形图可得：
；
根据统计图可知“书法”所占，
人，
若该校有名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有人；
根据条形统计图和扇形统计图可知，参加乒乓球的学生人数是最多的，其次是书法、篮球，参加摄影的学生人数相对来说是较少，最少的是参加足球的学生人数，所以可以适当的增加乒乓球这项课后服务活动项目的开设，减少足球课后服务活动项目的开设，以满足大部分同学的需求． 

【解析】根据乒乓球所占的比例和人数可求出抽取的总人数，因此可求得参加篮球的人数，根据摄影的人数可求出的值，再根据扇形图可求得的值；
根据书法所占的比例，可求得参加书法活动的学生人数；
根据参加活动人数的多少可适当调整课后服务活动项目．
本题考查了扇形统计图和条形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩万个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：该厂家更换设备前每天生产口罩万个，更换设备后每天生产口罩万个． 

【解析】设该厂家更换设备前每天生产口罩万个，则该厂家更换设备后每天生产口罩万个，利用工作时间工作总量工作效率，结合提前天完成订单任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：延长交于点，

则，
设米，
在中，，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米
，
，
，
米，
桥墩的高度为米． 

【解析】延长交于点，设米，由题意可得，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，，在中，利用锐角三角函数的定义求出，根据，列方程求得的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
．
，
．
，
，
．
．
；
解：连接，则，如图，
在中，
，，
．
，
．
，
．
．
在中，
，
．
由知：，
∽．
即：．
解得：．
． 

【解析】连接，则，利用，可得，通过证明得出，结论得证；
连接，在中，利用求得线段的长；在中，利用，解直角三角形可得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

23.【答案】解：根据题意得，
所以每天销量吨与批发价千元吨之间的函数关系式，
自变量的取值范围是；
设每天获得的利润为元，根据题意得，
，
当，随的增大而增大．
，
当时，有最大值，最大值为，
将批发价定为元时，每天获得的利润元最大，最大利润是元． 

【解析】根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
根据销售利润销售量批发价成本价，列出销售利润元与批发价千元吨之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查二次函数应用，以及利用二次函数的性质求最大值，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

24.【答案】证明：过点作于，过点作于，如图所示：
，，
，，
，
，
；
解：中的结论成立，理由如下：
过点作于，过点作于，如图所示：
，，
，，
，
；
；
解：过点作交于，取中点，连接，如图所示：
，
，，
又，
≌，
，
，
∽，
，
设，，则，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
由得：． 

【解析】过点作于，过点作于，求出，，然后由三角形面积公式求解即可；
同求解即可；
过点作交于，取中点，连接，先由证得≌，得到，再证明∽，得到，设，，则，，然后证明∽，推出，，则，由结论求解即可．
本题是四边形综合题，考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形面积的计算等知识；正确作出辅助线构建直角三角形与相似三角形是解题的关键．