【通用版】2023届高考数学一轮复习数列专练（6）数列的综合应用

（6）数列的综合应用

1.《张丘建算经》卷上有题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第二天起每天比前一天多织(   )

A.尺布 B.尺布 C.尺布 D.尺布

2.程大位《算法统宗》里有诗云:“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意思为:996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，之后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止，分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传.则第八个孩子分得棉花的斤数为(   )

A.65 B.176 C.183 D.184

3.已知数列的通项公式，设其前n项和为，则使成立的最小正整数n等于(   )

A.83 B.82 C.81 D.80

4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为(   )

A. B. C. D.

5.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为(   )
A.2 B.3 C.4 D.5

6.已知等差数列的前n项和为，若，，设，则的前n项和为(   )

A. B. C. D.

7.已知数列的前项和为，若，则的值为(   )

A. B.6 C. D.4

8.我国古代数学专著《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天？”在这个问题中，修筑堤坝的天数为(   )

A.14 B.15 C.16 D.17

9.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪袅、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次构成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得只鹿，则大夫所得鹿(   )

A.1只 B.只 C.只 D.2只

10.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元，则n的值为(   )

A.7 B.8 C.9 D.10

11.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则__________.

12.在数列中，，，则数列的前n项和___________.

13.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二个节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为______________尺.

14.已知正项数列满足且，令，则数列的前8项的和等于________.

15.已知数列的前n项和为，，，.

（1）求；

（2）令，证明：.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设该女子第n天织尺布，前n天共织布尺，则数列为等差数列，设其公差为d.由题意，得，解得.

2.答案：D

解析：根据题意可得每个孩子分得棉花的斤数构成一个等差数列，其中公差，项数，前8项和.由等差数列的前项和公式可得，解得，所以.

3.答案：C

解析：由题易得，故，解得，故选C.

4.答案：A

解析：设最大的一份为x，从大到小排列的等差数列的公差为d.由题意，得，且，解得.

5.答案：B

解析：设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，它们的前n项和分别为，则是以1为首项，2为公比的等比数列，是以1为首项，为公比的等比数列，故.令，即，解得，故选B.

6.答案：A

解析：设等差数列的首项为，公差为d，

则解得，

所以，，

所以，

所以

，故选A.

7.答案：C

解析：，当时，，两式相减得.时，，又，解得.，解得.

8.答案：C

解析：由题意可知每天派去的人数成等差数列，设等差数列的公差为d，可得，且满足，解得，故选C.

9.答案：B

解析：设按爵次高低分配得到的猎物数依次构成等差数列，公差为d，则，，

，，即大夫所得鹿只.

10.答案：B

解析：由题意，可知这堆货物的总价为，则，
，两式相减可得，所以.
当时，.
故选B.

11.答案：

解析：由题意可得1个月后老鼠的只数，2个月后老鼠的只数，3个月后老鼠的只数，…，n个月后老鼠.

12.答案：

解析：令，显然，由数列的递推公式，可得当，时，，且.由累乘法，可得，显然，当时，满足上式，所以，所以.

13.答案：1.5

解析：设这十二个节气的日影长构成等差数列，公差为，前项和为，由题意得，即解得所以夏至的日影子长为1.5尺.

14.答案：4606

解析：因为，

则，

又，所以，即，

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以，，

设数列的前n项和为，

则，

，

两式相减得，

所以，

所以.

故答案为：4606.

15.答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）因为，，

所以，

故，即，

所以是首项为，公差为1的等差数列，

故，则.

（2）因为，，

所以.

又符合上式，所以.

因为，

所以

，

所以.