2021四川省邻水实验学校高二下学期第二次月考数学（文）试卷含答案

邻水实验学校高2019级2021年春中期考试测试题

数学（文科）

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数的定义域为（    ）

A． B．    C．  D．

2．曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．a＝－1，b＝1　　　　　       B．a＝1，b＝1　

C．a＝1，b＝－1                 D．a＝－1，b＝－1

3.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（　　）

A．  B．  C．  D．

4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球，现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为(   )

A. B. C. D.

5.设，集合，则（    ）

A．    B．    C．      D．

6、过圆O：x2+y2＝5外一点P（3，2）作圆O的切线，切点分别为A，B，则|PA|＝（　　）

A． B．2 C． D．3

7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞)              B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)          D．(－∞，－3)∪(0,3)

8．f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)

A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

9．a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)

A．大于0      B．小于0      C．不小于0    D．不大于0

10．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（　　）

A．﹣1 B． C．0 D．﹣1﹣

11.，函数在区间上的最大与最小值之差为则（　　）

A．        B．         C．       D．

12．设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有(　　)

A．f(x)g(x)>f(b)g(b)            B．f(x)g(a)>f(a)g(x)

C．f(x)g(b)>f(b)g(x)            D．f(x)g(x)>f(a)g(x)

二、填空题(共20分．将正确答案填在题中横线上)

13．已知i为虚数单位，复数的虚部为________.

14. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是_______.

15．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a＋b、a－b、ab、∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b|a，b∈Q}也是数域．有下列命题：

①整数集是数域；②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．

其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)

16.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为           cm．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．

18、设锐角三角形的内角的对边分别为，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求的取值范围．

19．如图，三棱柱中，.

(1)证明：；

(2)若，求三棱柱的体积.

20、已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．

21、已知函数f（x）＝aex（x﹣2）（a≠0）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a＝﹣1时，求函数g（x）＝f（x）+x2﹣2x的极值．

选作题：22（10分）参数方程和极坐标：已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1) 把C1的参数方程化为极坐标方程；  

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．

23（10分）不等式选讲：若，且.

(Ⅰ) 求的最小值； （Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.

 答   案

一、选择题：(12*5=60分)

二、        填空题：(4*5=20分)

13.    14.      15 .③④    16.2+

三、17．解：由题设知，

则    ②

由②得，，，

因为，解得或．

当时，代入①得，通项公式；

当时，代入①得，通项公式．

18、解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．

（Ⅱ）

．

由为锐角三角形知，

，．，所以．

由此有，所以，的取值范围为．

19、证明：（1）取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．

∵CA＝CB，∴CO⊥AB，

∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°．∴△A1AB为等边三角形．

∴OA1⊥AB，

又∵OC⊂平面COA1，OA1⊂平面COA1，OC∩OA1＝O．

∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，

∴AB⊥A1C．

解：（Ⅱ）∵AB＝BC＝AC＝2，∴CO＝，

∵AB＝AA1＝2，∠BAA1＝60°，∴A1O＝．

∵A1C＝，∴CO2+A1O2＝A1C2．∴CO⊥A1O．

由（1）知AB⊥平面COA1，又OA1⊂平面COA1，∴AB⊥A1O，

∵CO∩AB＝O，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O是三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：

V＝S△ABC×A1O＝＝3．

20、证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则，

；

因为与相交于点，且的斜率为，

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．

21.解：（Ⅰ）f'（x）＝aex（x﹣1），

若a＞0，由f'（x）＜0，得x＜1；由f'（x）＞0，得x＞1，

∴f（x）的递减区间为（﹣∞，1），递增区间为（1，+∞）．

若a＜0，由f'（x）＜0，得x＞1；由f'（x）＞0，得x＜1，

∴f（x）的递减区间为（1，+∞），递增区间为（﹣∞，1）．

（Ⅱ）当a＝﹣1时，g（x）＝f（x）+x2﹣2x＝﹣ex（x﹣2）+x2﹣2x，

g'（x）＝﹣ex（x﹣1）+2x﹣2＝﹣（x﹣1）（ex﹣2）．

由g'（x）＝0，得x＝1或x＝ln2．

当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：

∴g（x）极小值＝g（ln2）＝（ln2）2﹣4ln2+4＝（ln2﹣2）2；g（x）极大值＝g（1）＝e﹣1．

22、解：本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化．

(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.

将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.

(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.

由解得或

所以C1与C2交点的极坐标分别为，.

23、解：（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．                     

（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．