2021-2022学年四川省邻水实验学校高二下学期第二次月考暨期中考试数学（理）试题（Word版）

四川省邻水实验学校2021-2022学年高二下学期第二次月考暨期中考试数学（理科）试卷

总分：150           时间：120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题(共60分)

1．已知，则下列向量中与平行的是（   ）

A． B． C． D．

2．已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的共轭复数的虚部为(    )

A． B． C． D．

3．已知，则过点P(-1，0)且与曲线相切的直线方程为（       ）

A． B．

C．或 D．或

4．若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．用反证法证明“若，则a，b，c中至少有一个为0”的第一步假设应为（       ）

A．a，b，c全为0 B．a，b，c中至多有一个为0

C．a，b，c不全为0 D．a，b，c全不为0

6．函数的图像与的图像所围成的图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是   

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8．下列说法错误的是（   ）

A．同一平面内，直线a，b，c，若，，则．类比推出：空间中，平面，若，则

B．由，，…猜想是归纳推理

C．由锐角满足及，推出是演绎推理

D．“因为恒成立，所以函数是偶函数”是省略大前提的三段论

9．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（    ）

                 （第9题）                （第10题）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

10．如图，已知正方体中，F为线段的中点，E为线段上的动点，则下列四个结论：（1）存在点E，使；（2）存在点E，使平面；（3）EF与所成的角不可能等于；（4）三棱锥的体积为定值.其中正确结论的个数是（   ）

A．4 B．3 C．2 D．

11．已知直线与曲线有3个不同交点，，，且，则（   ）

A．6 B．8 C．9 D．12

12．已知函数，关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题(共20分)

13．设i是虚数单位，复数 ，则___________.

14．若函数满足，则________．

15．已知三点A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，Q点的坐标          ．

16．若函数 在上只有一个零点，则常数的取值范围是________.

三、解答题(共60分)

17．己知数列满足，且.

(1)求出的值，并猜想数列的通项公式。

(2)试用数学归纳法证明数列的通项公式。

18．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，求函数的极值.

19．如图，四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，．

(1)求证：CEPD；

(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，且，求平面ABP与平面PCE所成锐二面角的余弦值．

20．如图，斜三棱柱中，三角形ABC为正三角形，为棱上的一点，平面，平面.

(1)证明：平面；

(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.

21．已知函数.

(1)若恒成立，求实数a的取值范围，

(2)若，证明.

四、选做题(共10分)

22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.直线l与曲线C交于M､N两点.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点，求的值.

23．已知函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若存在，使得成立，求a的取值范围．

参考答案：

一．单选题

1~5．BACAD      6~10．CAACC     11~12．CA

二．填空题

13．     14．    15．     16．

三．解答题

17．(1)，猜想.

(2)下用数学归纳法证明

当时，成立

假设当时，成立，

当时，

所以当时成立.

由，得对任意成立.

18．（1）由题意，函数，可得，

若，由，可得；由，可得，

所以的递减区间为，递增区间为；

若，由，可得；由，可得，

所以的递减区间为，递增区间为.

（2）当时，可得，

则，

由，即，解得或，

当变化时，与的变化情况如下表：

所以当时，函数取得极小值；

当时，函数取得极大值.

19．(1)∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴．

∵，AD，平面PAD且，

∴BA⊥平面PAD．∵，∴CE⊥平面PAD．

又平面PAD，∴；

(2)∵，

又，，

∴，．

以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连结PE．

A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），P（0，0，1），C（1，2，0），

由题意知平面PAB的一个法向量为，

设平面PCE的法向量为，，，

由，，得，取，则．

设所求二面角为，则．

20．(1)设，则为的中点.连结，则平面平面.

因为平面，平面，平面 平面= ，所以，从而为的中点，因此.

因为平面，所以.因为，所以平面.

(2)解法1：以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，

建立如图所示的建立空间直角坐标系，设.

则，

，故，

.

设为平面的法向量则

即可取

设为平面的法向量，则即

可取.

由可得，所以.

设为平面的法向量，则，即

可取.

因为，所以二面角的正弦值为.

解法2：在平面内过点作，垂足为，因为平面平面，

所以平面，故.由（1）及题设平面，

所以，又，因此平面，所以，

因此.

以为坐标原点，为轴正方向，为单位长，建立如图所示的建立空间直角坐标系，

可知，可得，

设为平面的法向量，则

即{可取

设为平面的法向量，则，

即可取

因为，于是二面角的正弦值.

解法3：在平面内过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故.

由（1）及已知平面，又，所以，

因此平面，

所以，因此.

在平面内过点作，垂足为，连结，

易得，所以是二面角的平面角.

设，则，在直角中，

，可得.

在等腰中，，

可得，

所以二面角的正弦值.

21．(1)解：因为函数的定义域为，所以恒成立等价于恒成立，所以.令，则.当时，，单调递增；当时，单调递减.所以，故，即实数a的取值范围是.

(2)证明：由（1）知，即，由，，得，所以.要证，只需证，即证，即，

即，也就是.整理得，即证.

令，则要证.令，则，

所以在上单调递增，所以.所以当时，，故原结论成立，

即.

22．(1)

直线l的参数方程（t为参数），

转化为普通方程为.

由曲线C的极坐标方程为，得，

根据转化为直角坐标方程为

(2)

将直线l的参数方程（t为参数），

代入中，得，

由根与系数的关系得，

在直线l上，

.

24．(1)解：当时，

或或

或或

．

∴的解集为．

(2)解：存在使得成立，等价于，

而，

当且仅当时成立，∴．

则，

而，当且仅当时取等号；

所以，

∴得或，则a的取值范围为．