2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，由并集的定义即可求出答案.

【详解】因为，则.

故选：C.

2．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先解不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断.

【详解】由，解得，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B

3．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，，…，则下列说法不正确的是（       ）

A．若变量和之间的相关系数为，则变量和之间具有较强的线性相关关系

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用决定系数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好

D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

【答案】C

【分析】变量和之间的相关系数为越大，则变量和之间具有较强的线性相关关系可判断A；

残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断B；用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好可判断 C；在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高可判断D.

【详解】变量和之间的相关系数为越大，则变量和之间具有较强的线性相关关系，故A正确；

残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；

用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好，故C错误；

在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D正确.

故选：C.

4．现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由8个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数即可得到.

【详解】在8个人全排列的方法数减去甲，乙，丙全相邻的方法数，就得到甲，乙，丙三人不全相邻的方法数，即.

故选：B．

5．已知变量之间的线性回归方程为且变量之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（       ）

A．变量x，y之间呈负相关关系

B．可以预测，当时，

C．

D．该回归直线必过点

【答案】C

【分析】根据题意，结合线性回归分析，一一判断即可求解.

【详解】对于选线A，因，所以变量x，y之间呈负相关关系，故A正确；

对于选项B，当时，，故B正确；

对于选项C，由题意可知，，故，

又因，所以，故C错；

对于选项D，由C可知，样本中心点为，因此该回归直线必过点，故D正确.

故选：C.

6．的展开式中的系数为（       ）

A． B．32 C． D．16

【答案】A

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为1，求出的值，从而可求出展开式中的系数

【详解】解：展开式的通项公式为，

令，得，

所以的展开式中的系数为，

故选：A

【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题

7．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（       ）

A．0.32 B．0.352 C．0.288 D．0.648

【答案】D

【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出甲获胜的概率，相加即为答案.

【详解】两局结束比赛，甲获胜的概率为；

三局结束比赛，则前两局甲胜一局，乙胜一局，第三局甲获胜，故甲获胜的概率为，

故甲最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648

故选：D

8．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（       ）

A．56个 B．57个 C．58个 D．60个

【答案】C

【详解】试题分析：第一类23154，有1个，第二类234形式，有2个，第三类235形式，有2个，第四类24形式，有个，第五类25形式，有个，第六类3形式，有个，第七类41形式，有个，第八类42形式，有个，第九类43形式，有个，合计共58个

【解析】排列组合问题

点评：将大于23145且小于43521的数按首位不同由小到大分类，依次找到各类中包含的数字求其总数．正确求解本题的前提是合理的分类

9．若，且，则实数的值为（       ）

A．1或 B．或3 C．1 D．

【答案】A

【分析】利用赋值法，令，可得，令，可得，再利用平方差公式即可求解.

【详解】令，得到，

令，得到，

∴，即，，

解得或.

故选：A

10．设随机变量X服从正态分布，则成立的一个必要不充分条件是（       ）

A．或2 B．或2 C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：若等式成立，那么，解得，解得或，所以必要不充分条件是．

【解析】1．正态分布；2．必要不充分条件．

11．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设Y=X-1，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.

【详解】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且，

设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，

于是（）.

所以，A错误；

，

，

所以，B错误；

，C错误，D正确

故选：D

12．足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的个数是（       ）

（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】（1）与（2）能直接进行求解；（3）分析出要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，且第次触球的人，有的概率将球传给甲，从而求出递推公式；（4）再第（3）问的基础上求出通项公式，计算出，比较出，从而判断出结论.

【详解】甲传球给乙或丙，故，（1）正确；

乙或丙传球给其他两个人，故，（2）正确；

由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，

且第次触球的人，有的概率将球传给甲，

故，C正确；

因为，设，

解得：，

所以

因为，

所以是以为首项，公比是的等比数列，

故，

所以，

故，

，

故，（4）错误.

说法正确的个数是3个.

故选：C

【点睛】概率与数列结合的题目，要能分析出递推关系，通过递推关系求出通项公式，这是解题的关键.

二、填空题

13．已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．

【答案】a<－4或a>2

【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.

【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.

②当a3即2aa＋3时，若，

则有，解得a<－4或2<a≤3

综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.

故答案为：a<－4或a>2

14．的展开式中二项式系数之和比各项系数和大63，则在的展开式，的系数为______．

【答案】90

【分析】先根据二项式系数之和比各项系数和大63得到，再写出展开式的通项公式，求出的系数.

【详解】展开式中二项式系数之和为，

令得：，故各项系数之和为1，

所以，解得：，

的展开式通项公式，

其中的通项公式为，

故展开式的通项公式为，

其中，且均为整数，

令得：，

当时，，符合要求，此时；

当时，，符合要求，此时；

当时，，符合要求，此时；

，

故的系数是90,

故答案为：90

15．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.

【答案】535

【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法

【详解】四个盒子放球的个数如下

1号盒子：{0，1}

2号盒子：{0，1，2}

3号盒子：{0，1，2，3}

4号盒子：{0，1，2，3，4}

结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法

5 = 1 + 4：种

5 = 2 + 3：种

5 = 1 + 1 + 3：种

5 = 1 + 2 + 2：种

5 = 1 + 1 + 1 + 2：种

∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种

故答案为：535

【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算

三、双空题

16．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.4，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率是______；如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率是______．

【答案】     0.4     0.3

【分析】合理设出事件，利用全概率计算出这个人迟到的概率，用贝叶斯概率公式计算出如果这个人迟到了，他乘船迟到的概率.

【详解】设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，

则，，，，，，

，

由全概率公式得：

；

如果这个人迟到了，由贝叶斯公式得到他乘船迟到的概率为：

.

故答案为：0.4；0.3

四、解答题

17．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价（单位：元件）及相应月销售量（单位：万件），对近5个月的月销售单价和月销售量（，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如下表数据：

(1)求关于的回归直线方程；

(2)利用（1）的回归方程，当该产品月销售单价为元/件，月销售量的预测值为多少？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，其中，

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）代入公式中求出，求出回归直线方程；（2）将代入第一问求出的回归直线方程，求出销售量的预测值.

【详解】(1)，，

，

，

所以关于的回归直线方程为；

(2)当时，，

所以当该产品月销售单价为元/件，月销售量的预测值为万件.

18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，M是侧棱的中点，且平面．

(1)求证：平面平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）由平面，得到，易得，进而得到平面，然后利用面面垂直的判定定理证明；

（2）以O为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面PBC的一个法向量，设与平面所成角，由求解.

【详解】(1)证明：因为平面，

所以，

又底面为正方形，       

所以，又，

所以平面，又平面ABCD，

所以平面平面；

(2)取AD的中点O，连接PO，则平面ABCD，

则以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：

设AB=2，则，

所以，

设平面PBC的一个法向量为，

则，即，

令，则，x=0，则，

设与平面所成角，

所以.

19．中国探月工程自2004年批准立项以来，聚焦“自主创新､重点跨越､支撑发展､引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有关？

（2）若将频率视为概率，现从该中学高三女生中随机抽取2人.记被抽取的2名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.

附：，其中.

【答案】（1）列联表见解析，有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”；

（2）分布列见解析，期望为

【分析】（1）由等高条形图中的数据填写列联表，利用公式求得的值，结合分别，即可求解；

（2）计算出女生中关注此新闻的概率，再由二项分别的性质，求出分布列以及数学期望，即可求解.

【详解】（1）由题意，根据等高条形图中的数据，

可得：女性人中，其中人关注，人不关注；

男性人中，其中人关注，人不关注；

所以可得如下的的列联表：

所以，

所以有的把握性认为“对嫦娥我好关注度与性别有关”.

（2）因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为，

又因为随机变量，所以随机变量的分布列为：

所以.

20．已知为数列的前项和，且，．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，设数列的前项和为，若，求的最小值．

【答案】(1)

(2)10

【分析】（1）利用的关系式得到，判断出为等比数列，求出通项公式；

（2）裂项相消法求和，进而解不等式，求出的最小值.

【详解】(1)①，

当时，②，

两式相减得：，

所以，

当时，，解得：，

所以是首项为2，公比是2的等比数列，

所以，经检验，满足题意；

(2)，

所以，

，即，

解得：

故的最小值为10.

21．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．

(1)求随机变量X的分布列及数学期望；

(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．

【答案】(1)分布列见解析，数学期望为

(2)

【分析】（1）先得出随机变量X可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；

（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率．

【详解】(1)由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，

易知，，所以，

则随机变量X的分布列如下：

所以

(2)由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，

记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，

若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；

若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，

则；

若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，

有“”、“”的情形，则；

记“参与者能够领取纪念品”为事件A，则

．

22．已知函数．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的值；

(3)当，时，恒成立，直接写出的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用导数的几何意义求解

（2）令，问题等到价于，而，可得为函数的最小值点，然后分和分析求解即可，

（3）问题等到价于恒成立，构造函数，转化为，再构造函数，利用导数判断其最小值，从而可判断出，由此可得为增函数，进而可求得结果

【详解】(1)当时，，则，

，，

所以曲线在处的切线方程为，即，

(2)当时，，

令，则

恒成立等价于，

因为，

所以为函数的最小值点，

因为，

当时，，所以在上单调递增，不合题意，

当时，由，得，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以当时，取得最小值，

所以，解得

(3)恒成立，等价于，

即恒成立，

构造函数，

等价于，

因为，所以

令函数，则，

显然为增函数，则，

所以在上为增函数，

所以，

所以，则，

因为，

所以在上单调递增，

所以当时，恒成立，

即，

所以的取值范围

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用求曲线的切线方程，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第3问解题的关键是将不等式转化为恒成立，再构造函数，再次转化为恒成立，再利用导数判断其单调性，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题