2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题含解析

2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期中教学质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．若复数则的虚部为（       ）

A．-4 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】利用复数的除法可先求出，然后再计算，从而可得其虚部.

【详解】因为，所以，，故选C.

【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的概念，属于基础题.

2．已知，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数的定义和运算法则求解.

【详解】解：因为，

所以，则，

所以，

.

故选：D

3．函数在处导数存在，若p:是的极值点，则（       ）

A．p是q的充分必要条件 B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件但不是q的充分条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】C

【详解】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数为函数的极值点，一定成立，但当时，函数不一定取得极值，比如函数，函数的导数，当时，，但函数单调递增，没有极值，则是的必要条件，但不是的充分条件，故选C．

【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判定．

4．已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（       ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】求得，利用，即可求得结果.

【详解】因为 ，所以 ，

由题意有 ，所以，

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数由斜率求参数值，属基础题.

5．满足+=2n的最小自然数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由复数的乘方与除法则化简后然后代入值验证．

【详解】因为，，

所以

，

时，原式＝，

时，原式＝，

时，原式＝，满足题意．

故选：C．

6．已知函数，在其定义域内的子区间上不单调，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意知，函数在区间上有极值，从而得到，解之即可．

【详解】解：在其定义域内的子区间上不单调，

函数在区间上有极值，

由得或（舍去）

，

解得：，

故选：．

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，分析得到函数在区间上有极值是关键，注意定义域，考查分析与运算能力，属于中档题．

7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可.

【详解】因为，，

，，

所以，即.

故选：C.

【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

8．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为（       ）

A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角

C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角

【答案】B

【解析】根据反设的思想，直接得出结果.

【详解】用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设的内容应为“假设至少有两个钝角”.

故选：B.

【点睛】本题主要考查反证法的应用，熟记反证法的概念即可，属于基础题型.

9．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为（       ）

A．4 B．6

C．4.5 D．8

【答案】A

【分析】【详解】设底面边长为x，高为h，

则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，

∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，

∴S′(x)＝2x－.令S′(x)＝0，解得x＝8，

∴h＝＝4.

答案　A

10．已知，为f（x）的导函数，则的图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，令，根据导函数的奇偶性可排除AD，再根据的符号可排除C，即可得解.

【详解】解：，

则，

令，

，所以函数为奇函数，故排除AD，

又，故排除C.

故选：B.

11．已知且，则的最大值（       ）

A． B．2 C．1 D．

【答案】B

【详解】分析：由可得，可设，，，可得，进而利用正弦函数的性质求出答案．

详解：∵且

∴

设，，.

∴

∴的最大值是

故选B.

点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．

12．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.

【详解】由，

（1）当时，可得，

即，

即，

构造函数，

所以函数单调递增，

则，此时，即满足；

（2）当时，可得，

由函数递增，则，此时或，即满足；

（3）当时，，即满足.

综上，.

故选：A.

二、填空题

13．设复数的模为，则________________.

【答案】3

【详解】由得，即，所以.

【解析】复数的运算.

14．若函数则与x轴围成的封闭图形的面积为___________.

【答案】

【分析】画出函数的图象，明确与轴围成封闭图形，利用定积分表示后就是即可．

【详解】函数，则的与轴围成封闭图形如，

其面积为：；

故答案为：．

15．已知是抛物线上的一点，过点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在两边同时求导，得：，则，所以过的切线的斜率.试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_________.

【答案】

【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.

详解：用类比的方法对两边同时求导得，，

∴切线方程为，

整理为一般式即：.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

16．已知函数则下列命题正确的有：___________.

①若有两个极值点，则或

②若有极小值点，则

③若有极大值点，则

④使连续的a有3个取值

【答案】③④

【分析】同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.

【详解】解：在同一坐标系中作出的图象，如图所示：

①若有两个极值点，则或，故错误；

②当时，是的极小值点，故错误；

③若有极大值点，由图象知：，故正确；

④使连续的a有3个取值-1,0,1故正确；

故答案为：③④

三、解答题

17．已知复数z满足.

(1)求复数z；

(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1），利用复数的除法运算求解；

（2）【小问2详解】先化简复数，再根据复数在复平面内对应的点在第一象限求解.

【详解】(1)解：∵，

∴，

∴.

(2)由（1）知，

则，

 ，

由题意得：

∵

解得，

即实数a的取值范围为.

18．设a，b，c均为正数，且.

(1)证明：；

(2)是否存在？并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)不存在，理由见解析

【分析】（1）利用基本不等式证明；

（2）利用基本不等式判断.

【详解】(1)方法一：证明：因为，

所以（当且仅当时取等）；

方法二：∵（当且仅当时取等）；

(2)因为，

所以，

（当且仅当时取等）

而，所以.

19．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为，记改进工艺后电子公司销售该配件的月平均利润是（元）.

（1）写出与的函数关系式；

（2）改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大.

【答案】(1) 与的函数关系式为 ;(2) 改进工艺后，每个配件的销售价为元时，该电子公司销售该配件的月平均利润最大.

【详解】试题分析：（1）由题易知每件产品的销售价为，则月平均销售量为a件，利润则是二者的积去掉成本即可．

（2）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值．

试题解析：

（1）改进工艺后，每个配件的销售价为，月平均销售量为件，

则月平均利润（元），

与的函数关系式为

（2）由得（舍）

当时；时，

函数在取得最大值，

故改进工艺后，每个配件的销售价为元时，

该电子公司销售该配件的月平均利润最大.

20．已知数列的通项公式，其前项和为.

（1）求；

（2）若，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

【答案】（1）;（2）见解析.

【详解】试题分析：（1），可知数列是等差数列，根据等差数列前 项和公式即可求出结果；（2）由于，可得，，，，于是猜想.然后再利用数学归纳法证明，即可证明出结果.

试题解析：

（1）∵，∴数列是等差数列，且，

于是.

（2）∵，

∴，，，，

于是猜想.

下证明猜想：

①当时，，猜想成立；

②假设当时，猜想成立，即，

那么，当时，

所以，时，猜想成立.

由①②可知，对任意都成立.

21．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

（1）求f(x)的极值点；

（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；

（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）；（3）.

【分析】（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调性可求得其极值点；

（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得的范围；

（3）由题意分离参数即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.

【详解】（1），令，

得，

当时，f′(x)>0，当，f′(x)<0，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

所以，分别为的极大值点，极小值点.

(2)当时，，当时，，

，

要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，则

则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为.

（3）当时，由f(x)≥k(x－1)，即，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，

所以在(1，＋∞)上恒成立，

令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，

所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3].

22．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.

(1)求；

(2)证明:

【答案】（1）；（2）详见解析.

【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：（1）函数的定义域为，

.

由题意可得，.故，.

（2）证明：由（1）知，，

从而等价于.

设函数，则.

所以当，；

当时，.

故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为.

设函数，则.

所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为.

综上，当时，，即.

【解析】1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的.