2021-2022学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学试题含解析

2021-2022学年江苏省苏州中学高二下学期线上教学阶段调研（期中）数学试题

一、单选题

1．若，则n的值为（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】C

【分析】直接解组合数方程，即可求解.

【详解】因为，所以，解得：n=9.

故选：C

2．下列求导数的运算中错误的是（       ）

A．(3x)′＝3xln3

B．(x2lnx)′＝2xlnx＋x

C．′＝

D．(sinx·cosx)′＝cos2x

【答案】C

【解析】根据导数的运算法则进行计算后判断各选项．

【详解】由指数函数求导法则得A正确；

，B正确；

，C错误；

，D正确．

故选：C．

【点睛】本题考查导数的运算法则，掌握导数运算法则是解题关键．

3．现收集了7组观测数据.用4种模型分别进行拟合.由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到如图4幅残差图，根据残差图，拟合效果最好的模型是（       ）

A．模型一 B．模型二 C．模型三 D．模型四

【答案】D

【分析】根据残差的带状宽度对拟合效果的影响，即可作出判断.

【详解】当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，拟合的精确度越好，拟合效果越好，对比四个残差图，可知模型四的图对应的带状区域的宽度最窄.

故选:D

4．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（       ）

A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）

【答案】C

【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．

【详解】由题意知本题是一个分步乘法问题，

首先每名学生报名有3种选择，

有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，

每项冠军有4种可能结果，

3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.

故选：C．

5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B答案，再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小，所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，最后就只有答案D了，可以验证y=g(x)．

6．某班有名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数约为（       ）

附：若随机变量，则，，.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算出，乘以即可得解.

【详解】因为数学成绩服从正态分布，所以，，

所以，，

因此，理论上说在分到分的人数约为.

故选：B.

7．一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二次取到的是黑球的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，结合，即可求解.

【详解】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，

事件：表示第2次取到黑球，可得，

则.

故选：B.

8．已知集合，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为（       ）

A．49 B．48 C．47 D．46

【答案】A

【分析】利用分类计数法，当A中的最大数分别为1、2、3、4时确定A的集合数量，并得到对应的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.

【详解】集合知：

1、若A中的最大数为1时，B中只要不含1即可：的集合为，

而有 种集合，集合对(A,B)的个数为15；

2、若A中的最大数为2时，B中只要不含1、2即可：

的集合为，而B有种，

集合对(A,B)的个数为；

3、若A中的最大数为3时，B中只要不含1、2、3即可：

的集合为，而B有种，

集合对(A,B)的个数为；

4、若A中的最大数为4时，B中只要不含1、2、3、4即可：

的集合为，

而B有种，集合对(A,B)的个数为；

∴一共有个，

故选：A

【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.

二、多选题

9．下列诗句所描述的两个对象之间是相关关系的为（       ）

A．苏轼诗句 “粗缯大布裹生涯，腹有诗书气自华”，谈吐文雅程度与阅读量之间的关系

B．王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”，落霞面积与鹜鸟飞行速度之间的关系

C．李隆基诗句“为知勤恤意，先此示年丰”，瑞雪的量与粮食产量之间的关系

D．李白诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，理想状态下自由落体的速度与下落距离之间的关系

【答案】AC

【分析】直接利用相关关系的定义判断即可.

【详解】通过对诗句的理解可判断选项和为相关关系，选项不是相关关系，选项中理想状态下自由下落的距离为，与速度无关，选项不是相关关系，

故选：.

10．在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中黑球的个数为X，则下列结论正确的是（       ）

A．随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，5，6 B．随机变量X服从超几何分布

C．  D．

【答案】BD

【分析】根据题意知随机变量X服从超几何分，利用超几何分布的性质，再结合离散型随机变量的方差公式即可求解.

【详解】根据超几何分布的定义知，随机变量X服从超几何分布，故B正确；

由题意可知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，故A不正确；

；；

， .

所以，故C 不正确；

.

故选：BD.

11．若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是（       ）

A．a0＝1 B．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2

C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 D．a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1

【答案】ACD

【分析】用赋值法求系数的代数和．

【详解】由题意令得，A正确；

令得，所以，B错；

令得，C正确；

由题意均为正，均为负，

因此a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|，D正确．

故选：ACD．

12．已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则（       ）

A．f(x)在(0，＋∞)单调递增 B．f(x)有两个零点

C．(0，0)是f(x)的极小值点 D．若方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，则x1＋x2＞0

【答案】AD

【分析】求出导函数，由的正负确定函数的单调性，极值点，零点，判断ABC，在讨论过程中得出时，有两个不同的实数解，不妨设

，然后构造函数，利用导数确定单调性得出，结合单调性可得结论从而判断D．

【详解】的定义域是，

，

时，，，在是单调递增，A正确；

设，则，

时，恒成立，即是增函数，又，

所以时，，时，，

在上递减，在上递增，所以是函数的极小值点．极小值点是一个数，不是点，C错；

由于是极小值，因此只有一个零点，B错；

由以上讨论知时，有两个不同的实数解，不妨设，

则，

设（），

则，

，则，，所以，

是减函数，

所以，即，

所以，又，，在上是增函数，

所以，即，D正确．

故选：AD．

【点睛】关键点点睛：导数研究函数的单调性、极值、零点等问题，在证明方程的解有关的不等式时，关键是构造新函数，利用单调性得出，目的是得出，再由函数单调性得出的关系．本题对学生的逻辑思维能力、转化与化归能力要求较高，属于难题．

三、填空题

13．《西游记》第六十二回“涤垢洗心惟扫塔缚魔归正乃修身”，描写了一只小妖，他说：“我两个是乱石山碧波潭万圣龙王差来巡塔的.他叫做奔波儿灞，我叫做灞波儿奔.”如果这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，那么还可以命制_________个名字.

【答案】

【分析】根据题意，结合排列数的公式，求得共有种不同命名分式，即可求解.

【详解】由题意，这族小妖都是用这四个字不同顺序命名，共有种不同命名分式，

所以还可以命制个名字.

故答案为：.

14．设随机试验的结果只有A发生和A不发生，令随机变量，若P(X＝1)＝2P(X＝0)，则P(A)等于_______.

【答案】

【分析】根据概率的性质求出，再根据即可得解.

【详解】解：因为P(X＝1)＝2P(X＝0)，

则，

所以，

所以.

故答案为：.

15．若方程x－m＝ex在区间[0，1]有且只有一解，则实数m的取值范围是_______.

【答案】

【分析】方程变形为，引入函数，，由导数得单调性，得最值，从而得参数范围．

【详解】已知方程化为，

设，，则，

在上单调递减，，，

所以．

故答案为：．

16．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为_______.

【答案】

【分析】求出随机变量的分布列，可得期望，进而可根据E(X)＞1.75解得.

【详解】有题意知所以，解得或，由，所以.

故答案为：

四、解答题

17．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.

(1)3个舞蹈节目两两互不相邻，有多少种排法?

(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法?

【答案】(1)14400

(2)37440

【分析】（1）先在除去开始和结尾的位置选3个位置排舞蹈节目,再排5个演唱节目即可；

（2）将8个节目全排,再减去前四个节目没有舞蹈节目的排法，即可得解.

【详解】(1)先排5个演唱节目有种方法种数，再把3个舞蹈节目用插空法排在演唱节目的首尾或之间，由种方法种数，所以一共有种.

(2)前四个节目要有舞蹈节目，有

18．已知函数 (a，b∈R)的图象在点处的切线方程为y＝1.

(1)实数a的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)1；

(2)最大值为b，最小值为.

【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出a；

（2）先利用导数判断单调性，求出最值.

【详解】(1)因为函数，则.

所以.

又函数的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1，

所以，解得：.

(2)由（1）知，，.

在时，有，所以函数f(x)在区间上单减，

所以，.

19．已知的展开式中前三项的二项式系数之和等于.

(1)求正整数n的值；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到且，即可求得的值.

（2）化简二项式为，得到展开式的通项为，设展开式的第项的系数最大，列出不等式组，求得，进而求得展开式中系数最大的项.

【详解】(1)解：由题意，的展开式中前三项的二项式系数之和等于，

可得且，解得.

(2)解：由（1）知，二项式

则展开式的通项为，

设展开式的第项的系数最大，则，

解得，所以，

所以展开式中系数最大的项为，

所以其展开式中系数最大的项为.

20．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.设小球向左的次数为随机变量X.

(1)求随机变量X的概率分布列；

(2)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率.

【答案】(1)分布列见解析

(2)小球落入A袋和B袋中的概率分别为和

【分析】（1）易得，根据二项分布可得出答案；

（2）小球落入A袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入A袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入B袋的概率.

【详解】(1)解：由题意可知，，其中将向左的概率看成成功概率，

则，

列表如下：

(2)解：小球落入A袋的概率，

小球落入B袋中的概率，

所以小球落入A袋和B袋中的概率分别为和.

21．2022年，受新冠疫情的影响，苏州学生基本上进行了居家线上学习，以保证安全与健康；然而随着居家时间越来越长，学生焦虑程度越强.经有关机构调查，得出居家周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：

(1)作出散点图；

(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(精确到0.01)

(3)根据经验观测值为正常值的0.85~1.06为正常，1.06~1.12为轻度焦虑，1.12~1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑.小明同学在第7周时观测值为110，试预测小明同学的焦虑程度，并给小明同学一些建议.

参考数据与公式：其中，，，.

【答案】(1)见解析

(2)

(3)小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯

【分析】（1）根据已知的数据直接描点即可，

（2）先求出，然后根据已知的数据和公式求解即可，

（3）将代入回归方程中，求出的值，然后计算的值，再进行判断

【详解】(1)散点图如图

(2)因为，，

，，

所以，

所以，

所以y关于x的线性回归方程；

(3)当时，，

所以

因为，

所以小明的焦虑程度在正常范围内，小明在家应保持正常的生活和学习习惯

22．已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线y＝f(x)相切与点(1，f（1）).

(1)求实数a，b，c的值；

(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；

(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.

【答案】(1)；

(2)0

(3)

【分析】（1）求出导函数，由，，可求得；

（2）由导函数确定的单调性，极值，得出和都是图象上唯一的点，证明的图象关于点对称，由对称可得，从而得函数值；

（3）由对称性，把不等式化为，再利用，，结合单调性、极值，即可转化为恒成立，由二次不等式知识可得．参数范围．

【详解】(1)，在中令得，即，

所以，解得；

(2)由（1），

，

或时，，时，，

在和上递增，在上递减，

极大值为，极小值为，

，，因此都是唯一的实数．

，

所以的图象关于对称，而，

又和都是图象上唯一的点，

所以，

；

(3)，当且仅当时，，

所以，且时，，

由f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，得（）,

又的图象关于点对称，所以，

所以不等式（）为，

所以，所以恒成立，

，所以．