新教材高二数学下学期暑假训练3抽象函数的相关性质含答案

3 抽象函数的相关性质

例1．设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（）

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既是奇函数又是偶函数

例2．（多选）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（）

A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数

C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数

例3．定义在R上的函数，，当时，；，且对任意的，有．

（1）求证：；

（2）求证：对任意的，恒有；

（3）当，不等式恒成立，求a的取值范围．

一、选择题．

1．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（）

A．  B．或

C．  D．或

2．己知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（）

A．0 B． C．1 D．

3．若是奇函数，且在区间上是增函数，，则的解集是（）

A．  B．

C． D．

4．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系是（）

A． B． C． D．

5．已知是R上的偶函数，对任意，都有，且，则的值为（）

A．0 B． C．2 D．6

6．（多选）已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且，当时，，则以下结论正确的是（）

A．， B．为R上的减函数

C．为奇函数  D．为偶函数

7．（多选）已知函数，，对于任意的

，，则（）

A．的图象过点和

B．在定义域上为奇函数

C．若当时，有，则当时，

D．若当时，有，则的解集为

二、解答题．

8．已知函数是定义在上的减函数，对于任意的都有，

（1）求，并证明为上的奇函数；

（2）若，解关于的不等式．

例1．【答案】B

【解析】对任意，有，

令，得，

，，

令，得，即，

令，得，即函数为偶函数，

故选B．

例2．【答案】AD

【解析】因为，所以的图象关于点中心对称，

又因为函数为偶函数，

所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数，

故选AD．

例3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】（1）证明：令，由，得，

又，所以．

（2）由题设知：时，；

由（1）知：，

所以，要证时，，只需证当时，．

令，，由，得，

当时，，则，从而，

综上可知，对任意时，恒有．

（3）先用定义证明函数在上是增函数．

任取，且，则，所以，

又，所以，

从而，在上是增函数．

由，可得，

所以，

，

又，所以，上式又等价于．

令，，则，

，

令，得或（舍），

当时，，递增；当时，，递减，

所以，，故，

即的取值范围是．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】任取，由已知得，即，所以函数单调递减，

由可得，

即，所以，

即，即，

又因为，所以，

此时原不等式解集为，故选A．

2．【答案】A

【解析】当且时，由，得，

令，则是周期为1的函数，

所以，

当时，由，得，

又是偶函数，所以，所以，

所以，所以，

故选A．

3．【答案】A

【解析】由题意，是奇函数，所以等价于，

当时，，此时在上是增函数，且，

所以解得；

当时，，因为是奇函数，所以解得，

所以的解集为，故选A．

4．【答案】D

【解析】由题设知：时，单调递增，

∵是偶函数，∴关于对称，即上，单调递减，

由对称性可知：，而，

∴，即，故选D．

5．【答案】C

【解析】令，则，所以，

则，

故，所以是周期为的周期函数，

所以，故选C．

6．【答案】AC

【解析】由已知，令，得，，

令，得，，

再令，得，，A正确；，不是上的减函数，B错误；

令，得，，

故C正确；

令，由C可知g(x)为奇函数，，

即，，故D错误，

故选AC．

7．【答案】AC

【解析】因为函数，，对于任意的，，

令，则，则，

令，则，则，

所以过点和，故A正确；

令，则，即，所以为偶函数，

故B错误；

令，则，则，

当时，所以，

又，则，即当时，，故C正确；

令，则，则，

当时，所以，

又，则，即当时，，

因为是偶函数，所以时，，

所以的解集为，故D错误，

故选AC．

二、解答题．

8．【答案】（1），证明见解析；（2）．

【解析】（1）令，则有，，

令，，则有，即，

所以为上的奇函数．

（2）令，则有，

所以不等式化为，

由于为上的奇函数，所以，

所以，

因此不等式进一步化为，

已知函数是定义在上的减函数，所以有，解得，

因此不等式的解集为．