初中数学人教版八年级下册第十九章 一次函数综合与测试导学案

第十五讲  一次函数的应用

【知识梳理】

（一）数学建模的一般思路

    数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.

（二）正确认识实际问题的应用

在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.

（三）选择最简方案问题

    分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.

【经典例题】

【题型一、简单的实际问题】 

【例1】在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.下列说法正确的有（     ）：

①起跑后1小时内，甲在乙的前面；

②第1小时两人都跑了10千米；

③甲比乙先到达终点；

④两人都跑了20千米.           

A. 1 个          B. 2 个         C. 3 个         D. 4个

【例2】如图OB、AB分别表示甲、乙两名同学运动的

一次函数图象，图中和分别表示运动路程

和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：

①甲让乙先跑12米；②甲的速度比乙快1.5

米/秒；③8秒钟内，乙在甲前面；④8秒钟后，

甲超过了乙，其中正确的说法是（　　）

A．①②       B．①②③④        C．②③        D．①③④

【题型二、方案选择问题】

【例2】某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠，书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小丽和同学需买4个书包，水性笔若干(不少于4支)．

    (1)分别写出两种优惠方法购买费用(元)与所买水性笔支数(支)之间和函数关系式；

    (2)对的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；

    (3)小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．

【例2】联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．

（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．

（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？

（3）什么情况下A套餐更省钱？

【例3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．

（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？

（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；

（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．

【课堂训练】

1. 某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动，

从学校坐车出发，先上坡到达A地后，宣传8分钟；然

后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回

时，上、下坡速度仍保持不变，在A地仍要宣传8分钟，

那么他们从B地返回学校用的时间是(     )

A．45.2分钟       B．48分钟      

C．46分钟         D．33分钟

2. 小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额元后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费．若累计购物元，当＞时，在甲商场需付钱数＝0.9＋10，当＞50时，在乙商场需付钱数为．
下列说法：①＝0.95＋2.5；②＝100；③当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；④当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些．其中正确的说法是(     )

A．①②③④          B．①③④         C．①②④       D．①②③

3.如图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．其中x表示时间，y表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上．根据图中提供的信息，有下列说法：其中正确的有(     )

（1）食堂离小明家0.4km；

（2）小明从食堂到图书馆用了3min；

（3）图书馆在小明家和食堂之间；

（4）小明从图书馆回家的平均速度是0.04km/min．

A．4个      B．3个       C．2个      D．1个

4. 6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费（元）的最小值和最大值分别是(     )

A．8000，13200      B．9000，10000    

C．10000，13200     D．13200，15400

5.有一个附有进水管和出水管的容器，在单位时间内的进水量和出水量分别一定．设从某时刻开始的5分钟内只进水不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到容器内水量y（升）与时间（分）之间的函数图象如图．若20分钟后只放水不进水，这时（≥20时）与之间的函数关系式是_________.

6.在一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小刚跑了1450m，此后两人分别调整速度，并以各自新的速度匀速跑，又过100s时小刚追上小明，200s时小刚到达终点，300s时小明到达终点．他们赛跑使用时间t（s）及所跑距离如图s（m），这次越野赛的赛跑全程为

　     　m？

7. 2011年6月5日是第39个世界环境日，世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车4S店准备购进A型（电动汽车）和B型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：

（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？

（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进  车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30      万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．

8.某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的. 若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少台？最大获利是多少？

【课后练习】

1. 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由此图可知不挂物体时弹簧的长度为(     )

A．7cm      B．8cm       C．9cm      D．10cm

2. 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是(     )

A．12分钟          B．15分钟          C．25分钟       D．27分钟

3. 受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费(     )

A．52.5元       B．45元         C．42元       D．37.8元

4. A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地．其中正确的个数是(     )

A．1    B．2      C．3    D．4

5. 如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差　  　km/h．

6. 小敏从地出发向地行走，同时小聪从地出发向地行走，如图所示，相交于点的两条线段分别表示小敏、小聪离地的距离与已用时间之间的关系，则小敏、小聪的速度分别是______________.

7.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．

(1)分别写出甲、乙两厂的收费(元) 、 (元)与印制数量(本)之间的

关系式；

(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．

8.小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元，乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．

（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？？

（2）在（1）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？