高考数学一轮复习考点规范练22三角恒等变换含解析新人教A版文

考点规范练22　三角恒等变换

基础巩固

1.=(　　)

A.- B.-1 C. D.1

答案:D

解析:原式=2×

=2×

=2sin30°=1.故选D.

2.已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=(　　)

A. B.-

C.或0 D.-或0

答案:C

解析:因为2sin2α=1+cos2α,

所以2sin2α=2cos2α.

所以2cosα(2sinα-cosα)=0,

解得cosα=0或tanα=.

若cosα=0,则α=kπ+,k∈Z,2α=2kπ+π,k∈Z,

所以tan2α=0.

若tanα=,则tan2α=.

综上所述,故选C.

3.已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为,将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,得到的函数图象的一条对称轴为x=,则φ的值不可能为(　　)

A. B. C. D.

答案:B

解析:∵f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx

=sin2ωx+sin,

∴,即ω=2,

∴f(x)=sin.

平移后的函数为g(x)

=sin

=sin.

由题意,得4·+4φ+=kπ+,k∈Z,

解得φ=,k∈Z,故选B.

4.已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为(　　)

A.π,[0,π] B.2π,

C.π, D.2π,

答案:C

解析:由f(x)=sin2x+sinxcosx

=sin2x=

=sin,

则T==π.

又2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

∴kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)为函数的单调递增区间.

故选C.

5.已知5sin 2α=6cos α,α∈,则tan =(　　)

A.- B. C. D.

答案:B

解析:由题意,知10sinαcosα=6cosα,又α∈,

∴sinα=,cosα=,

∴tan

=.

6.已知tan=-,且<α<π,则等于(　　)

A. B.- C.- D.-

答案:C

解析:=2cosα,

由tan=-,得=-,

解得tanα=-3.

因为<α<π,所以cosα=-.

所以原式=2cosα=2=-.

7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+1的图象的相邻两对称轴之间的距离为π,且在x=时取得最大值2,若f(α)=,且<α<,则sin的值为(　　)

A. B.- C. D.-

答案:D

解析:由题意知,T=2π,即T==2π,即ω=1.

又当x=时,f(x)取得最大值,

即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.

∵0<φ≤,∴φ=,

∴f(x)=sin+1.

∵f(α)=sin+1=,可得sin.

∵<α<,可得<α+<π,

∴cos=-.

∴sin=2sin·cos=2×=-.故选D.

8.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　. 

答案:　1

解析:因为2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin2x++1,所以A=,b=1.

9.已知α,β均为锐角,且tan α=,cos(α+β)=-.

(1)求cos 2α的值;

(2)求tan(α-β)的值.

解:(1)因为tanα=,tanα=,

所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,

所以cos2α=,因此cos2α=2cos2α-1=-.

(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).

又因为cos=-,

所以sin(α+β)=,

因此tan(α+β)=-2.

因为tanα=,

所以tan2α==-.

因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]

==-.

10.已知函数f(x)=sin+cos-2sin2(ω>0)的周期为π.

(1)求ω的值;

(2)若x∈,求f(x)的最大值与最小值.

解:(1)∵函数f(x)=sin+cos-2sin2=sinωxcos-cosωxsin+cosωxcos+sinωxsin-2·sinωx+cosωx-1=2sin-1(ω>0),

∴f(x)的周期为=π,∴ω=2.

(2)∵x∈,

∴2x+.

∴sin.

∴f(x)的最大值为1,最小值为-2.

11.已知点在函数f(x)=2asin xcos x+cos 2x的图象上.

(1)求a的值和f(x)的最小正周期;

(2)求函数f(x)在(0,π)内的单调递减区间.

解:(1)函数f(x)=2asinxcosx+cos2x=asin2x+cos2x.

∵f(x)的图象过点,

即1=asin+cos,可得a=1.

∴f(x)=sin2x+cos2x=sin.

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

(2)由2kπ+≤2x++2kπ,k∈Z,

可得kπ+≤x≤+kπ,k∈Z.

函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

∵x∈(0,π),

∴当k=0时,可得单调递减区间为.

能力提升

12.已知m=,若sin[2(α+γ)]=3sin 2β,则m=(　　)

A.-1 B. C. D.2

答案:D

解析:∵sin[2(α+γ)]=3sin2β,∴sin[(α+γ+β)-(β-α-γ)]=3sin[(α+γ+β)-(α+γ-β)],

∴sin(α+γ+β)cos(β-α-γ)-cos(α+γ+β)sin(β-α-γ)=3sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)-3cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),

即-2sin(α+γ+β)cos(α+γ-β)=-4cos(α+γ+β)sin(α+γ-β),

∴tan(α+γ+β)=2tan(α+γ-β),

故m==2,故选D.

13.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)的值等于(　　)

A.- B. C.- D.

答案:D

解析:∵α∈,∴2α∈(0,π).

∵cosα=,∴cos2α=2cos2α-1=-,

∴sin2α=,

又α,β∈,∴α+β∈(0,π),

∴sin(α+β)=,

∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]

=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)

=.

14.已知函数f(x)=2sincos-2cos2x++1,则f(x)的最小正周期为　　　　　;函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 

答案:π　(k∈Z)

解析:f(x)=2sincos-2cos2+1

=sin-cos

=

=sinsin.

∴f(x)的最小正周期T==π.

因此f(x)=sin.

当2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),

即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,

∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

15.已知函数f(x)=2sincos ωx(0<ω<2),且f(x)的图象过点.

(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期;

(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,已知g,求cos的值.

解:(1)函数f(x)=2sincosωx

=+2cosωx·cosωx

=sin.

∵f(x)的图象过点,

∴sin,

∴2ω·=kπ,k∈Z,即ω=.

再结合0<ω<2,可得ω=1,

∴f(x)=sin,故它的最小正周期为=π.

(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)=sin的图象.

∵gsin,

∴sin,

∴cos=1-2sin2.

高考预测

16.在锐角三角形ABC中,A,B,C为三个内角,且sin 2A=sin.

(1)求角A的大小;

(2)求sin B+sin C的取值范围.

解:(1)因为sin2A=sin,所以2sinAcosA=cosA,

即(2sinA-)cosA=0,

又在锐角三角形ABC中,A∈,故cosA>0,

所以sinA=,所以A=.

(2)因为A+B+C=π,

所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),

所以sinB+sinC=sin+sinC

=cosC+sinC=sin.

因为在锐角三角形ABC中,A=,

所以B+C=,B=-C,

所以<C<,

由正弦函数的单调性可知,sinB+sinC的取值范围为.