广西专用高考数学一轮复习考点规范练67不等式选讲含解析新人教A版理

考点规范练67　不等式选讲

基础巩固

1.(2020安徽模拟)已知函数f(x)=|x+a|+|x-1|,a∈R.

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤4;

(2)对任意m∈(0,3),关于x的不等式f(x)<m++2总有解,求实数a的取值范围.

解:(1)由已知,不等式f(x)≤4,即为|x+2|+|x-1|≤4,

则

或

解得-≤-2或-2<x≤1或1<,故不等式的解集为

(2)对任意m∈(0,3),关于x的不等式f(x)<m++2总有解,即f(x)min<,而y=m++2≥2+2=4,当且仅当m=,即m=1时取得最小值.

又f(x)≥|(x+a)-(x-1)|=|a+1|(当且仅当(x+a)(x-1)≤0时取等号),故只需|a+1|<4,解得-5<a<3,即实数a的取值范围为(-5,3).

2.已知函数f(x)=|x+1|-|ax-1|,a∈R.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,

即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为

(2)当x∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.

若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;

若a>0,则|ax-1|<1的解集为,

所以1,故0<a≤2.

综上,实数a的取值范围为(0,2].

3.(2020广西二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.

(1)若a=-2,解不等式f(x)≤5;

(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.

解:(1)当a=-2时,不等式为|2x+2|+|x-1|≤5.

①当x≤-1时,不等式化为-2x-2-x+1≤5,解得x≥-2,此时-2≤x≤-1;

②当-1<x<1时,不等式化为2x+2-x+1≤5,解得x≤2,此时-1<x<1;

③当x≥1时,不等式化为2x+2+x-1≤5,解得,此时1≤

综上所述,不等式的解集为

(2)(方法一)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,

当a<2,即<1时,f(x)=

故f(x)min=f=-+1=3,得a=-4<2(符合题意),即a=-4.

(方法二)函数f(x)=|2x-a|+|x-1|

=+|x-1|

+|x-1|

=,

故f(x)min==3,又a<2,因此a=-4.

4.已知x,y,z是正实数,且x+2y+3z=1.

(1)求的最小值;

(2)求证:x2+y2+z2

答案:(1)解因为x,y,z是正实数,且x+2y+3z=1,

所以=·(x+2y+3z)=6+6+2+2+2,

当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为6+2+2+2

(2)证明由柯西不等式可得(12+22+32)·(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=1,

整理得14(x2+y2+z2)≥1,即x2+y2+z2,

当且仅当x=,

即x=,y=,z=时等号成立,

故x2+y2+z2

5.已知函数f(x)=,M是不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

答案:(1)解f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2,得-1<x≤-;

当-<x<时,f(x)<2成立;

当时,由f(x)<2,得<1.

不等式f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.

(2)证明由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1.

从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,所以|a+b|<|1+ab|.

能力提升

6.(2020山西运城模拟)已知函数f(x)=|x-a|+|x-1|.

(1)若a=0,求不等式f(x)>的解集;

(2)若f(x)<a2的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.

解:(1)当a=0时,函数f(x)=|x|+|x-1|.

当x<0时,f(x)>等价于

解得x<0,该不等式恒成立.

当0<x≤1时,f(x)>等价于1>2,该不等式不成立.

当x>1时,f(x)>等价于解得x>

因此不等式f(x)>的解集为(-∞,0)

(2)由f(x)<a2的解集包含[0,1],

即x∈[0,1]时f(x)<a2恒成立,

即|x-a|+1-x<a2恒成立,

即|x-a|<a2-1+x恒成立,即-a2+1-x<x-a<a2-1+x恒成立,

所以解得a>或a<,

所以实数a的取值范围是

7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.

(1)解不等式f(x)≥-2;

(2)对任意x∈[a,+∞),都有f(x)≤x-a成立,求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|≥-2.

当x≤-2时,x-4≥-2,即x≥2,故x∈⌀;

当-2<x<1时,3x≥-2,即x≥-,故-<1;

当x≥1时,-x+4≥-2,即x≤6,故1≤x≤6;

综上,不等式f(x)≥-2的解集为

(2)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.

令y=x-a,当直线y=x-a过点(1,3)时,-a=2.

故当-a≥2,即a≤-2时,即往上平移直线y=x-a,都有f(x)≤x-a.

往下平移直线y=x-a时,联立

解得x=2+,当a≥2+,即a≥4时,对任意x∈[a,+∞),-x+4≤x-a.

综上可知,实数a的取值范围为a≤-2或a≥4.

高考预测

8.已知函数f(x)=|x-1|+a|x+2|,a∈R.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≤4的解集;

(2)当a<-1时,若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,求a的值.

解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|=

∵f(x)≤4,或-2<x<1或

∴1≤或-2<x<1或-≤-2,

∴-,∴不等式的解集为

(2)当a<-1时,f(x)=

当a<-1时,令f(x)=0,则x=或x=,

又由得y=3.

如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B,C

∵函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积等于6,

∴S=3=6,

解得a=-2或a=(舍).