专题08三角函数与数列解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

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这是一份专题08三角函数与数列解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科），文件包含专题08三角函数与数列解答题解析版docx、专题08三角函数与数列解答题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页，欢迎下载使用。

1．【2022年全国甲卷文科18】记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
2．【2022年全国乙卷文科17】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsinA−B=sinBsinC−A．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
3．【2021年全国甲卷文科18】记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0,a2=3a1，且数列{Sn}是等差数列，证明：{an}是等差数列.
4．【2021年全国乙卷文科19】设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn=nan3．已知a1，3a2，9a3成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn5．【2020年全国1卷文科18】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=3c，b=27，求△ABC的面积；
（2）若sinA+3sinC=22，求C.
6．【2020年全国2卷文科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2(π2+A)+csA=54．
（1）求A；
（2）若b−c=33a，证明：△ABC是直角三角形．
7．【2020年全国3卷文科17】设等比数列{an}满足a1+a2=4，a3−a1=8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{lg3an}的前n项和．若Sm+Sm+1=Sm+3，求m．
8．【2019年新课标3文科18】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinA+C2=bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
9．【2019年新课标2文科18】已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝lg2an，求数列{bn}的前n项和．
10．【2019年新课标1文科18】记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
11．【2018年新课标1文科17】已知数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，设bn=ann．
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
12．【2018年新课标2文科17】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
13．【2018年新课标3文科17】等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．
14．【2017年新课标1文科17】记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
15．【2017年新课标2文科17】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2．
（1）若a3+b3＝5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3＝21，求S3．
16．【2017年新课标3文科17】设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an2n+1}的前n项和．
17．【2016年新课标1文科17】已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2=13，anbn+1+bn+1＝nbn．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{bn}的前n项和．
18．【2016年新课标2文科17】等差数列{an}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．
19．【2016年新课标3文科17】已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1＝0．
（1）求a2，a3；
（2）求{an}的通项公式．
20．【2015年新课标1文科17】已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC．
（Ⅰ）若a＝b，求csB；
（Ⅱ）设B＝90°，且a=2，求△ABC的面积．
21．【2015年新课标2文科17】△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC
（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C．
（Ⅱ）若∠BAC＝60°，求∠B．
22．【2014年新课标1文科17】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{an2n}的前n项和．
23．【2014年新课标2文科17】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2．
（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
24．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{1a2n−1a2n+1}的前n项和．
25．【2013年新课标2文科17】已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．
模拟好题
1．已知a，b，c分别为锐角三角形ABC三个内角A，B，C的对边，且3c=2asinC．
(1)求A；
(2)若a=7，b=2，求c；
(3)若csB=23，求sin(2B−A)的值．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(b+a)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．
(1)求角A的大小；
(2)设a=2，csB2=217，求b．
3．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n阶和数列各项和为Sn．
(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和S2与三阶和数列各项和S3，并猜想Sn的通项公式（无需证明）；
(2)若cn=−1lg3Sn−3⋅lg3Sn+1−3，求cn的前n项和Tn，并证明：−124．已知数列an的前n项和为Sn=n2+1，正项等比数列bn的首项为a1，且a1b3+a2b2 +a3b1=14．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)求使不等式bn>2an−12（n≥2）成立的所有正整数n组成的集合．
5．已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an−3.
(1)证明数列an为等比数列，并求出数列an的通项公式；
(2)设bn=lg3an，求数列anbn的前n项和Tn.
6．已知数列{an}的前n项和Sn满足4an−2Sn+n2−3n−4=0,n∈N∗．数列{bn}满足b1=1， 2nbn+1=anbn,n∈N∗．
(1)求证：数列{an−n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求证：bn+1>bn≥3−n+12n−1,n∈N∗．
7．已知数列{an}为等差数列，a2=3，a14=3a5，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3bn−1．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn=an⋅bn，数列{cn}的前n项和为Tn，且Tn−n⋅3n<−1n⋅m对n∈N∗恒成立，求实数m的取值范围．
8．已知数列an的前n项和为Sn，a1=−11，a2=−9，且
Sn+1+Sn−1−2Sn=2（n≥2）
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
9．已知数列an满足：a1=1,a2=2，且an+2=an+1−an,an+1为偶数,2an+1−3an,an+1为奇数n=1,2,⋯
(1)直接写出a3,a4,a5,a6的值；
(2)请判断a2021+a2022是奇数还是偶数，并说明理由；
(3)是否存在n，使得an=2022？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由.
10．设数列an的前n项和为Sn，a1=0，a2=1，nSn+1−(2n+1)Sn+(n+1)Sn−1−1=0(n⩾2).
(1)证明：an为等差数列；
(2)设bn=2an，在bn和bn+1之间插入n个数，使这n+2个数构成公差为dn的等差数列，求1dn的前n项和.
11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在边AC上，且满足DB:DA:DC=2:3:4，△ABC的面积S=BD⋅b⋅sinB2
(1)证明：2b2=7ac
(2)求cs∠ABC.
12．△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知acsB=3bsinA.
(1)求角B的大小；
(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC的面积.
条件①：a=3；条件②：b=22；条件③：csC=−23；④c=2
13．在①a=7，②AC边上的高为332，③sinB=217这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.
问题：记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A=60°，c=b+1，______.
(1)求c的值；
(2)若点D是边BC上一点，且∠ADB−∠ABC= π3，求AD的长.
14．在△ABC中，3sin(B+π6)=−cs(B+π6).
(1)求B的值；
(2)给出以下三个条件：①a2−b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求sinA的值；
（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①bcsA+acsB=2ccsC，② a+b+ca+b−c=3ab，③ cs2C+csC=0中任选一个，
(1)求角C的大小；
(2)若c=2，求△ABC周长的最大值．
16．在①2bsinC=3ccsB+csinB，②csBcsC=b2a−c两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且________.
(1)求角B；
(2)若a+c=3，点D是AC的中点，求线段BD的取值范围.
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanB+tanC−3tanBtanC+3=0．
(1)求角A的大小；
(2)若BD=2DC，AD=2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
18．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2S=−3BA⋅BC，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，
(1)求B；
(2)设∠BAC=θ，BC=fθ，求函数fθ的值域．
19．已知数列an满足a1−1a1⋅a2−1a2⋅⋯⋅an−1an=1an．
(1)求an的通项公式；
(2)在ak和ak+1,k∈N∗中插入k个相同的数(−1)k+1⋅k，构成一个新数列bn:a1, 1 , a2，−2 , −2 , a3 , 3 , 3 , 3 , a4, …，求bn的前45项和S45．
20．已知an为等差数列，前n项和为Sn，n∈N∗，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a3+a5，b6=S11−2.
(1)求an和bn的通项公式；
(2)设c1=0，cn+1−cn=ln1+1n，n∈N∗，求cn；
(3)设dn=3cnbn+1,n=2k−1lnan−1an+1bn,n=2k，其中k∈N∗.求dn的前2n项和T2n.

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