初中数学沪科版九年级上册21.5 反比例函数第1课时教案设计

21．5　反比例函数

第1课时　反比例函数

1．领会反比例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念；(重点)

2．会判断一个函数是否是反比例函数；(重点)

3．会求反比例函数的表达式．(难点)

一、情境导入

你吃过拉面吗？有人能拉到细如发丝，同时还能做到丝丝分明．实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识．

一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与面条的粗细之间有什么关系呢？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的概念

【类型一】 辨别反比例函数

在下列反比例函数表达式中，哪些函数表示y是x的反比例函数？

(1)y＝；　(2)y＝；　(3)y＝；

(4)xy＝；　(5)y＝；　(6)y＝－；

(7)y＝2x－1；　(8)y＝(a≠5，a是常数)．

解析：根据反比例函数的概念，必须是形如y＝(k是常数，k≠0)的函数，才是反比例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意y＝(k是常数，k≠0)的一些常见的变化形式，如xy＝k，y＝kx－1等，所以(4)(7)也是反比例函数．在(5)中，y是(x－1)的反比例函数，而不是x的反比例函数．(1)中的y是x的正比例函数．故(2)(3)(4)(6)(7)(8)表示y是x的反比例函数．

方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，关键看它能否写成y＝(k是常数，k≠0)或xy＝k(k≠0)及y＝kx－1(k≠0)的形式，即两个变量的积是不是一个非零常数．如果两个变量的积是一个不为0的常数，则这两个变量就是反比例关系；否则便不成反比例关系．

【类型二】 根据反比例函数的概念求值

若y＝(k2＋k)xk2－2k－1是反比例函数，试求(k－3)2015的值．

解：根据反比例函数的概念，得

所以

即k＝2.

因此(k－3)2015＝(2－3)2015＝－1.

易错提醒：反比例函数表达式的一般形式y＝(k是常数，k≠0)也可以写成y＝kx－1(k≠0)，利用反比例函数的定义求字母参数的值时，一定要注意y＝中k≠0这一条件，不能忽略，否则易造成错误．

探究点二：确定反比例函数的表达式

【类型一】 利用待定系数法求反比例函数的表达式

已知y是x的反比例函数，当x＝－4时，y＝3.

(1)写出y与x的函数表达式；

(2)当x＝－2时，求y的值；

(3)当y＝12时，求x的值．

解：(1)设y＝(k≠0)，∵当x＝－4时，y＝3，∴3＝，解得k＝－12.因此，y与x的函数表达式为y＝－；

(2)把x＝－2代入y＝－，得y＝－＝6；

(3)把y＝12代入y＝－，得12＝－，x＝－1.

方法总结：(1)求反比例函数表达式时常用待定系数法，先设其表达式为y＝(k≠0)，然后再求出k值；(2)当反比例函数的表达式y＝(k≠0)确定以后，已知x(或y)的值，将其代入表达式中即可求得相应的y(或x)的值．

【类型二】 利用待定系数法求组合型函数的表达式

已知y＝y1＋y2，其中y1与x成正比例关系，y2与x成反比例关系，并且当x＝2时，y＝－4；当x＝－1时，y＝5.求y与x的函数表达式．

解：∵y1与x成正比例关系，∴设y1＝k1x(k1≠0)．

∵y2与x成反比例关系，∴设y2＝(k2≠0)．∴y＝k1x＋.

把x＝2，y＝－4及x＝－1，y＝5代入y＝k1x＋，得解得

∴y＝－x－.

易错提醒：当一个函数的表达式由若干个常见的函数(正比例函数、反比例函数等)组成时，它们各自有待定系数，不能一律为k.本题易出现设y1＝kx(k≠0)，y2＝(k≠0)的形式，导致两个待定系数都是k的错误．

探究点三：列反比例函数关系式

如图所示，某学校广场有一段25米长的旧围栏(图中用线段AB表示)．现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边建成一块面积为100平方米的矩形草坪(图中的矩形CDEF，CD<CF)，已知整修旧围栏的价格为1.75元/米，建新围栏的价格为4.5元/米，设所利用的旧围栏CF的长度为x米，修建草坪围栏所需的费用为y元．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)若利用旧围栏12米，则计划修建费用应为多少元？

解析：可先利用面积把长与宽表示出来，求出y与x之间的关系，再利用x＝12求出y的值．

解：(1)∵S矩形CDEF＝100，CF＝x，∴CD＝，∴y＝1.75x＋4.5(x＋)＝6.25x＋(10<x≤25)；

(2)由(1)知y＝6.25x＋(10<x≤25)，当x＝12时，y＝6.25x＋＝6.25×12＋＝150，即计划修建费用应为150元．

方法总结：解此类题型，首先要理解题意，然后根据已知条件选择合适的数学模型，最后根据实际情况确定自变量的取值范围．

三、板书设计

反比例函数

结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象．利用多媒体创设大量生活情境，让学生体验数学来源于生活实际，并为生活实际服务，从而培养学生学习数学的兴趣．