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人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性公开课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性公开课ppt课件，共33页。PPT课件主要包含了知识点等内容，欢迎下载使用。
复习回顾（概率的性质）
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生 . 因此 , 积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关 . 那么，这种关系会是怎样的呢?
我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
相互独立事件的概念及性质
分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为Ω={(1 , 1) , (1, 0), (0, 1), (0, 0)}，包含4个等可能的样本点.
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
而A={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，所以AB={(1, 0)}.
P(AB)=P(A)P(B).
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异 , 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球 .设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
在试验2中，样本空间Ω={(m , n)|m , n∈{1 , 2 , 3 , 4}}，包含16个等可能的样本点 . 而
A={(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4)}，
B={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2)}，
AB={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2)}，
积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.
于是也有：P(AB)=P(A)P(B).
从上述两个实验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：
对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
由两个事件相互独立的定义必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立.
思考：必然事件Ω、不可能事件∅与任意事件相互独立吗？
这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响 . 当然，它们也不影响其他事件是否发生.
注意：如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
例1 判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.
解 从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有 影响，所以它们是相互独立事件.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个 球中任意取出1个，取出的还是白球”.
可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
例2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异 . 采用不放回方式从中依 次任意摸球两次 . 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”， 那么事件A与B是否相互独立？
解：样本空间 Ω={(m, n)|m, n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，包含12个等可能样本点.
A={(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 1)，(2, 3)，(2, 4)}，
B={(1, 2)，(2, 1)，(3, 1)，(3, 2)，(4, 1)，(4, 2)}，
所以AB={(1, 2)，(2, 1)}．
此时 P(AB)≠P(A)P(B)，
因此，事件A与事件B不独立．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
【练1】 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”， 事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号) ①A，B； ②A，C； ③B，C.
分析：由事件独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
解：∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25. 可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C). ∴根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
例3 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”,
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得：P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72
由于 两人射击结果互不影响，∴A与B相互独立，
二、相互独立事件概率的计算
=0.8×0.9+0.8×0.1+0.2×0.9=0.98.
例4 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙 保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解（1）记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
（2）记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
解（1）记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.
（3）至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 据独立性假定，得:
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A=A1B2 ∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，所以
P(A) = P(A1B2)＋P(A2B1) ；
三、相互独立事件概率的综合应用
解(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
解（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，
求较复杂事件的概率的一般步骤如下：
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是 相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地 计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
解 记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，
四、方程思想在相互独立事件概率中的应用
解 记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
解方程组并舍去不合题意的根，
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球” 记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( ) A．A与B，A与C均相互独立 B．A 与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
解 有放回的摸球模型，第一次摸到白球与第二次摸到白球是相互独立的。
（2）事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立.
当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2．判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
解 (1) 事件M＝{1,3,5}，事件N＝{2,4,6}，事件MN＝Φ，事件M∪N=Ω＝{1,2,3,4,5,6}，
所以，事件M与事件N是对立事件，因此，事件M与事件N是互斥但不独立。
3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取 互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 （ ）
解 设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，
A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率
解 记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则：
5.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有 A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”， 事件N＝“第2次摸到白球” C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝ “两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
解 在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；
在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C，D.
解：令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知， 事件A、B、C相互独立，
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
(2)他们都失败即事件A、B、C同时发生
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
(1)相互独立事件及其判断.
(2)相互独立事件概率的计算.
2.方法：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率.
3.易错点：相互独立事件与互斥事件易混淆.
第250页 习题10.2 1,2,3,4,5,6
复习回顾（概率的性质）
我们知道，积事件AB就是事件A与事件B同时发生 . 因此 , 积事件AB发生的概率一定与事件A、B发生的概率有关 . 那么，这种关系会是怎样的呢?
我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
相互独立事件的概念及性质
分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为Ω={(1 , 1) , (1, 0), (0, 1), (0, 0)}，包含4个等可能的样本点.
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.
而A={(1, 1), (1, 0)}，B={(1, 0), (0, 0)}，所以AB={(1, 0)}.
P(AB)=P(A)P(B).
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异 , 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球 .设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”. 分别计算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么发现?
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.
在试验2中，样本空间Ω={(m , n)|m , n∈{1 , 2 , 3 , 4}}，包含16个等可能的样本点 . 而
A={(1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (1 , 4) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 4)}，
B={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2) , (3 , 1) , (3 , 2) , (4 , 1) , (4 , 2)}，
AB={(1 , 1) , (1 , 2) , (2 , 1) , (2 , 2)}，
积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.
于是也有：P(AB)=P(A)P(B).
从上述两个实验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：
对任意两个事件A与B，如果 P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
由两个事件相互独立的定义必然事件Ω、不可能事件∅都与任意事件相互独立.
思考：必然事件Ω、不可能事件∅与任意事件相互独立吗？
这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响 . 当然，它们也不影响其他事件是否发生.
注意：如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
例1 判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.
解 从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有 影响，所以它们是相互独立事件.
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个 球中任意取出1个，取出的还是白球”.
可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
例2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异 . 采用不放回方式从中依 次任意摸球两次 . 设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”， 那么事件A与B是否相互独立？
解：样本空间 Ω={(m, n)|m, n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，包含12个等可能样本点.
A={(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 1)，(2, 3)，(2, 4)}，
B={(1, 2)，(2, 1)，(3, 1)，(3, 2)，(4, 1)，(4, 2)}，
所以AB={(1, 2)，(2, 1)}．
此时 P(AB)≠P(A)P(B)，
因此，事件A与事件B不独立．
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.
【练1】 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”， 事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号) ①A，B； ②A，C； ③B，C.
分析：由事件独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.
解：∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25. 可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C). ∴根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.
例3 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率: (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.
解：设A=“甲中靶”, B= “乙中靶”,
(1) AB = “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得：P(AB) =P(A)P(B) =0.8×0.9=0.72
由于 两人射击结果互不影响，∴A与B相互独立，
二、相互独立事件概率的计算
=0.8×0.9+0.8×0.1+0.2×0.9=0.98.
例4 根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙 保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率； (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
解（1）记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，
记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
（2）记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，
(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的. ②求出每个事件的概率，再求积.
(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时， 要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.
解（1）记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.
（3）至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件. 据独立性假定，得:
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A=A1B2 ∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，所以
P(A) = P(A1B2)＋P(A2B1) ；
三、相互独立事件概率的综合应用
解(1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.
解（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，
求较复杂事件的概率的一般步骤如下：
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是 相互独立的)，列出关系式.
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地 计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
解 记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，
四、方程思想在相互独立事件概率中的应用
解 记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.
解方程组并舍去不合题意的根，
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球” 记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( ) A．A与B，A与C均相互独立 B．A 与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
解 有放回的摸球模型，第一次摸到白球与第二次摸到白球是相互独立的。
（2）事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立.
当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.
2．判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M: “出现的点数为奇数”；事件N: “出现的点数为偶数”.
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
解 (1) 事件M＝{1,3,5}，事件N＝{2,4,6}，事件MN＝Φ，事件M∪N=Ω＝{1,2,3,4,5,6}，
所以，事件M与事件N是对立事件，因此，事件M与事件N是互斥但不独立。
3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取 互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 （ ）
解 设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，
A.2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率
解 记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则：
5.(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有 A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数” B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到白球”， 事件N＝“第2次摸到白球” C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝ “两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
解 在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；
在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C，D.
解：令事件A、B、C分别表示A、B、C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知， 事件A、B、C相互独立，
(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故
(2)他们都失败即事件A、B、C同时发生
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
(1)相互独立事件及其判断.
(2)相互独立事件概率的计算.
2.方法：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率.
3.易错点：相互独立事件与互斥事件易混淆.
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